基于雙層規(guī)劃模型的高速鐵路社會定價方法研究

丁昌星 許旺土 楊成和

(1.廈門大學(xué)， 福建 廈門 361000；2.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司， 成都 610031)

近年來，隨著高速鐵路的飛速發(fā)展，越來越多的旅客將高速鐵路作為出行交通工具的首選。相對于其他交通出行方式，高速鐵路具有速度較快、安全性高的特點。在競爭激烈的交通市場中，票價是旅客選擇出行方式的重要決定因素，自2016年以后，鐵路票價的定價權(quán)就由政府下放到了各鐵路公司，目前，我國高速鐵路票價是以成本為基礎(chǔ)，按照高速鐵路時速進(jìn)行分檔定價的，并遵循“遞遠(yuǎn)遞減”的票價定制原則。

近年來，不少學(xué)者對高速鐵路的定價模型進(jìn)行了研究。四兵鋒[1]等通過建立三層規(guī)劃模型得到最優(yōu)票價，保證在旅客出行費用最低的同時，客運(yùn)公司能獲得最大的利益；孫熙慶[2]等提出采用動態(tài)票價保證鐵路收益最大化；楊宇航[3]等根據(jù)旅客對票價的敏感程度對高速鐵路票價進(jìn)行差別定價；卜偉[4]等提出根據(jù)乘車方向、乘車區(qū)間、訂票時間等因素進(jìn)行差別定價，使鐵路部門收益最大化 ；徐彥將[5]旅客根據(jù)出行時間和價格敏感度進(jìn)行分類，建立使高速鐵路收益最大化的動態(tài)票價模型 ；楊同慶[6]利用雙層規(guī)劃模型求得使鐵路公司經(jīng)濟(jì)收益最大化的鐵路開行方案；吳昊[7]等提出高速鐵路票價應(yīng)根據(jù)彈性需求對同一通道的民航票價實行折扣。

上述制定高速鐵路票價的模型基本都是從鐵路公司經(jīng)濟(jì)收益最大化的角度來分析的，然而高速鐵路作為公共交通產(chǎn)品，票價模型應(yīng)考慮高速鐵路本身的公益屬性。因此，本文在高速鐵路定價的雙層規(guī)劃模型中加入社會福利因素，在高速鐵路票價定制過程考慮社會福利因素，并采用靈敏度分析法求解，得到社會福利最大化的票價。

1 考慮社會福利的雙層規(guī)劃模型

1.1 雙層規(guī)劃模型

高速鐵路票價的定制可看作是一個雙層決策系統(tǒng)，上層決策者一般為高速鐵路公司，下層決策者為旅客。上層決策者對收益有要求，會對票價進(jìn)行變動，下層決策者通過對當(dāng)前已有交通方式優(yōu)劣的判斷，選擇符合自己需求的交通方式。因此，雙層規(guī)劃模型符合高速鐵路市場旅客購票選擇的行為。

雙層規(guī)劃的一般形式為：

(U)maxF(x,y)
s.t.G(x,y)≤0
(L)minf(x,y)
s.t.g(x,y)≤0

(1)

本文中，上層規(guī)劃(U)的目標(biāo)是使上層決策者的社會福利最大，下層規(guī)劃(L)的目標(biāo)是使旅客群體在多種交通工具中選擇廣義出行費用最低的出行方式。

1.2 高速鐵路社會定價水平雙層規(guī)劃模型

1.2.1 上層規(guī)劃模型

根據(jù)雙層規(guī)劃一般的形式建立基于社會福利最大化的高速鐵路票價雙層規(guī)劃模型。上層規(guī)劃模型的目標(biāo)為社會福利最大化，本文采用社會剩余來表示社會福利，社會剩余指的是消費者剩余與生產(chǎn)者剩余的總和。在高速鐵路市場中，消費者剩余是旅客愿意支付的最高票價與實際票價的差額，生產(chǎn)者剩余是高速鐵路公司的利潤，因此上層規(guī)劃模型可表示為：

maxU(p高鐵j)=α×(p高鐵j-c高鐵j)×q高鐵j(p高鐵j)+β×(p高鐵jmax-p高鐵j)×q高鐵j(p高鐵j)

(2)

式中：U(p高鐵j)——政府在高速鐵路j坐席上獲得的社會福利;

p高鐵j——高速鐵路j坐席的票價;

c高鐵j——高速鐵路j坐席運(yùn)送每個旅客的平均成本;

q高鐵j——乘坐高速鐵路j坐席的客流量；

p高鐵jmax——旅客乘坐高速鐵路j坐席愿意支付的最大價格；

α——生產(chǎn)者剩余權(quán)重參數(shù)，α越高則社會福利中生產(chǎn)者的利潤占比越大；

β——消費者剩余權(quán)重參數(shù)，β越高則社會福利中消費者的收益占比越大。

因此，在考慮創(chuàng)造最大社會福利的情況下，高速鐵路社會定價水平的上層規(guī)劃模型為：

maxU(p高鐵j)=α×(p高鐵j-c高鐵j)×q高鐵j(p高鐵j)+

β×(p高鐵jmax-p高鐵j)×q高鐵j(p高鐵j)

s.t.p高鐵j≥0

(3)

