新型叉指電容設(shè)計(jì)建模與實(shí)驗(yàn)研究

唐忠林，楊建華

(1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院航空工程學(xué)院，陜西咸陽 712000；2.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安 710072)

0 引言

叉指電容(interdigital capacitor，IDC)以其特有的平面電極結(jié)構(gòu)和表面空間電場(chǎng)，是制作表面?zhèn)鞲衅鞯睦硐肫骷?，其正?fù)電極之間的電場(chǎng)在電極平面上下方表面空間分布，因此電極表面空間介電常數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致叉指電容值的變化，據(jù)此可進(jìn)行物性檢測(cè)[1]。叉指電容表面?zhèn)鞲衅魍ǔ２捎弥苯咏佑|或覆蓋敏感薄膜的結(jié)構(gòu)形式，其中直接接觸式在土壤濕度[2]、材料老化[3]、溶液品質(zhì)[4]和環(huán)境監(jiān)測(cè)[5]等方面應(yīng)用廣泛，敏感薄膜式主要用于氣體檢測(cè)，包括空氣濕度[6]和各類揮發(fā)性有機(jī)氣體[7]等。

叉指電容傳感器的研究現(xiàn)狀包括：叉指電容的基本結(jié)構(gòu)變化不大，對(duì)應(yīng)的電容解析模型缺少發(fā)展[8-9]；針對(duì)某些特殊應(yīng)用場(chǎng)合的拓展叉指電容結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以建立解析模型，一般采用仿真建模[10-11]；柔性襯底材料和電極打印工藝的研究熱度正高[12]。叉指電容基本結(jié)構(gòu)的平面電極邊緣和襯底方向空間存在電場(chǎng)泄漏，會(huì)導(dǎo)致傳感器測(cè)量誤差，降低電容的高頻性能[13]，并使解析模型復(fù)雜化。仿真建模雖然能夠達(dá)到更高的精度和實(shí)現(xiàn)更強(qiáng)的針對(duì)性，但是平臺(tái)依賴性強(qiáng)，設(shè)計(jì)指導(dǎo)性不如解析模型直接。新材料和新工藝?yán)砟钕冗M(jìn)，但在成本、可靠性和信號(hào)穩(wěn)定性上還有很大的提升空間，短期內(nèi)難以形成規(guī)?；瘧?yīng)用。

針對(duì)上述問題，本文研究并基于PCB工藝實(shí)現(xiàn)一種新型叉指電容，設(shè)計(jì)交扣叉指電極結(jié)構(gòu)和等電位隔離方法，在不降低結(jié)構(gòu)通用性的基礎(chǔ)上，使叉指電容的電極電場(chǎng)受控、設(shè)計(jì)制造方便，并在此基礎(chǔ)上建立更加簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的電容解析模型。

1 設(shè)計(jì)與建模

新型叉指電容的結(jié)構(gòu)、電路與極間電場(chǎng)分布如圖1所示。圖1(a)為叉指電容的基本結(jié)構(gòu)，由交替平鋪在絕緣襯底S表面的正負(fù)電極構(gòu)成，在傳感區(qū)域以外存在電場(chǎng)泄漏，并且高頻特性較差，結(jié)構(gòu)上還存在改進(jìn)的空間。

1.1 新型叉指電容設(shè)計(jì)與層分解

新型叉指電容結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示，其特征為：

(1)在電容平面沿正負(fù)電極的最外側(cè)分別設(shè)置等電位隔離電極I+和I-，利用等電位電場(chǎng)隔斷消除電容外側(cè)電極的邊緣場(chǎng)產(chǎn)生的不可控寄生電容，同時(shí)電氣隔離使隔離電極本身的寄生電容不會(huì)影響新型叉指電容的容值；

(2)在襯底下表面鋪設(shè)與電容正極等電位隔離的電極平面，利用等電位電場(chǎng)隔斷將正負(fù)電容電極之間的聯(lián)通電場(chǎng)線封閉在襯底材料內(nèi)部，消除了襯底下方電場(chǎng)泄漏產(chǎn)生的不可控寄生電容，隔離電極平面本身的寄生電容同樣也不會(huì)影響到新型叉指電容的值；

(3)用交扣叉指電極結(jié)構(gòu)取代單指交錯(cuò)電極結(jié)構(gòu)，一方面有助于在電極電壓極性轉(zhuǎn)換的瞬間形成電流在電極支路上的反向流動(dòng)以提高高頻特性，另一方面有利于形成嚴(yán)格的周期結(jié)構(gòu)，不會(huì)出現(xiàn)基本結(jié)構(gòu)中有時(shí)正負(fù)電極數(shù)不對(duì)等的情形，影響解析模型通用性；

