低雷諾數(shù)下圓柱順流向和橫流向渦激振動(dòng)響應(yīng)分析

韋昱呈，魯 麗

（西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

引 言

在工程中廣泛存在由流體誘發(fā)的振動(dòng)問題，如機(jī)翼的顫振、蒸汽發(fā)生器傳熱管的流致振動(dòng)、海洋立管的渦激振動(dòng)等。目前學(xué)術(shù)界內(nèi)被認(rèn)可的流致振動(dòng)機(jī)理有：周期性漩渦脫落、流體彈性不穩(wěn)定、聲共振以及湍流抖振［1］。在反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)中，圓柱體結(jié)構(gòu)為發(fā)生流致振動(dòng)的主要部件，例如在橫流作用下的蒸汽發(fā)生器傳熱棒、燃料棒等。當(dāng)流體介質(zhì)以一定速度流經(jīng)圓柱結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)在圓柱尾部兩側(cè)交替產(chǎn)生周期性渦脫落，從而使圓柱受到周期性變化的升力，誘發(fā)圓柱結(jié)構(gòu)的振動(dòng)；而圓柱結(jié)構(gòu)的振動(dòng)又會(huì)反作用于流體，改變流體的流動(dòng)狀態(tài)，從而改變尾渦模態(tài)。這種流體與結(jié)構(gòu)間由于周期性漩渦脫落產(chǎn)生的相互作用被稱為渦激振動(dòng)［2］（Vortex-Induced Vibration，VIV）。

對于二維彈性支撐圓柱的實(shí)驗(yàn)研究較多。Feng［3］最早在風(fēng)洞試驗(yàn)中觀察到圓柱結(jié)構(gòu)的渦激振動(dòng)現(xiàn)象。Williamson等［4-5］在一系列經(jīng)典水洞實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)質(zhì)量阻尼參數(shù)（m*ζ）較大時(shí)，圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)存在兩個(gè)分支，即初始分支（initialbranch）和下端分支（lowerbranch）；當(dāng)質(zhì)量阻尼參數(shù)較小時(shí)，響應(yīng)存在3 個(gè)分支，即初始分支、上端分支（upperbranch）以及下端分支；各響應(yīng)分支間存在跳躍現(xiàn)象。呂振等［6］采用肋板蒙皮結(jié)構(gòu)降低圓柱質(zhì)量比并進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)，得到了圓柱渦激振動(dòng)的兩個(gè)響應(yīng)分支。目前對圓柱渦激振動(dòng)的數(shù)值模擬較主流的方法是將圓管等三維細(xì)長柔性結(jié)構(gòu)簡化為一系列質(zhì)點(diǎn)模型，利用靜力學(xué)等效方法獲得各質(zhì)點(diǎn)的彈簧支撐參數(shù)，則每個(gè)質(zhì)點(diǎn)可視為二維的質(zhì)量-彈簧-阻尼結(jié)構(gòu)，然后通過建立每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的二維渦激振動(dòng)模型計(jì)算其渦激振動(dòng)響應(yīng)。該方法近似認(rèn)為各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的渦激振動(dòng)響應(yīng)是橫流作用下三維細(xì)長柔性圓管的渦激振動(dòng)響應(yīng)［7-9］。

由于圓柱在順流方向的振動(dòng)幅值遠(yuǎn)小于其在橫流方向的振幅，因此在以往大多數(shù)研究中，都以圓柱在橫流方向上的振動(dòng)為主，忽略了順流方向?qū)M流方向振動(dòng)的影響［10-14］。Jauvtis 等［15］認(rèn)為，當(dāng)圓柱的質(zhì)量比m*<6時(shí)，必須考慮順流向振動(dòng)對圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)的影響。Martins 等［16］采用Williamson 的實(shí)驗(yàn)參數(shù)對單自由度及兩自由度圓柱進(jìn)行數(shù)值模擬，得出兩自由度圓柱最大橫向振幅為1.5D（單自由度為1.1D，其中D 為圓柱直徑）。黃智勇等［17］分別建立單自由度與兩自由度圓柱渦激振動(dòng)數(shù)值模型，結(jié)果表明，當(dāng)m*<3.5時(shí)，考慮了順流方向振動(dòng)的渦激振動(dòng)模型比單自由度渦激振動(dòng)模型在橫流方向產(chǎn)生了更大的振幅。

基于實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛿?shù)值模型，較多學(xué)者對高雷諾數(shù)下單圓柱的單自由度與兩自由度渦激振動(dòng)展開研究，并取得了豐富的成果，而對低雷諾數(shù)下單圓柱的單自由度、兩自由度渦激振動(dòng)對比研究較少?；诖?，本文采用CFD 商業(yè)軟件Fluent 求解器以及動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，嵌套自編UDF 程序?qū)崿F(xiàn)雙向流固耦合，分別建立單自由度及兩自由度二維彈性支撐剛性圓柱的渦激振動(dòng)模型，對雷諾數(shù)Re=150時(shí)的圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析，并討論順流方向的振動(dòng)對圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1 數(shù)值模型的建立

