動(dòng)態(tài)價(jià)格下含時(shí)滯的Logistic漁業(yè)模型的Hopf分支

張 桓，張 悅

(東北大學(xué) 理學(xué)院， 沈陽 110819)

隨著人類對海洋漁業(yè)的生物資源需求的增加，合理的捕撈及有效利用市場資源越發(fā)重要。海洋管理需要實(shí)現(xiàn)可持續(xù)開發(fā)一直是生物學(xué)家與經(jīng)濟(jì)學(xué)家關(guān)注的熱點(diǎn)問題[1-2]?？紤]一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的漁業(yè)開放模型[3]，研究文獻(xiàn)經(jīng)常將價(jià)格考慮為不變量。1954年Gordon[4]把價(jià)格成本引進(jìn)生物經(jīng)濟(jì)模型，假設(shè)單位價(jià)格和捕獲成本為常數(shù)，而漁業(yè)的價(jià)格和市場結(jié)構(gòu)變化迅速，市場價(jià)格受漁業(yè)供給關(guān)系影響。針對管理市場價(jià)格相互作用的需要，建立了漁業(yè)經(jīng)濟(jì)模型[5]，因此，在模型的基礎(chǔ)上添加了市場上資源價(jià)格的動(dòng)態(tài)變化。根據(jù)文獻(xiàn)[6]，價(jià)格的變化取決于需求函數(shù)(魚類的銷售量)和供給函數(shù)(漁獲量)之間的關(guān)系。文中假設(shè)價(jià)格變化快于魚類庫存量的變化，因此通過一個(gè)小的正參數(shù)s來調(diào)整價(jià)格動(dòng)態(tài)，稱為價(jià)格動(dòng)態(tài)變化速度[7]。該參數(shù)反映了市場價(jià)格的彈性變化。

不僅如此，在漁業(yè)模型中，時(shí)滯現(xiàn)象的考慮也成為新的突破點(diǎn)。描述不同生態(tài)相互作用的時(shí)滯總是不同的，因此分別討論每種時(shí)滯對魚類種群和市場價(jià)格的動(dòng)力學(xué)的影響有助于確立合適的管理措施。Celik[8]研究了一類種群具有時(shí)滯的模型，以時(shí)滯τ為參數(shù)，分析了模型唯一正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性。魚類種群與市場價(jià)格的動(dòng)態(tài)發(fā)展趨勢不僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)，還依賴于過去或未來某一時(shí)間段的狀態(tài)影響。引入時(shí)滯會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性并產(chǎn)生分支，而系統(tǒng)中分支的出現(xiàn)將使?jié)O業(yè)的變化規(guī)律更加的復(fù)雜。葉志勇等[9-10]探討了經(jīng)典生物模型的穩(wěn)定性與Hopf分支。劉聰穎等[11-12]根據(jù)對兩類具有時(shí)滯的種群動(dòng)力學(xué)模型的定性分析，結(jié)合穩(wěn)定性理論討論了正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定的充分條件。秦麗等[13-14]討論了雙時(shí)滯在階段結(jié)構(gòu)的模型中平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性及Hopf分支。因此，本文選用具有時(shí)滯的微分方程分析動(dòng)態(tài)模型。俞美華[15]研究了價(jià)格變化的生物種群經(jīng)濟(jì)捕獲模型，并在此基礎(chǔ)上建立具有時(shí)滯的經(jīng)濟(jì)捕獲模型，采用時(shí)滯方程的穩(wěn)定性理論對正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，從而得出時(shí)滯會改變平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的結(jié)論。

本文從新型動(dòng)態(tài)價(jià)格下種群的Logistic生長模型出發(fā)，根據(jù)具有雙時(shí)滯和價(jià)格的復(fù)雜性的生物經(jīng)濟(jì)模型，通過改變時(shí)滯和復(fù)雜性參數(shù)來檢驗(yàn)局部穩(wěn)定性和存在性。研究了Hopf分支方向和分支的穩(wěn)定性，分析了生物捕撈業(yè)復(fù)雜性和多時(shí)間延遲對生物經(jīng)濟(jì)捕食者-種群模型動(dòng)力學(xué)的影響。

