高階聲場(chǎng)傳感器陣列超分辨方位估計(jì)方法研究

劉硯鳴， 汪勇， 楊益新

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710072)

隨著水下目標(biāo)探測(cè)中的可用信噪比降低，傳統(tǒng)聲吶的尺寸和性能之間的矛盾越來(lái)越突出，如何提高陣列在低信噪比以及孔徑受限情況下的目標(biāo)方位估計(jì)性能是亟待解決的重要問(wèn)題。在這種背景下聲矢量傳感器備受關(guān)注，常見(jiàn)的矢量傳感器由一個(gè)聲壓傳感器和幾個(gè)振速傳感器組成，可以同步獲取空間中同一位置的聲壓，振動(dòng)速度甚至更高階的聲場(chǎng)信息[1-4]，能夠帶來(lái)單個(gè)傳感器以及陣列參數(shù)估計(jì)性能的提升。矢量傳感器有著多輸出的特點(diǎn)，對(duì)于這一特殊的信號(hào)結(jié)構(gòu)，Nehorai等[1]提出了矢量傳感器陣列的長(zhǎng)矢量信號(hào)模型，將矢量傳感器的每個(gè)輸出分別視為一個(gè)獨(dú)立陣元的輸出?；谠撃Ｐ停m用于聲壓傳感器陣列的大多數(shù)陣列信號(hào)處理算法可以應(yīng)用于矢量傳感器陣列。在實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)矢量傳感器只能測(cè)量聲壓和一階振速，獲得的增益有限，雖然目前的一些研究著眼于更高階[5]且硬件實(shí)現(xiàn)上也初具雛形，但是高階矢量傳感器的研發(fā)及應(yīng)用仍然面臨著一些難題[4]。

相位模態(tài)域陣列信號(hào)處理是一類基于圓環(huán)陣列或是球面陣列的信號(hào)處理方法，相位模態(tài)理論以陣列入射平面波的空間傅立葉分析為基礎(chǔ)，通過(guò)傅立葉級(jí)數(shù)得到聲壓傳感器的加權(quán)系數(shù)，從而獲得正交的諧波分量[6-8]。Meyer等[9-10]將相位模態(tài)波束成形理論應(yīng)用于安裝在球面上的圓環(huán)及球形麥克風(fēng)陣列，獲得了優(yōu)秀的指向性，Teutsch[11-13]對(duì)2種陣列的相位模態(tài)理論及相位模態(tài)域的部分方位估計(jì)算法有較為全面的論述，Sun等[14]利用球面麥克風(fēng)陣列在室內(nèi)混響條件下對(duì)幾種常見(jiàn)的相位模態(tài)域方位估計(jì)算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析。目前針對(duì)相位模態(tài)域信號(hào)處理展開(kāi)的研究多局限于單個(gè)圓環(huán)陣列或是球面陣列，鮮有研究將其作為陣元組成陣列以提高目標(biāo)方位估計(jì)性能。

本文將以圓環(huán)孔徑為研究對(duì)象，提出基于相位模態(tài)理論的高階聲場(chǎng)傳感器的概念，并構(gòu)建高階聲場(chǎng)傳感器陣列的信號(hào)模型，借鑒矢量傳感器陣列的思想進(jìn)行信號(hào)處理以充分發(fā)揮其性能優(yōu)勢(shì)，并采用超分辨方位估計(jì)方法中常用的MUSIC算法進(jìn)行性能分析。高階聲場(chǎng)傳感器能夠利用比矢量傳感器更容易實(shí)現(xiàn)的物理結(jié)構(gòu)獲取更高階的聲場(chǎng)信息，具有和矢量傳感器相似的多維信號(hào)結(jié)構(gòu)。通過(guò)仿真分析發(fā)現(xiàn)高階聲場(chǎng)傳感器陣列較矢量傳感器陣列具有更好的方位估計(jì)性能。

1 基于相位模態(tài)理論的高階聲場(chǎng)傳感器的信號(hào)模型

本文以二維平面為研究場(chǎng)景，平面內(nèi)有K個(gè)復(fù)高斯信號(hào)源分別位于[θ1θ2…θK]方向。本節(jié)將構(gòu)建高階聲場(chǎng)傳感器的信號(hào)模型。

基于相位模態(tài)分解理論的高階聲場(chǎng)傳感器可以利用聲壓傳感器組成的圓環(huán)陣列構(gòu)造。如圖1所示，單個(gè)高階聲場(chǎng)傳感器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由M個(gè)聲壓傳感器均勻分布而構(gòu)成的小型圓環(huán)陣列，位置等效為圓環(huán)孔徑的圓心。這些聲壓傳感器在θ方向的導(dǎo)向向量為列向量a(θ)，其中第m個(gè)元素為：