(4)正負(fù)電極最外側(cè)電極支路采用寬度減半設(shè)計(jì)，在建立解析模型時(shí)內(nèi)外電極可以統(tǒng)一處理，簡(jiǎn)化了電容解析模型的推導(dǎo)和公式結(jié)果。

不失一般性，以空氣環(huán)境中表面覆蓋厚度h的敏感薄膜為例，設(shè)電極厚度遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度和寬度，忽略極間側(cè)面電容，則根據(jù)圖1(b)的新型叉指電容的電極電場(chǎng)分布，可得到其極間電容分布模型，如圖2(a)所示。圖2(a)中，虛線0代表正負(fù)半電極之間的居中虛擬等位面，Cu和Cd分別為半電極與虛擬等位面之間在電容平面上下方空間中的等效電容，εs和εa分別為敏感薄膜和薄膜上方空氣的相對(duì)介電常數(shù)。由于不存在襯底部分的電場(chǎng)泄漏，對(duì)于給定結(jié)構(gòu)，Cd為固定值，因此實(shí)際的新型叉指電容值可用式(1)表示：

C=C0+(4N-1)Cu/2

(1)

式中：Cu為半電極與虛擬等位面之間在電容平面上方空間中的等效電容，F(xiàn)；C0為Cu之外所有固定電容的組合值，F(xiàn)；N為電容平面交扣叉指電極對(duì)的數(shù)量。

根據(jù)多層介質(zhì)的分層電容理論[14]，可以把圖2(a)中的新型叉指電容傳感器的Cu等效為2個(gè)電容的和，一個(gè)為空氣中表面無覆蓋情況，如圖2(b)所示的Cu1，反映了新型叉指電容本身的電容情況；另一個(gè)為只考慮表面覆蓋厚度為h的薄膜介質(zhì)的情況，薄膜的有效介電常數(shù)為εs-εa，如圖2(c)所示的Cu2，反映了表面薄膜對(duì)電容的影響，此時(shí)新型叉指電容傳感器的半電極電容Cu滿足Cu=Cu1+Cu2。

1.2 空氣中無介質(zhì)覆蓋的表面電容模型

建立平面叉指電容的解析模型有多種方法，其中保角變換法具有相對(duì)清晰直觀的求解過程和較高的解析精度[15]，因此應(yīng)用較多。本文采用以許瓦茲-克里斯多夫變換為中心的保角變換序列[16-17]，把電極上方的半電極電容映射為平板電容，具體過程如圖3所示。

首先，在Z平面建立半電極電容Cu1的空間坐標(biāo)模型，使實(shí)軸垂直穿過電容平面上所有的叉指電極，虛軸垂直于電容平面。設(shè)電極寬度為W，電極間隔為G，則半電極位于Z平面實(shí)軸上0到W/2之間，虛擬等位面平行于虛軸平面，距離虛軸(W+G)/2，高度為無窮大，電容Cu1由Z平面第一象限中的2條粗實(shí)線代表的電極平面和無限面積陰影部分空氣介質(zhì)構(gòu)成。為了更清晰地表述變換過程，在Z平面的第二象限與第一象限對(duì)稱作圖。

其次，用式(2)將Z平面上半平面-(W+G)/2到+(W+G)/2的無限高帶狀區(qū)域變換到T平面的整個(gè)上半平面，帶狀區(qū)域的邊界落在T平面實(shí)軸上：

(2)

表1 許瓦茲-克里斯多夫變換映射表

根據(jù)表1整理得到的映射公式如公式(3)所示，可見W平面可用T平面的第一類不完全橢圓積分表示，其中Ki為積分的模。

(3)

(4)

式中：ε0為真空介電常數(shù)；εa為空氣的相對(duì)介電常數(shù)；L為電極長(zhǎng)度，m；Cu1為空氣中表面無覆蓋時(shí)的電容，F(xiàn)。

1.3 有限厚度介質(zhì)覆蓋的表面電容模型

與1.2節(jié)類似，Z平面建立在厚度為h的介質(zhì)覆蓋下半電極電容的空間坐標(biāo)模型，如圖4所示。電容Cu2由Z平面第一象限中的2條粗實(shí)線代表的電極平面和長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分介質(zhì)構(gòu)成。

在應(yīng)用許瓦茲-克里斯多夫變換之前，需要把此有限面積的陰影部分映射到整個(gè)復(fù)平面的第一象限，步驟如下：

(5)