1 模型的建立

考慮一個(gè)有關(guān)漁業(yè)在動(dòng)態(tài)價(jià)格下[16]具有雙時(shí)滯的Logistic模型，系統(tǒng)描述如下：

(1)

式中：x(t)是在t時(shí)刻的魚群儲存量(t)，x(0)=x0>0；p(t)是儲存量在t時(shí)刻的單價(jià)(萬元/t)，p(0)=p0>0；a-p(t)為正線性需求函數(shù)[17]；Y是常數(shù)捕獲率(t/天)；r為魚群每日的內(nèi)稟增長率；τ1、τ2分別表示魚群和市場價(jià)格的時(shí)間延遲；k為環(huán)境承載能力(t)；s為價(jià)格動(dòng)態(tài)變化速度；a為正常數(shù)參數(shù)，表示市場容量。

2 局部穩(wěn)定性與Hopf分支

以下討論正平衡點(diǎn)E的局部漸近穩(wěn)定性與在平衡點(diǎn)E處Hopf分支的存在性。

(2)

其雅克比矩陣為：

系統(tǒng)(2)對應(yīng)的特征方程：

(3)

現(xiàn)在討論以下5種情況下，2個(gè)時(shí)滯對正平衡點(diǎn)E穩(wěn)定性的影響。

1) 只有魚類種群受時(shí)滯影響，即τ1>0，τ2=0。

在此情況下，特征方程(3)可簡化為：

λ2+(Ae-λτ1+s)λ+sAe-λτ1=0

(4)

假設(shè)λ=iω1為方程的一個(gè)根，將iω1(ω>0)代入方程(4)中，則有

(5)

分離上述方程的虛部與實(shí)部，得：

(6)

把上述方程的兩端平方相加，得到關(guān)于ω1的方程：

(7)

(k=0，1，2，…)，對應(yīng)的τ1k>0使得方程(4)有一對純虛根±iω10。

運(yùn)用Butler引理[18]，可以得出在s2+A2<6s2A2條件下，當(dāng)τ1<τ10時(shí)，模型(2)的內(nèi)部平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

接下來，對方程(4)求關(guān)于τ1的導(dǎo)數(shù)：

當(dāng)|τ1-τ10|<<1時(shí)，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個(gè)周期解分支，該分支來自正平衡點(diǎn)E在τ1=τ10附近的分支。

當(dāng)τ1>τ10時(shí)，模型(2)的正平衡點(diǎn)E是不穩(wěn)定的。

2) 只有市場價(jià)格受時(shí)滯影響，即τ1=0，τ2>0。

類似于1)的分析過程，有下述結(jié)果：

當(dāng)s2+A2>6s2A2時(shí)，特征方程存在唯一正實(shí)根ω20。 其對應(yīng)的時(shí)滯為：

(k=0，1，2，…)

當(dāng)τ2>τ20時(shí)，模型(2)的正平衡點(diǎn)E是不穩(wěn)定的。

3) 當(dāng)魚類種群與市場價(jià)格均受時(shí)滯影響，τ1為參數(shù)，即τ1>0，τ2∈[0，τ20)，并且τ1≠τ2。

在此情況下，特征方程為:

λ2+(Ae-λτ1+se-λτ2)λ+

sAe-λ(τ1+τ2)=0

(8)

設(shè)λ=iω11(ω11>0)為方程的一個(gè)根，將iω11代入方程(5)中，則：

sAe-iω11(τ1+τ2)=0

(9)

分離上述方程的虛部與實(shí)部，并將所得方程兩邊平方相加，得到關(guān)于ω11的方程：

2sA2ω11sinω11τ2+s2A2=0

(10)

當(dāng)滿足s2+A2>6s2A2時(shí)，關(guān)于上述方程存在唯一正實(shí)根ω11。

(m=0，1，2，…)

對應(yīng)的τ1m>0使得方程(8)有一對純虛根±iω11。

運(yùn)用Butler引理[18]可以得出：在s2+A2<6s2A2條件下，當(dāng)τ1>0，τ2∈[0，τ20)時(shí)，模型(2)的內(nèi)部平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