(1)

式中：λ為波長(zhǎng)；pm=(x,y)T為第m號(hào)聲壓傳感器的位置向量，x和y分別為橫縱坐標(biāo)；u=(cosθ,sinθ)T為單位方向向量。

高階聲場(chǎng)傳感器中聲壓傳感器的接收信號(hào)xp(t)=[x1(t)x2(t) …xM(t)]T可以表示為：

xp(t)=As(t)+ep(t)

(2)

其中：t為時(shí)間快拍；A=[a(θ1)a(θ2) …a(θK)]為陣列流形矩陣；s(t)=(s1(t),s2(t),…,sK(t))為聲源信號(hào)；ep(t)為t時(shí)刻的接收噪聲向量。

以聲透明圓環(huán)陣列的柱面諧波分解[7,12]為例，對(duì)接收到的聲壓信號(hào)進(jìn)行相位模態(tài)分解可得高階聲場(chǎng)傳感器的n階輸出信號(hào)：

(3)

式中：n為模態(tài)階數(shù)；?m為m號(hào)與1號(hào)聲壓傳感器之間對(duì)應(yīng)的圓心角。相位模態(tài)信號(hào)的最高階數(shù)受到聲壓傳感器數(shù)量的限制，滿足M>2Nmax，因此高階聲場(chǎng)傳感器輸出的通道數(shù)為Nc=Nmax+1。

對(duì)聲壓傳感器的導(dǎo)向向量進(jìn)行分解，可以獲得n階相位模態(tài)對(duì)θ方向的響應(yīng)：

inJn(kR)exp(-inθ)

(4)

式中：k=2π/λ為信號(hào)波數(shù)；R為圓環(huán)半徑。如不考慮幅度項(xiàng)，單個(gè)高階聲場(chǎng)傳感器的導(dǎo)向向量為：

h(θ)=[1 iexp(-iθ) … inexp(-inθ)]T

(5)

n階相位模態(tài)響應(yīng)的方位角相關(guān)項(xiàng)exp(-inθ)的實(shí)部和虛部分別為cos(nθ)和sin(nθ)，如圖2所示。

圖2 高階聲場(chǎng)傳感器各階響應(yīng)的方位角相關(guān)項(xiàng)Fig.2 Azimuth-dependent component of the phase mode of the HOAS

將式(2)代入式(3)，可以將其改寫為：

Jn(kR)hns(t)+e′n(t)

(6)

式中：hn=[inexp(-inθ1) inexp(-inθ2) … inexp(-inθK)]；e′n(t)為聲壓傳感器接收到的噪聲信號(hào)經(jīng)過(guò)n階分解后所得噪聲部分。

此外，在作為陣元組成陣列使用時(shí)，高階聲場(chǎng)傳感器的半徑受到陣元間距d的限制，即：

2 高階聲場(chǎng)傳感器陣列超分辨方位估計(jì)

高階聲場(chǎng)傳感器陣列的信號(hào)處理借鑒了矢量傳感器陣列的思想，將單個(gè)高階聲場(chǎng)傳感器的每一階輸出看作是一個(gè)獨(dú)立陣元的輸出信號(hào)，從而可以將陣列的每一時(shí)刻的各路輸出排列成一個(gè)矢量，稱為長(zhǎng)矢量模型。該模型中N個(gè)高階聲場(chǎng)傳感器的輸出可等效為NNc個(gè)獨(dú)立陣元的輸出信號(hào)：

X=Ls+e′L

(7)

其中，s=[s1s2…sK]為聲源信號(hào)矩陣；e′L為聲壓傳感器的接收噪聲經(jīng)相位模態(tài)分解后按長(zhǎng)矢量排列所得的噪聲矩陣；L=[l(θ1)l(θ2) …l(θK)]為高階聲場(chǎng)傳感器陣列導(dǎo)向向量矩陣，其中θ方向的導(dǎo)向向量為：

l(θ)=b(θ)?h(θ)∈CNNc×1

(8)

式中b(θ)為陣列的導(dǎo)向向量，可通過(guò)將陣元位置代入式(1)獲得。

陣列輸出的協(xié)方差矩陣為：

R=E[XXH]∈CNNc×NNc

(9)

以MUSIC算法作為超分辨方法應(yīng)用于高階聲場(chǎng)傳感器陣列，該方法利用了信號(hào)和噪聲子空間之間的正交性，通過(guò)特征分解R=UΣUH求得R的子空間為U=[UsUn]，Σ是主對(duì)角線元素為特征值的對(duì)角矩陣。本文中假設(shè)目標(biāo)數(shù)已知，根據(jù)目標(biāo)數(shù)截去前K個(gè)較大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，得到噪聲子空間Un，由此可得MUSIC算法的空間方位譜為：