通過求解二維非定常納維-斯托克斯方程（N-S 方程）來獲取單圓柱渦激振動(dòng)的流場流動(dòng)狀態(tài)，不可壓縮流體的連續(xù)性方程可表示為：

不可壓縮粘性流體非定常流動(dòng)的N-S 方程有如下形式：

其中，ρ 為不可壓縮流體密度，ui為在i 方向上的瞬時(shí)速度分量，p 為壓力，ν=μ/ρ 為運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)，uj為動(dòng)力粘度系數(shù)，t、xi分別為時(shí)間、笛卡爾坐標(biāo)系。

使用CFD 商業(yè)軟件Fluent 求解器求解流體控制方程，獲得流場流動(dòng)狀態(tài)，在低雷諾數(shù)（Re=150）下進(jìn)行數(shù)值模擬，采用Laminar 層流模型，采用的邊界條件為：流場左端為速度入口（Velocity-Inlet），右端為壓力出口（Pressure-Outlet），上下采用對稱邊界（Symmetry），圓柱表面采用無滑移壁面條件（No-SlipWall）。選取的計(jì)算流域大小為20D×40D，尾渦軌跡區(qū)域長度為30D，圓柱前端以及上下邊界距離圓柱均為10D，流體域模型如圖1所示。

圖1 單圓柱二維渦激振動(dòng)流場模型

為確保網(wǎng)格質(zhì)量，流體域網(wǎng)格全部采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行劃分。距離圓柱較遠(yuǎn)區(qū)域的網(wǎng)格劃分采用指數(shù)形式分布，以減少整體網(wǎng)格數(shù)量，保證計(jì)算效率；在近壁面區(qū)域以及圓柱尾流區(qū)域?qū)W(wǎng)格進(jìn)行加密，靠近圓柱表面附近為邊界層網(wǎng)格（Y+<1），以確保計(jì)算精度要求，整個(gè)計(jì)算域的網(wǎng)格數(shù)量為11 548。流體域網(wǎng)格模型如圖2所示。

圖2 彈性支撐圓柱流場計(jì)算網(wǎng)格模型

二維彈性支撐剛性圓柱結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 二維彈性支撐剛性圓柱結(jié)構(gòu)

根據(jù)牛頓第二定律，二維彈性支撐剛性圓柱的運(yùn)動(dòng)控制方程可以表示為：

其中，m 為圓柱的質(zhì)量，c為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，k為結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)，F(xiàn)D，F(xiàn)L分別為圓柱受到的阻力以及升力。式（3）還可以表示為：

其中，ω0= k m 為圓柱的固有圓頻率系統(tǒng)阻尼比。

作用在圓柱上的阻力及升力可通過流場計(jì)算得到，阻力、升力與阻力系數(shù)CD、升力系數(shù)CL之間符合以下關(guān)系：

其中，U∞為流場來流速度，L 為圓柱的長度，對于二維平面，取圓柱長度為1 m；D為圓柱直徑。

使用Runge-Kutta 法對式（4）進(jìn)行離散求解，采用C語言將離散后的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程寫入用戶自定義函數(shù)UDF（User-Defined Function）中。具體的雙向流固耦合算法實(shí)現(xiàn)步驟為：在一個(gè)時(shí)間步長內(nèi)，先采用Fluent 求解器對流場進(jìn)行求解，根據(jù)邊界條件獲取流場和二維圓柱表面的壓力、速度等信息，利用DEFINE宏提取作用在圓柱表面的阻力及升力；然后代入圓柱的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程中，通過求解二維圓柱的運(yùn)動(dòng)方程，得到當(dāng)前時(shí)間步下圓柱運(yùn)動(dòng)的位移和速度；再利用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，使用當(dāng)前時(shí)間步下圓柱的位移和速度對網(wǎng)格進(jìn)行更新，然后進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間步的求解。具體耦合算法流程如圖4所示。

圖4 雙向流固耦合計(jì)算流程

2 響應(yīng)計(jì)算及分析

2.1 固定圓柱繞流驗(yàn)證

為確保流場模型計(jì)算的準(zhǔn)確性，分別在雷諾數(shù)Re=100，150，200 情況下進(jìn)行固定圓柱繞流計(jì)算，并將各雷諾數(shù)下計(jì)算得到的升力系數(shù)最大幅值CmaxL同文獻(xiàn)［18-19］進(jìn)行對比，見表1。