θ2(0,q)和θ3(0,q)為第二和第三類雅可比θ函數(shù)[18]，在計(jì)算時(shí)取其前100項(xiàng)進(jìn)行累加近似，可避免matlab對(duì)此復(fù)雜函數(shù)的符號(hào)積分計(jì)算不穩(wěn)定的問題。

第2步，以模為K的雅可比橢圓函數(shù)sn(X,K)將X平面的矩形區(qū)域映射到Y(jié)平面的上半平面[19]，即令Y=sn(X,K)，將垂直于實(shí)軸的虛擬等位面映射為實(shí)軸上的直線段。

第3步，利用式(6)將Y平面的上半平面映射到T平面的上半平面，使各電極線及介電材料在T平面的分布具有與圖3的T平面相同的形式。

(6)

(7)

式中εs為敏感薄膜的相對(duì)介電常數(shù)。

2 制造與實(shí)驗(yàn)

2.1 新型叉指電容制造

以電極占空比η為變量，分別固定W和G的值，按表2所示參數(shù)設(shè)計(jì)并制作了一批新型叉指電容PCB電路。

表2 新型叉指電容PCB電路電極參數(shù) mm

因受PCB工藝精度的限制，要求最小線寬和線距不能小于0.127 mm，考慮到邊緣電極寬度減半，因此表2中所選參數(shù)以0.21 mm為極限，小于0.127 mm寬度的半電極線按0.127 mm處理。每塊PCB上交扣叉指對(duì)的數(shù)量N=8，叉指有效長(zhǎng)度L=33 mm，每組(W,G)對(duì)應(yīng)的參數(shù)組合各加工5塊PCB，每塊PCB采用雙層板結(jié)構(gòu)，板厚1.6 mm，頂層為電極層，底層鋪銅，銅厚1盎司，表面綠油厚度0.01 mm。一塊電極占空比η=50%的新型叉指電容PCB板的實(shí)物圖如圖1(d)所示。為了進(jìn)行頻率穩(wěn)定性對(duì)比測(cè)試，還制作了電極占空比為50%的基本結(jié)構(gòu)PCB叉指電容，如圖1(c)所示。

忽略PCB表面綠油的影響，可以把圖1(d)所示的新型叉指電容看作空氣中無介質(zhì)覆蓋的平面電容結(jié)構(gòu)，適用式(1)和式(4)的聯(lián)合模型：

新時(shí)代背景下，學(xué)生就業(yè)、升學(xué)選擇面較大，事實(shí)上構(gòu)成了供給側(cè)改革的重要對(duì)象，學(xué)生能不能就業(yè)、能不能高質(zhì)量就業(yè)，關(guān)鍵在于學(xué)生綜合能力的供給水平。實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)課程是提升學(xué)生綜合動(dòng)手能力、理解能力、分析能力的重要抓手，是提高學(xué)生綜合能力的重要手段，是學(xué)生提前適應(yīng)工作崗位角色的重要契機(jī)[3]。加強(qiáng)傳統(tǒng)專業(yè)的實(shí)踐實(shí)訓(xùn)課程改革與建設(shè)，已經(jīng)成為傳統(tǒng)專業(yè)適應(yīng)新時(shí)代變化的重要路徑。

(8)

式中：C0為Cu1之外所有固定電容的組合值，F(xiàn)；Ci為式(4)中Cu1的組合值，F(xiàn)。

當(dāng)新型叉指電容表面覆蓋一定厚度的介電材料時(shí)，根據(jù)1.1節(jié)的層分解理論，其電容值適用式(1)、式(4)和式(7)的聯(lián)合模型：

(9)

式中Cf為式(7)中的Cu2組合值，F(xiàn)。

以上模型并沒有考慮C0的算術(shù)解，因?yàn)椴嬷鸽娙萦米鞅砻骐娙輦鞲衅鲿r(shí)，通常采用比較檢測(cè)前后電容差的方式度量檢測(cè)對(duì)象的參數(shù)變化，此過程可以消除固定電容的影響。當(dāng)采用直接接觸式進(jìn)行介質(zhì)測(cè)量時(shí)，適用式(8)，此時(shí)εa表示直接接觸介質(zhì)的介電常數(shù)，測(cè)量前后傳感器電容的差分值只取決于εa的變化，C0被消除；當(dāng)采用覆蓋敏感薄膜的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行介質(zhì)測(cè)量時(shí)，適用式(9)，此時(shí)測(cè)量前后傳感器電容的差分值只取決于薄膜介電常數(shù)εs的變化，C0和Ci作為固定電容部分都被消除。

2.2 新型叉指電容檢測(cè)實(shí)驗(yàn)

