二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性計算和可視化

王培穎，卓海珊，黃思敏

（廣州理工學(xué)院 通識教育學(xué)院，廣東 廣州 510540）

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，二元函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性是一個重點，難點，利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB的計算和圖形功能，可以幫助我們深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性的概念[1-3]。

1 問題和解答及其圖示

[問題]

[解答]

利用MATLAB可以畫出二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)f′x(x,y)和f′y(x,y)的曲面[5]。如圖1和圖2所示。在二元函數(shù)f′x(x,y)曲面上，點(0,0)處是一條縫，沒有固定函數(shù)值，說明f′x(0,0)不存在。在二元函數(shù)f′y(x,y)曲面上，f′y(0,0)存在且為0。

圖1 二元函數(shù)z=(x2+y4)對x的偏導(dǎo)數(shù)曲面

圖2 二元函數(shù)z=(x2+y4)對y的偏導(dǎo)數(shù)曲面

2 問題的推廣和圖示

圖3 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2對x的偏導(dǎo)數(shù)沿y=kx趨于(0,0)時的極限

圖4 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2對y的偏導(dǎo)數(shù)沿y=kx趨于(0,0)時的極限

圖5 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2對x的偏導(dǎo)數(shù)沿x=ky2趨于(0,0)時的極限

圖6 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2對y的偏導(dǎo)數(shù)沿x=ky2趨于(0,0)時的極限

圖7 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2的曲面

圖8 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2在Oxz平面上的投影

圖9 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2在Oyz平面上的投影

3 結(jié)論

一個問題的解決可能比較簡單，將問題推廣，就能提出新的問題，進而解決系列問題。在研究多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性時，手工演算是必不可少的。應(yīng)用MATLAB計算和繪圖，可以檢驗手工計算結(jié)果的正確性。這種方法也可以應(yīng)用于判斷二元函數(shù)在某一點的連續(xù)性。

MATLAB功能強大，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著重要應(yīng)用。建議大學(xué)第一學(xué)期就開設(shè)有關(guān)的課程，為學(xué)生學(xué)習(xí)提供強有力的學(xué)習(xí)工具，提高學(xué)生提出問題和解決問題的能力。