帶有積分邊值條件的奇異分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性

廖 秀

(桂林信息科技學(xué)院 數(shù)學(xué)教研部，廣西 桂林 541004)

0 引言

隨著微分方程的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微分方程已廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)、流變學(xué)、粘彈性力學(xué)等諸多領(lǐng)域[1]。目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究已經(jīng)取得了許多成果[2-17]。但是，近年來學(xué)者們對帶有積分邊值條件的奇異微分方程正解存在性的研究還是比較少的。奇異分?jǐn)?shù)階微分方程有著實際的應(yīng)用價值，該類微分方程是如今學(xué)者們研究的熱點。因此，本文的研究有著重要的意義。

Zhang X 等人[10]708運用不動點指數(shù)定理證明了如下邊值問題多個正解的存在性：

白占兵[1]82運用序列化和正則化技巧證明了如下奇異分?jǐn)?shù)階Dirichlet邊值問題正解的存在性與解序列：

Stank S[11]1379運用錐不動點定理討論下面邊值問題解的存在性：

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文運用序列化和正則化等技巧研究邊值問題

A2：對幾乎所有的t∈(0,1),f(t,.,.)∶(0,+∞)×→(0,+∞)×連續(xù)；

A3：對任意的緊集F?(0,+∞)×,存在函數(shù)gF∈L1[0,1]使得對幾乎所有的t∈[0,1]和所有的有

1 預(yù)備知識

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一些定義以及相關(guān)引理如下。

定義1[10]709函數(shù)x∶[0,1]→的β>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義為

其中等式的右端在[0,1]上有定義。

定義2[10]709函數(shù)f：[0,∞]→的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義為

其中：等式的右端在[0,1]上有定義；n-1<α≤n。

u(t)=C1tα-1+C2tα-2+…+Cntα-n，

其中：Ci∈(i=1,2,…，n)；n-1<α≤n。

對任意Ci∈(i=1,2,…，n)成立，其中n-1<α≤n。

1)‖F(xiàn)(x)‖≤‖x‖,?x∈?Ω1；‖F(xiàn)(x)‖≥‖x‖,?x∈?Ω2；

2)‖F(xiàn)(x)‖≥‖x‖,?x∈?Ω1；‖F(xiàn)(x)‖≤‖x‖,?x∈?Ω2，

等價于積分方程

其中

證明根據(jù)邊值問題(2)可知，

對公式(3)兩邊積分及由引理2得

對上式兩邊積分并計算得到

又因為

綜上所述，當(dāng)t≥η時，邊值問題(2)的解表示為

當(dāng)η≥t時，邊值問題(2)的解表示為

引理7若引理6中的假設(shè)條件成立，引理6的Green函數(shù)具有以下性質(zhì)：

1)?(t,s)∈(0,1]×(0,1],G(t,s)是連續(xù)函數(shù)且G(t,s)>0;

2)?(t,s)∈(0,1]×(0,1],有

證明首先根據(jù)引理6中G(t,s)的表達(dá)式，當(dāng)0

當(dāng)0<η≤s≤t≤1時，

顯然有G2(t,s)>0。

晚上，欣欣一邊看電視，一邊說：“媽，你一天忙里忙外挺累的，我本來是要請個阿姨過來做飯帶孩子的，您在這里我更放心，比誰都強。我們就不找外人了，以后，我給您付工資，這樣我也心安些?！?/p>

當(dāng)0

當(dāng)0

綜上所述，對于任意的(t,s)∈(0,1]×(0,1]，G(t,s)是連續(xù)函數(shù)且G(t,s)>0。

根據(jù)性質(zhì)1)證明，通過放縮可知

因此，性質(zhì)2)顯然成立。

2 主要結(jié)果

則E是Banach空間。定義錐P?E,P={u(t)∈E|u(t)≥0,t∈[0,1]}。

(B1)f∈Car∈([0,1]×(0,+∞]×)，對幾乎所有的t∈[0,1]和y∈有

(B2) 對幾乎所有的t∈[0,1]和所有的(x,y)∈(0,+∞)×有

f(t,x,y)≤γ(t)q(x)+p(x)+ω(|y|),

其中：γ(t)∈L′[0,1]；p(x),ω(|y|)∈C(0,+∞)；q非增；p(x),ω(|y|))非減；且

定義

其中：n∈，fn∈Car([0,1]×[0,+∞]×(0,+∞))及滿足(B1)和(B2)中的條件，而且對幾乎所有t∈[0,1]和所有的(x,y)∈[0,+∞]×(0,+∞)有

fn(t,x,y)≤γ(t)(q(x)+p(x)+p(1)+ω(|y|))。

(6)

為了得到邊值問題(1)正解的存在性，我們引入輔助正則問題。我們先研究非奇異分?jǐn)?shù)階微分方程

為了證明正則問題(A)和邊值問題(1)有一個正解，我們在錐P上定義算子Qn：

引理8假設(shè)(B1)和(B2)成立，則Qn∶P→P是全連續(xù)算子。

因此，Qn∶P→P連續(xù)。

下證Qn是連續(xù)算子。

根據(jù)已知式子(5)與(6)，得

由Lebesgue控制收斂定理得

(7)

根據(jù)式子(7)得

設(shè)Ω?P是E中的有界集。接著證明Qn(Ω)是E的有界集。設(shè)u∈Ω時，‖u‖≤L，其中L是一個正常數(shù)。由于fn∈Car([0,1]×[0,+∞)×(0,+∞))，故存在函數(shù)φ∈L1[0,1]使得

對?u∈Ω和a.e.t∈[0,1]成立，從而對?u∈Ω和t∈[0,1]有

因此，由以上結(jié)果可知，對于所有的u∈Ω有

從而得知Qn(Ω)是的有界集。

綜上所述，根據(jù)Arzela-Ascoli定理可知，Qn(Ω)是E的相對緊集，從而算子Qn全連續(xù)。

定理1設(shè)(B1)和(B2)成立，則算子Qn存在不動點且不動點是正則問題(A)和邊值問題(1)的一個解。

證明根據(jù)引理1和5，Qn∶P→P是全連續(xù)算子，如果u是方程u=Qnu的解，則u是邊值問題(A)和(1)的解。為了利用錐拉伸錐壓縮不動點定理，我們將證明分為兩步。

第一步：令

第二步：根據(jù)P,W的單調(diào)不減，對u∈P有

以及

所以存在S>0使得

令Ω2={u∈E|‖u‖*

下面我們研究正則問題(A)和邊值問題(1)的解序列。

證明對任意t∈[0,1],n∈，

(8)

(9)

根據(jù)已知條件，對t∈[0,1],n∈有

un(t)≥Kt(1-t)。

所以，對a.e.t∈[0,1],n∈，

根據(jù)公式(8)和(9)，對t∈[0,1],n∈有

因此對n∈有‖un(t)‖*≤S,故序列{un}和在C[0,1]上都是有界的。

定理2設(shè)(B1)和(B2)成立，邊值問題(1)有一個正解u且

‖un(t)‖*≥Kt(1-t),t∈[0,1]。

因為{un}滿足‖un(t)‖*≤s,其中S是一個正常數(shù)，根據(jù)‖un(t)‖*0≥Kt(1-t)，對s∈[0,1]和所有的t∈[0,1],n∈有

對t∈[0,1]，由Lebesgue控制收斂定理可得

當(dāng)k→∞時，

(責(zé)任編輯：潘姝靜)