表1 不同雷諾數(shù)下CmaxL 對比

斯特勞哈爾數(shù)St數(shù)（Strouhal number）表達(dá)式為：

通過對升力系數(shù)時(shí)程響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，得到尾流渦脫頻率fs，再通過式（6）計(jì)算不同雷諾數(shù)對應(yīng)的斯托勞哈爾數(shù)，同文獻(xiàn)［18-19］進(jìn)行對比，見表2。從表1與表2中可看出，本文使用的CFD 求解模型與前人的計(jì)算結(jié)果吻合良好，確保了流場計(jì)算模型的有效性。

表2 不同雷諾數(shù)下St數(shù)對比

2.2 單自由度的響應(yīng)計(jì)算

選取的圓柱渦激振動(dòng)計(jì)算參數(shù)為：質(zhì)量比m*=5，阻尼比ζ =0.0056，圓柱直徑D=0.0554 m，來流速度U∞=0.5 m/s，雷諾數(shù)Re=150。無量綱約化速度為：

由式（7）可見，可通過改變圓柱固有頻率fn的大小來實(shí)現(xiàn)Ur的變化，Ur的取值范圍為2~10。

圖5 所示為不同約化速度下橫向無量綱位移y/D、升力系數(shù)以及阻力系數(shù)的響應(yīng)時(shí)程曲線。從圖5 中位移比與升力系數(shù)之間的關(guān)系可以看出，當(dāng)約化速度較小時(shí)，渦激振動(dòng)位移與升力系數(shù)的相位基本相同；隨著約化速度的增加，位移與升力系數(shù)之間出現(xiàn)反相位。這種圓柱渦激振動(dòng)位移與升力系數(shù)從同相位變?yōu)榉聪辔坏默F(xiàn)象稱為“相位開關(guān)”。另外，從圖5 中升力系數(shù)與阻力系數(shù)之間的關(guān)系可以看出，升力系數(shù)的振動(dòng)周期是阻力系數(shù)的兩倍，這是由于在圓柱尾部兩側(cè)形成周期性渦脫落時(shí)，每發(fā)生兩次渦脫落會(huì)使順流方向的阻力產(chǎn)生一個(gè)周期變化，而每發(fā)生四次渦脫落才會(huì)使橫流方向的升力產(chǎn)生一個(gè)周期變化。

圖5 單自由度橫向位移、升力系數(shù)、阻力系數(shù)時(shí)程曲線

圖6 所示為單自由度渦激振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果。圖6（a）所示為圓柱渦激振動(dòng)的橫向無量綱振幅Ay/D 隨約化速度Ur的變化曲線，從圖中可以看出，隨著Ur的變化，圓柱渦激振動(dòng)橫向振幅呈現(xiàn)出3 個(gè)不同區(qū)域，即初始分支（2≤Ur≤4）、下端分支（4.5≤Ur≤8）以及非同步區(qū)域（8.5≤Ur≤10），且下端分支的振幅遠(yuǎn)大于其余兩個(gè)區(qū)域，表明此時(shí)響應(yīng)進(jìn)入“鎖定”（Lock-In）區(qū)域。同時(shí)還可以觀察到，在下端分支上橫向振幅隨著Ur的增大而減小，該變化規(guī)律同文獻(xiàn)［20］中的變化規(guī)律一致。

圖6 單自由度渦激振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果

圖6 （b）給出了不同約化速度Ur所對應(yīng)的升、阻力系數(shù)均方根值，從圖中可以看出，在初始分支上隨著Ur的增加迅速增加到0.9 附近；進(jìn)入同步區(qū)域后，迅速減小至0.07 附近并趨于穩(wěn)定；退出鎖定區(qū)域后，跳躍至0.2 附近并隨著Ur的增加而緩慢增加。略有不同，在初始分支前端（Ur=2~3.5），穩(wěn)定保持在一個(gè)較小的數(shù)值附近；在初始分支末端（Ur=4），突然增加，當(dāng)Ur=4.5 時(shí)，即響應(yīng)剛進(jìn)入下端分支時(shí)，增加至0.5附近，隨后在鎖定區(qū)域內(nèi)隨著Ur的增加逐漸減?。贿M(jìn)入非同步區(qū)域后，趨于平穩(wěn)。

2.3 兩自由度的響應(yīng)計(jì)算

在響應(yīng)求解程序中同時(shí)考慮順流方向和橫流方向的自由度，實(shí)現(xiàn)兩自由度圓柱渦激振動(dòng)的響應(yīng)計(jì)算。