(10)

最后通過(guò)譜峰搜索獲取目標(biāo)方位。與高階聲場(chǎng)傳感器相比，矢量傳感器僅由一個(gè)聲壓傳感器和2個(gè)相互垂直的振速傳感器組成，其導(dǎo)向向量為：

v(θ)=[1 cosθsinθ]T

(11)

在二維平面各向同性噪聲場(chǎng)[15]中，各通道的歸一化噪聲互譜矩陣為ρn=diag(1,1/2,1/2)[16]。

在矢量傳感器陣列的長(zhǎng)矢量模型[1]中，接收信號(hào)矩陣Xv為：

Xv=Lvs+ev

(12)

其中Lv=[lv(θ1)lv(θ2) …lv(θK)]為矢量傳感器陣列的導(dǎo)向向量矩陣；lv(θ)=b(θ)?v(θ)為θ方向的導(dǎo)向向量；ev(t)為噪聲矩陣。對(duì)矢量傳感器陣列，同樣可以應(yīng)用MUSIC算法進(jìn)行方位估計(jì)[2]。

與矢量傳感器相比，高階聲場(chǎng)傳感器的0階響應(yīng)與矢量傳感器中聲壓傳感器的響應(yīng)一致，1階響應(yīng)的實(shí)部和虛部分別與單個(gè)振速傳感器的響應(yīng)一致，兩種傳感器的信號(hào)結(jié)構(gòu)存在一定相似之處。

3 數(shù)值仿真與分析

本節(jié)將對(duì)高階聲場(chǎng)傳感器陣列(高階陣)的方位估計(jì)性能進(jìn)行仿真分析，并與矢量傳感器陣列(矢量陣)的性能進(jìn)行比較，主要從對(duì)雙目標(biāo)的分辨能力以及成功分辨情況下的均方根誤差展開(kāi)，為了得到更客觀的結(jié)論，將從信噪比、快拍數(shù)、陣元數(shù)、目標(biāo)的角度間隔等因素對(duì)陣列方位估計(jì)性能的影響進(jìn)行仿真分析。

在仿真中均勻直線陣沿x軸按照陣元間距為半波長(zhǎng)布放，假設(shè)每個(gè)陣元之間噪聲不相關(guān)。在二維平面中遠(yuǎn)場(chǎng)存在2個(gè)等強(qiáng)度不相關(guān)的復(fù)高斯聲源，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)為500。如果沒(méi)有特別指出，高階陣列和矢量陣列陣元個(gè)數(shù)均為6，快拍數(shù)為200，聲源分別位于50°和60°方向，信噪比定義為：

(13)

陣列成功分辨兩目標(biāo)的判定標(biāo)準(zhǔn)為[17]：

(14)

在此基礎(chǔ)上，分辨概率為成功分辨的仿真次數(shù)與總次數(shù)的比值。均方根誤差定義為：

(15)

式中T′為統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)次數(shù)。

在仿真中，高階聲場(chǎng)傳感器的半徑滿足kR=1，高階陣列的階數(shù)表示陣列中高階聲場(chǎng)傳感器陣元的階數(shù)。當(dāng)陣列的分辨概率較低時(shí)，成功分辨的仿真次數(shù)較少，此時(shí)樣本數(shù)較少的均方根誤差不足以反映統(tǒng)計(jì)特性，不再給出相應(yīng)的結(jié)果。

圖3給出了不同陣列的分辨概率隨信噪比的變化情況，從中可以看出，在信噪比為-7～0 dB高階陣對(duì)2目標(biāo)的分辨能力優(yōu)于矢量陣列，3階高階陣列的分辨概率最大，當(dāng)信噪比為-4 dB時(shí)，2階高階陣的分辨概率較矢量陣列高出大于0.3，在信噪比在大于0 dB時(shí)，2種陣列的分辨能力基本一致。與之對(duì)應(yīng)，圖4給出了相應(yīng)信噪比下成功分辨的仿真所得目標(biāo)方位估計(jì)值的均方根誤差，在低信噪比下矢量陣列的誤差大于高階陣列，階數(shù)較高的高階陣列誤差較小，隨著信噪比增大各陣列的誤差逐漸趨于一致。

圖3 不同陣列對(duì)2目標(biāo)的分辨概率隨信噪比變化情況Fig.3 Detection probability of two targets versus SNR for different arrays

圖4 不同陣列成功分辨后方位估計(jì)結(jié)果的均方根誤差隨信噪比變化情況Fig.4 RMSE of DOAs versus SNR for different arrays in case of successful detection