2.2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

新型叉指電容檢測(cè)實(shí)驗(yàn)設(shè)置如圖5(a)所示。在電容PCB板各電極接線焊盤分別焊接芯徑為1.12 mm，長(zhǎng)度為10 cm的測(cè)試導(dǎo)線，測(cè)試導(dǎo)線的另一端接入一塊具有等電位隔離功能的輔助電路板，等電位隔離的基本原理如圖5(b)所示，通過運(yùn)放緩沖電路使電容正極(+)和隔離正極(I+)之間、電容負(fù)極極(-)和隔離負(fù)極(I-)之間保持電位相等、電氣隔離，其中電阻R起靜電泄荷作用，當(dāng)隔離電極處于懸空狀態(tài)時(shí)可防止其表面積累電荷。在PCB板的電容正負(fù)電極接線焊盤處還分別焊接長(zhǎng)度為3 cm的測(cè)試導(dǎo)線，把開爾文夾的正負(fù)夾鉗夾在正負(fù)測(cè)試導(dǎo)線上，用精密LCR數(shù)字電橋(TH2827C)進(jìn)行電容測(cè)量。為了減小導(dǎo)線對(duì)電容的影響，把開爾文夾通過工作臺(tái)的萬向臂懸空夾持并左右分開。

2.2.2 電容本體檢測(cè)

將不同電極占空比的每塊新型叉指電容PCB板頂層向上置于桌面空氣環(huán)境中(19 ℃室溫，32%相對(duì)濕度)，在10 kHz頻率下進(jìn)行電容本體檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，其中電極占空比為0.3、0.5和0.7的新型叉指電容各有5塊PCB板，電極占空比為0.4和0.6的各有10塊PCB板，測(cè)量結(jié)果Ct與式(8)中上表面總電容Ci的對(duì)比情況如圖6所示。

圖6(a)中，電極占空比η的步長(zhǎng)為0.1，Ci為根據(jù)式(8)計(jì)算得到的PCB板新型叉指電容在0.1～0.9電極占空比之間的上表面電容值，Ct為在0.3～0.7電極占空比之間實(shí)測(cè)總電容值。對(duì)于電極占空比為0.4和0.6各自的10塊PCB板，每種參數(shù)組合的5塊PCB板之間的實(shí)測(cè)電容值沒有明顯差異，放到一起統(tǒng)計(jì)和顯示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，PCB板的工藝精度對(duì)檢測(cè)結(jié)果的一致性影響較大，當(dāng)電極占空比為0.3時(shí)，電極寬度只有0.21 mm，半電極寬度已經(jīng)超過PCB工藝的加工精度極限，測(cè)量值相對(duì)于均值的偏差達(dá)到了±4.81%；其次為電極占空比等于0.7時(shí)，相對(duì)偏差為±3.94%；其他電極占空比的相對(duì)偏差均在±3%以內(nèi)。從圖6(a)可以看出，Ci和Ct之間存在較大的差值，而且隨著增加差值增大。繼續(xù)以Ci為橫坐標(biāo)，以Ct均值為縱坐標(biāo)繪制在0.3～0.7電極占空比之間的理論和實(shí)測(cè)電容值對(duì)比情況如圖6(b)所示?？梢?，理論計(jì)算值和實(shí)際測(cè)量值之間存在高度線性相關(guān)性，可用一次線性方程(10)進(jìn)行擬合：

Ct=7.5Ci+3.8

(10)

式(10)的最大擬合相對(duì)偏差僅為0.34%，其中系數(shù)7.5來自PCB板內(nèi)部的空間電容分量和電容正負(fù)電極側(cè)面電容分量的綜合貢獻(xiàn)，常數(shù)3.8為模型精度、焊接、引線、加工和測(cè)量等因素導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差，其中因交扣叉指結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的電極末端轉(zhuǎn)折段的表面電容占有重要因素。

2.2.3 傳感特性實(shí)驗(yàn)

PCB板新型叉指電容的傳感特性實(shí)驗(yàn)包括2個(gè)部分：首先，在1 kHz、10 kHz、100 kHz、500 kHz和1 MHz測(cè)量頻率下，分別測(cè)試電極占空比為50%的新型叉指電容和基本結(jié)構(gòu)叉指電容，進(jìn)行兩者之間的電容頻率穩(wěn)定性對(duì)比；其次，將80 g/m2的A4打印紙(每張厚度約0.1 mm)剪裁為電容PCB板大小，在一塊同樣尺寸的ABS板上每次滴1 mL的PVAL液體膠并抹勻后將膠水轉(zhuǎn)印到紙面，分別制備2、4、6、8、10、12張疊放紙張，放置1 h后覆蓋到電容PCB板表面，對(duì)新型叉指電容有效表面感知高度進(jìn)行檢測(cè)。電容表面覆蓋紙張的檢測(cè)情況如圖5中嵌入式小圖所示。

