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    Hamilton原理的應(yīng)用

    2021-11-07 06:12:50覃寶丞
    關(guān)鍵詞:帶電粒子幾率情形

    覃寶丞

    天津師范大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院 天津 300000

    1 理論

    在經(jīng)典情形下,要求實(shí)物粒子的運(yùn)動只需要牛頓定律即可比較精確地得到粒子的運(yùn)動方程。但是在微觀情形下,牛頓定律無法得到微觀粒子的運(yùn)動方程,此時需要量子力學(xué)去處理這樣的問題。通常運(yùn)用薛定諤方程來求解微觀粒子的運(yùn)動。

    分析力學(xué)于量子力學(xué)之間有著緊密的聯(lián)系,分析力學(xué)中常應(yīng)用變分原理來解決粒子運(yùn)動問題,如果推廣至微觀粒子情形則可嘗試運(yùn)用Hamilton原理并由粒子運(yùn)動的拉格朗日密度去求解波函數(shù)。

    Hamilton原理的內(nèi)容為[1]:在相同時間內(nèi)保守的、完整的力學(xué)體系中,由某一初位形轉(zhuǎn)移至另一已知位形的所以可能的運(yùn)動中,其真實(shí)運(yùn)動的主函數(shù)具有穩(wěn)定值,即對于真實(shí)運(yùn)動來說,主函數(shù)的變分為零。

    若設(shè)qα(α=1,2,…,s)為廣義坐標(biāo),t為時間,則當(dāng)δt=0時有,

    又由(1)有

    式(4)即為Hamilton原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式:

    波函數(shù)是量子力學(xué)中用來描述粒子的德布羅意波的函數(shù)。為了定量地描述微觀粒子的狀態(tài),量子力學(xué)中引入了波函數(shù),并用ψ表示。一般來講,波函數(shù)是空間和時間的函數(shù),并且是復(fù)函數(shù),即ψ=ψ(x,y,z,t)。玻恩假定 就是粒子的概率密度,即在時刻t,在點(diǎn)(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。波函數(shù)ψ因此就稱為概率幅。在上世紀(jì)二十年代,德布羅意提議,與任意物質(zhì)粒子的運(yùn)動相關(guān)聯(lián)的是一組平面波,全部平面波均由一個波函數(shù)表征。

    波函數(shù)并不攜帶著能量與動量,只起著引領(lǐng)粒子運(yùn)動的作用,加載于粒子運(yùn)動內(nèi)。在比較德布羅意理論內(nèi)的"排和"后發(fā)現(xiàn),日常光波僅僅是附屬在其相隨光量子的德布羅意波。研究者從該實(shí)際情形中發(fā)現(xiàn),兩個差異化的本體論內(nèi)涵上的推斷:其中之一為實(shí)在論傾向的推斷,最初為德布羅意倡導(dǎo),緊接著被薛定諤所采納。這一推斷宣稱,德布羅意波就像普通光波那樣,為實(shí)際存在的、立體的、連綿不斷的物質(zhì)波;另一個推斷實(shí)質(zhì)上具有幾率性。首先由玻恩得出,隨后為多數(shù)人采納并作了統(tǒng)計詮釋。波函數(shù)這一理論術(shù)語的提議和其蘊(yùn)含的物理含義一—幾率密度幅一一的明晰化造成量子力學(xué)完全脫離了經(jīng)典力學(xué)的看法,是以費(fèi)曼把波函數(shù)看成為量子力學(xué)理論內(nèi)最根本的理論術(shù)語。[2]

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    2 應(yīng)用

    若已知帶電粒子在電磁場中的拉氏函數(shù),則有可能通過Hamilton原理來求解帶電粒子的運(yùn)動,即得出帶電粒子的波函數(shù)。

    設(shè)帶電粒子波函數(shù)為ψ(x),電磁場四維矢勢Aμ(x),在時空點(diǎn)x處波函數(shù)的第α分量為ψα,

    由Hamilton原理有

    整理上式第三項由分部積分可得[4]

    所以

    同理第四項得

    把(13)(14)代入(11)得

    式(11)即為有粒子波函數(shù)的偏微分方程,若已知拉氏密度則可求粒子波函數(shù)。

    由此可看出Hamilton原理的普適性,合理地運(yùn)用Hamilton原理可以比較方便地求解一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)與物理問題。

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