圖5給出了在信噪比為0 dB時(shí)不同陣列對(duì)2目標(biāo)的分辨概率隨快拍數(shù)變化情況。從中可以看出，在快拍數(shù)小于250的條件下，高階陣列較矢量陣列有更強(qiáng)的雙目標(biāo)分辨能力，3階高階陣列較2階陣列有更強(qiáng)的分辨能力。圖6給出了相應(yīng)快拍數(shù)下成功分辨的仿真所得方位估計(jì)值的均方根誤差，給定的快拍數(shù)下矢量陣列的誤差最大，越高階數(shù)的高階陣列誤差越小。

圖5 不同陣列對(duì)兩目標(biāo)的分辨概率隨快拍數(shù)變化情況Fig.5 Detection probability of two targets versus the number of snapshots for different arrays

圖6 不同陣列成功分辨后方位估計(jì)結(jié)果的均方根誤差隨快拍數(shù)變化情況Fig.6 RMSE of DOAs versus the number of snapshots for different arrays in case of successful detection

圖7給出了信噪比為0 dB時(shí)不同陣列對(duì)2個(gè)目標(biāo)的分辨概率隨陣元數(shù)變化情況，陣元間隔均為半波長(zhǎng)，從圖中可以看出，對(duì)于6～8個(gè)陣元的均勻直線陣，高階陣列比矢量陣列有更高的分辨概率。圖8給出了相應(yīng)陣元數(shù)下陣列成功分辨的仿真所得目標(biāo)方位估計(jì)值的均方根誤差，高階陣列較矢量陣列具有更小的估計(jì)誤差，給定仿真條件下陣元個(gè)數(shù)越少其優(yōu)勢(shì)越明顯，當(dāng)陣元數(shù)增多到11個(gè)時(shí)，各陣列的分辨概率趨近于1，估計(jì)誤差趨近于0。整體來(lái)看，3階高階陣列的方位估計(jì)性能最優(yōu)，矢量陣列稍差。

圖7 不同陣列對(duì)2目標(biāo)的分辨概率隨陣元數(shù)變化情況Fig.7 Detection probability of two targets versus the element number for different arrays

圖8 不同陣列成功分辨后方位估計(jì)結(jié)果的均方根誤差隨陣元數(shù)變化情況Fig.8 RMSE of DOAs versus the element number for different arrays in case of successful detection

圖9給出了信噪比為0 dB時(shí)不同陣列對(duì)2個(gè)目標(biāo)的分辨概率隨目標(biāo)間隔變化情況，仿真中目標(biāo)1位于80°方向，目標(biāo)2則在84°～94°變換。從中可以看出，在角度間隔為6°～8°，高階陣的分辨概率高于矢量陣列，在7°時(shí)2階高階陣列的分辨概率高出矢量陣列大于0.3。從圖10不同陣列成功分辨后方位估計(jì)結(jié)果的均方根誤差隨目標(biāo)間隔變化情況可以看出，給定仿真條件下高階陣列的誤差始終小于矢量陣列，隨著目標(biāo)間隔的增大，2階高階陣列與矢量陣列估計(jì)誤差之間的差距逐漸減小。在間隔相對(duì)較小的情況下，階數(shù)越高的高階陣列方位估計(jì)性能越好，較矢量陣列存在一定優(yōu)勢(shì)。

圖9 不同陣列對(duì)2目標(biāo)的分辨概率隨目標(biāo)間隔變化情況Fig.9 Detection probability of two targets versus the azimuth angle between them for different arrays

圖10 不同陣列成功分辨后方位估計(jì)結(jié)果的均方根誤差隨目標(biāo)間隔變化情況Fig.10 RMSE of DOAs versus the azimuth angle between two targets for different arrays in case of successful detection

綜合以上仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在低信噪比、少快拍、小陣元數(shù)、小目標(biāo)間隔的仿真中，高階聲場(chǎng)傳感器陣列與矢量傳感器陣列相比，均展現(xiàn)出了一定的方位估計(jì)性能優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

1)物理結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，而且可以通過(guò)增加聲壓傳感器的數(shù)目來(lái)獲取更高階的信號(hào)。

2)在長(zhǎng)矢量模型中以MUSIC算法為例，在信噪比低、快拍數(shù)少、陣元數(shù)少、目標(biāo)間隔小的條件下，高階聲場(chǎng)傳感器陣列對(duì)多目標(biāo)具有更好的分辨能力和更小的均方根誤差。

后續(xù)研究將把二維空間中高階聲場(chǎng)傳感器陣列的處理方法推廣至三維空間中的球面高階聲場(chǎng)傳感器，并對(duì)高階聲場(chǎng)傳感器陣列的優(yōu)化方法展開(kāi)研究。