對方程(8)求關(guān)于τ1的導(dǎo)數(shù)，并計(jì)算：

當(dāng)τ1∈[0，τ10)，τ2∈[0，τ20)時(shí)，

模型(2)的正平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的；

當(dāng)τ1=τ10時(shí)，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個(gè)周期解分支，該分支來自于正平衡點(diǎn)E在τ1=τ10附近的分支。

當(dāng)τ2∈[0，τ20)，τ1>τ10時(shí)，模型(2)的正平衡點(diǎn)E是不穩(wěn)定的。

4) 當(dāng)魚類種群與市場價(jià)格均受時(shí)滯影響，τ2為參數(shù)，即τ1∈[0，τ10)，τ2>0，并且τ1≠τ2。

類似于2.3的分析過程，有下述結(jié)果：

當(dāng)滿足s2+A2>6s2A2時(shí)，關(guān)于方程：

2s2Aω22sinω22τ1-s2A2=0

(11)

存在正實(shí)根ω22，其對應(yīng)的時(shí)滯為：

(n=0，1，2，…)

當(dāng)τ1∈[0，τ10)，τ2∈[0，τ20)時(shí)，

模型(2)的正平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的；

當(dāng)τ2=τ20時(shí)，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個(gè)周期解分支，該分支來自于正平衡點(diǎn)E在τ2=τ20附近的分支。

當(dāng)τ1∈[0，τ10)，τ2>τ20時(shí)，模型(2)的正平衡點(diǎn)E是不穩(wěn)定的。

5) 當(dāng)魚類種群與市場價(jià)格均受相同時(shí)滯影響，即τ1=τ2=τ(τ>0)

此時(shí)，特征方程變成：

λ2+(A+s)λe-λτ+sAe-2λτ=0

(12)

在方程(12)兩邊同時(shí)乘以eλτ，可得:

λ2eλτ+(A+s)λ+sAe-λτ=0

(13)

假定λ=iω(ω>0)是(13)的根，則有：

-ω2eiωτ+(A+s)iω+sAeiωτ=0

(14)

分離上述方程的虛部與實(shí)部：

(15)

將上述方程兩邊平方相加，得到關(guān)于ω的方程：

ω4+s2A2-2ω2sA(cos2ωτ-sin2ωτ)-

(A+s)2ω2=0

(16)

當(dāng)滿足s2+A2-4s2A2+2As>0時(shí)，關(guān)于上述方程存在唯一正實(shí)根ω0。

(j=0，1，2，…)

對應(yīng)的τj>0使得方程(12)有一對純虛根±iω0。

在s2+A2-4s2A2+2As<0條件下，當(dāng)τ<τ0=min{τj}時(shí)，模型(2)的內(nèi)部平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

假設(shè)λ(τ)=x(τ)+iω(τ)是方程(12)在τ=τ0處的根。則方程(12)關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)為：

從而得到橫截性條件：

定理5對于模型(2)，若s2+A2-4s2A2+2As<0成立，則：當(dāng)τ<τ0，

模型(2)的正平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的；

當(dāng)τ=τ0時(shí)，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個(gè)周期解分支，該分支來自正平衡點(diǎn)E在τ=τ0附近的分支。

當(dāng)τ>τ0時(shí)，模型(2)的正平衡點(diǎn)E是不穩(wěn)定的。

3 數(shù)值模擬算例

令模型(2)中，r=0.015，k=1 802.6，Y=7，a=800，s=0.005，則模型(2)存在平衡點(diǎn)E1，這些系數(shù)滿足上述條件，當(dāng)不考慮時(shí)滯時(shí)，正平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定，如圖1所示。

圖1 當(dāng)τ1=τ2=0時(shí)，平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定曲線