圖7(a)給出了基本叉指電容(基本IDC)和新型叉指電容(新型IDC)的頻率穩(wěn)定性情況。其中大圖曲線為實(shí)際測(cè)量值，同一頻率點(diǎn)下不同PCB的測(cè)量相對(duì)誤差均在±3%以內(nèi)；嵌入式小圖為實(shí)測(cè)電容值的平均值在不同頻率下相對(duì)于1 kHz頻率測(cè)量值的變化百分比。可以看出，隨著頻率增高，實(shí)測(cè)電容值增大，但是新型叉指電容的增長(zhǎng)幅度穩(wěn)定地小于基本結(jié)構(gòu)叉指電容。從1 kHz到1 MHz，基本結(jié)構(gòu)叉指電容的電容值增加了9.45%，新型叉指電容的電容值增加了8.62%，約為前者的91%。受實(shí)驗(yàn)條件所限，TH2827C最高只能測(cè)到1 MHz，但是根據(jù)文獻(xiàn)[13]結(jié)論，可以預(yù)測(cè)新型叉指電容將會(huì)比基本結(jié)構(gòu)叉指電容具有更好的高頻穩(wěn)定性。

圖7(b)給出了電極占空比為0.5的新型叉指電容有效表面感知高度的實(shí)際測(cè)量值和理論計(jì)算值的對(duì)比情況，Ct為測(cè)量值，3條曲線Cf為不同電極占空比下式(9)中計(jì)算得到的表面介質(zhì)厚度從0.2～1.6 mm的電容分量，計(jì)算時(shí)取紙張的相對(duì)介電常數(shù)為2.5。由于實(shí)測(cè)總電容值在40 pF以上，而計(jì)算得到的表面電容分量在5 pF左右，為了對(duì)比清晰起見，圖中曲線數(shù)據(jù)為不同厚度介質(zhì)電容減去0.2 mm厚介質(zhì)電容的增量，誤差線為實(shí)際誤差相對(duì)于0.2 mm厚度介質(zhì)電容的比值。

由圖7(b)可見，新型叉指電容的容值隨著覆膜厚度的增加而增加，剛開始增速很快，然后逐漸放緩直到穩(wěn)定。電極占空比越大，隨膜厚增加表面電容增加值越大，電容增速拐點(diǎn)出現(xiàn)得越晚，電容的有效表面感知厚度和靈敏度也就越大。對(duì)于0.5的電極占空比，理論和實(shí)測(cè)曲線都在0.8 mm膜厚處出現(xiàn)明顯的增速拐點(diǎn)，但實(shí)測(cè)曲線的平穩(wěn)性要差得多，而且隨著膜厚增加電容值的增幅更大，這可能是由以下原因引起：實(shí)驗(yàn)時(shí)堆疊紙張之間存在不規(guī)則的氣泡分布；紙堆與PCB表面難以完全貼合，但是隨著紙堆變厚，貼合度相對(duì)變好；紙張密度的不一致導(dǎo)致介電常數(shù)的波動(dòng)等。但是總的來說，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還是從定性層面驗(yàn)證了理論模型的預(yù)測(cè)趨勢(shì)。

3 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)的新型叉指電容，利用等電位隔離電極技術(shù)，有效地消除了基本結(jié)構(gòu)叉指電容最外側(cè)電極的邊緣場(chǎng)泄漏和襯底下方電場(chǎng)泄漏產(chǎn)生的不可控寄生電容，再結(jié)合邊緣電極的寬度減半設(shè)計(jì)和以許瓦茲-克里斯多夫變換為中心的保角變換，得到了更加簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的電容解析模型。新型叉指電容采用交扣叉指電極結(jié)構(gòu)代替單指交錯(cuò)電極結(jié)構(gòu)，在不降低結(jié)構(gòu)通用性的基礎(chǔ)上，具有更加優(yōu)良的高頻性能，同時(shí)有利于形成嚴(yán)格的周期結(jié)構(gòu)，從而具有更好的解析模型通用性。新型叉指電容的設(shè)計(jì)思路尤其對(duì)薄襯底柔性叉指電容傳感器的信號(hào)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)具有借鑒意義，其通用解析模型可以直接指導(dǎo)叉指電容傳感器的參數(shù)設(shè)計(jì)。新型叉指電容適用PCB工藝進(jìn)行制造，具有良好的電容可控性、周期拓展性、頻率穩(wěn)定性和加工便利性。