單自由度與兩自由度圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果對比如圖7 所示。由圖7（a）可以看出，兩自由度渦激振動(dòng)情況下橫向振幅同樣存在3 個(gè)區(qū)域，這個(gè)現(xiàn)象與單自由度一致，但是兩自由度情況下的下端分支振幅大于單自由度，這表明考慮順流向的振動(dòng)后，橫向振幅有所增加。由圖7（b）可看出兩自由度情況下升力系數(shù)及阻力系數(shù)的變化規(guī)律與單自由度一致，升力系數(shù)在進(jìn)入下端分支前隨Ur的增加而增加，進(jìn)入下端分支后隨Ur的增加而減小直至趨于穩(wěn)定，進(jìn)入非同步區(qū)域后跳躍至一個(gè)較大的值后隨Ur的增加而緩慢增加；阻力系數(shù)在剛進(jìn)入下端分支時(shí)增加至最大值，而后隨Ur的增加而減小，最終趨于穩(wěn)定。圖7（c）所示為各個(gè)Ur對應(yīng)的橫向振動(dòng)頻率比fy/fn，從圖中可以看出，單自由度和兩自由度渦激振動(dòng)響應(yīng)的下端分支對應(yīng)的頻率比在1 附近，表明此時(shí)振動(dòng)頻率接近固有頻率，發(fā)生共振，響應(yīng)進(jìn)入鎖定區(qū)域；其余兩個(gè)區(qū)域的頻率比則保持在St=0.183 附近。圖7（d）給出了不同約化速度下橫向位移響應(yīng)與升力系數(shù)間的相位角θ分布圖，從圖中可以看出，當(dāng)響應(yīng)處于初始分支時(shí)（2≤Ur≤4），橫向位移與升力同相位；進(jìn)入下端分支后，相位角在Ur=5 與Ur=5.5 之間發(fā)生跳躍，隨著Ur的增加，相位角逐漸增加至165°；直至進(jìn)入非同步區(qū)域（Ur=8.5~10）后，橫向響應(yīng)與升力系數(shù)完全反相位，即相位角為180°。

圖7 單自由度與兩自由度圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果

圖8 所示為不同Ur下兩自由度圓柱渦激振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖8（a）、圖8（c）、圖8（d）的約化速度分別位于初始分支、下端分支和非同步區(qū)域，從圖中可以看出，圓柱在3 個(gè)不同響應(yīng)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)出“8”字形，這表明渦激振動(dòng)具有一定的自限性。由圖8（b）可看出，當(dāng)Ur=4 時(shí)，圓柱的運(yùn)動(dòng)軌跡較紊亂。圖9 所示為Ur=4 時(shí)單自由度和兩自由度渦激振動(dòng)各參數(shù)的響應(yīng)時(shí)程曲線，圖中可見當(dāng)Ur=4 時(shí)，單自由度與兩自由度的響應(yīng)均呈現(xiàn)出“拍”現(xiàn)象。這表明當(dāng)響應(yīng)在即將離開初始分支進(jìn)入下端分支時(shí)，圓柱的振動(dòng)頻率與尾流渦脫頻率發(fā)生分離，圓柱在兩個(gè)不同頻率的相互作用下出現(xiàn)了拍振現(xiàn)象。

圖8 兩自由度渦激振動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖9 Ur=4時(shí)響應(yīng)的“拍”現(xiàn)象

3 結(jié)論

利用CFD 商業(yè)軟件Fluent 求解器，在定雷諾數(shù)（Re=150）下對單圓柱結(jié)構(gòu)渦激振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬，并結(jié)合動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)以及UDF程序?qū)崿F(xiàn)雙向流固耦合，通過直接改變結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)控制方程中的圓柱固有頻率fn來模擬圓柱在不同約化速度下的渦激振動(dòng)響應(yīng)，得出結(jié)論如下：

（1）在較大的約化速度范圍（Ur=2~10）對圓柱進(jìn)行單自由度和兩自由度流固耦合數(shù)值模擬，獲得圓柱在不同約化速度下的渦激振動(dòng)特性，并捕捉到響應(yīng)的“初始分支”及“下端分支”，觀察到“鎖定”、“相位開關(guān)”和“拍”等現(xiàn)象，鎖定區(qū)域?qū)?yīng)的約化速度范圍為Ur=4.5~8.0。

（2）圓柱結(jié)構(gòu)在考慮了順流方向上的振動(dòng)后，會(huì)使橫流方向的振幅有所增加，且在鎖定區(qū)域內(nèi)順流方向的振幅也會(huì)增大，因此不能忽略其對橫流方向振動(dòng)造成的影響。

（3）圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)僅在即將離開初始分支進(jìn)入下端分支時(shí)出現(xiàn)“拍”現(xiàn)象，其余各處圓柱渦激振動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡都呈穩(wěn)定的“8”字形，表明圓柱渦激振動(dòng)具有一定的自限性。