令模型(2)中，r=0.015，k=1 703.2，Y=7，a=800，s=0.071，則模型(2)存在平衡點(diǎn)E1。當(dāng)只有市場價(jià)格受時(shí)滯影響時(shí)，τ1=0，基于第2部分的分析，當(dāng)這些系數(shù)滿足上述條件，根據(jù)計(jì)算可得ω20，τ20。圖2表明：當(dāng)τ1=0，τ2=10.35時(shí)，平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ1=0，τ2穿過τ20時(shí)一個(gè)穩(wěn)定的周期解從平衡點(diǎn)E1分支出來。

圖2 當(dāng)τ1=0，τ2=10.35時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)漸近穩(wěn)定曲線；當(dāng)τ1=0，τ2=22.12時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解曲線

令模型(2)中，r=0.015，k=1 802.6，Y=7，a=800，s=0.989，則模型(2)存在平衡點(diǎn)E1。當(dāng)只有魚類種群受時(shí)滯影響時(shí)，τ2=0，基于第2部分的分析，當(dāng)系數(shù)滿足上述條件，根據(jù)計(jì)算可得ω10，τ10。圖3表明：當(dāng)τ1=39，τ2=0時(shí)，平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ2=0，τ1穿過τ10時(shí)一個(gè)穩(wěn)定的周期解從平衡點(diǎn)E1分支出來。

圖3 當(dāng)τ1=39，τ2=0時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)漸近穩(wěn)定曲線；當(dāng)τ1=45.3，τ2=0時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解曲線

令模型(2)中，r=0.015，k=1 602.6，Y=7，a=800，s=0.076，則模型(2)存在平衡點(diǎn)E1，對固定的時(shí)間延遲τ1=2，當(dāng)系數(shù)滿足上述條件，可計(jì)算得出ω22，τ20。圖4表明：當(dāng)τ1=2，τ2=16時(shí)，平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ1=2，τ2穿過τ20時(shí)一個(gè)穩(wěn)定的周期解從平衡點(diǎn)E1分支出來。

圖4 當(dāng)τ1=2，τ2=16時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)漸近穩(wěn)定曲線；當(dāng)τ1=2，τ2=20.7時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解曲線

4 結(jié)論

1) 研究分析，當(dāng)模型(2)存在正平衡點(diǎn)時(shí)，在不考慮時(shí)滯即τ1=τ2=0的情況下，此時(shí)正平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。雙時(shí)滯在5種不同情況下會影響模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

2) 當(dāng)只有市場價(jià)格(或只有魚類種群受時(shí)滯影響)時(shí)，若上述條件成立，則當(dāng)時(shí)滯滿足τ1=0，τ2∈[0，τ20)(或τ1∈[0，τ10)，τ2=0)時(shí)，漁業(yè)模型(2)的正平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)τ2=τ20(或τ1=τ10)時(shí)，發(fā)生Hopf分叉，此時(shí)穩(wěn)定的周期解出現(xiàn)。

3) 當(dāng)魚類種群與市場價(jià)格均受時(shí)滯影響，τ1為參數(shù)，若上述條件成立，則當(dāng)時(shí)滯τ1>0，τ2∈[0，τ20)時(shí)，漁業(yè)模型(2)的正平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的，意味著此時(shí)漁業(yè)種群與市場價(jià)格都趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)τ1=τ10時(shí)，發(fā)生Hopf分叉。也就是說，模型(2)有一個(gè)周期解分支，該分支來自于正平衡點(diǎn)E在τ1=τ10附近的分支。

4) 而當(dāng)漁業(yè)種群與市場價(jià)格均受相同時(shí)滯影響，即τ1=τ2=τ，當(dāng)滿足相應(yīng)條件時(shí)，模型(2)的內(nèi)部平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。說明當(dāng)時(shí)滯達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，會影響種群與市場價(jià)格平衡的穩(wěn)定性并導(dǎo)致Hopf分支的出現(xiàn)。

5) 通過時(shí)滯的影響，漁業(yè)活動(dòng)的穩(wěn)定性和市場價(jià)格進(jìn)一步得到了保證，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)τ谧顑?yōu)捕魚期和生物休漁期的制定管理措施有一定的幫助。本模型的一個(gè)重要局限性是沒有考慮環(huán)境影響的隨機(jī)性，接下來將在模型的基礎(chǔ)上引入隨機(jī)變量研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。