1.2.2 下層規(guī)劃模型

雙層規(guī)劃模型的下層規(guī)劃模型描述旅客選擇廣義出行費用最小交通方式的行為，因此，建立高速鐵路票價下層規(guī)劃的一般形式為：

(4)

式中：fij(x)——廣義費用函數(shù)；

Q——運(yùn)輸通道內(nèi)旅客出行需求總量；

qij——乘坐i交通工具j坐席的客流量；

I——不同交通工具的集合；

J——不同坐席的集合。

當(dāng)廣義費用減少時，運(yùn)輸通道的需求增加，但因運(yùn)輸通道連接城市的人口有限，運(yùn)輸需求不會無限制的增加，因此在下層規(guī)劃中需考慮彈性需求[8]。彈性需求問題求解困難，本文通過增加冗余線路使彈性需求問題變成固定需求問題[9-10]。當(dāng)運(yùn)輸通道內(nèi)供給量與需求量相同時，下層規(guī)劃模型變可轉(zhuǎn)化為：

(5)

式中：Q*——各運(yùn)輸方式的旅客出行需求之和。

本文將旅客的廣義費用函數(shù)[11]設(shè)置為：

f(qij)=a(qij)b+Vij

(6)

式中：a、b——服務(wù)屬性參數(shù)；

fij——旅客選擇i客運(yùn)方式j(luò)坐席的廣義出行費用；

qij——旅客乘坐i客運(yùn)方式j(luò)坐席的客流量；

Vij——旅客乘坐客運(yùn)方式i坐席j的可觀測費用。

由此得到廣義出行費用函數(shù)：

(7)

式中：Tij、Eij、Conij、Comij——旅客選擇第i種客運(yùn)方式坐席j的快速性、經(jīng)濟(jì)性、方便性、舒適性費用；

θ1、θ2、θ3、θ4——對應(yīng)的權(quán)重;

Si——安全性;

I——不同運(yùn)輸方式的集合；

J——不同坐席的集合。

1.3 模型的求解算法

本文使用靈敏度分析法[12-13]對模型求解,具體步驟為：

(2)將初始票價代入下層規(guī)劃模型,求出客流分配量。

(3)采用靈敏度分析法得到票價和客流量的近似線性關(guān)系。

(4)將客流量與票價的近似關(guān)系代入上層規(guī)劃，求出上層規(guī)劃的最優(yōu)票價。

(5)用新得到的最優(yōu)票價反復(fù)迭代求得最優(yōu)解。

2 成渝中線高速鐵路二等座社會定價

2.1 定價水平

本文以成渝通道的鐵路出行為例，對成渝中線高速鐵路二等座的社會定價水平進(jìn)行分析。當(dāng)前成渝通道旅客鐵路出行主要通過成渝高速鐵路和成遂渝鐵路，其中成渝高速鐵路設(shè)計速度 350 km/h，是成渝兩城間的重要客運(yùn)通道,客流需求旺盛;成遂渝鐵路設(shè)計速度 200 km/h，是成渝兩城間的輔助客運(yùn)通道。成渝中線高速鐵路是成渝兩城間待建高速鐵路，開通初期運(yùn)營速度為350 km/h，后期有望提速至 400 km/h。

假設(shè)成渝兩城的乘客主要乘坐成渝中線高速鐵路、成渝高速鐵路和成遂渝鐵路出行，采用《成渝中線高速鐵路可行性研究總說明書》[14]的數(shù)據(jù)計算成渝中線高速鐵路二等座的社會定價水平。設(shè)成渝中線高速鐵路一等座、二等座的定價水平分別為0.99元/人公里和p2元/人公里，成渝中線高速鐵路、成渝高速鐵路和成遂渝鐵路各坐席的可觀測費用如表1所示。

表1 各高速鐵路不同坐席可觀測費用表(元/人公里)

本文采用孫朝苑[15]對高速鐵路服務(wù)特性的研究結(jié)果，使用長途旅行服務(wù)屬性權(quán)值，將各高速鐵路快速性費用、舒適性費用、經(jīng)濟(jì)費用、方便性費用的權(quán)重分別設(shè)為 0.409 0、0.211 0、0.161 2、0.209 7,得到旅客乘坐不同高速鐵路不同坐席的可觀測出行費用值如表2所示。

表2 各高速鐵路不同坐席的可觀測出行費用表(元/人公里)

設(shè)成渝兩城間每日的高速鐵路運(yùn)輸總?cè)舜螢?1萬 人次，則需求函數(shù)d=110 000-λu，取λ=10[16]，可得虛擬客流量q0,f0(q0)=0.1q0，下層規(guī)劃模型的彈性需求問題由此變成了固定需求問題。廣義出行費用函數(shù)的服務(wù)屬性參數(shù)a，b分別取2和0.4[17]，將表2中各高速鐵路不同坐席的可觀測費用乘以各高速鐵路線路長度，便可建立成渝中線高速鐵路二等座的社會定價雙層規(guī)劃模型：

maxU(P2)=[α×(p2×L-c2)×q2(p2×L)+

β×(p2max-p2×L)×q2(p2×L)]

s.t.p2≥0

s.t.q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6=110 000

qj>0,j=0,1,2,3,4,5,6

(8)

式中：p2——成渝中線高速鐵路二等座社會定價水平；

L——成渝中線全線長度；

c2——成渝中線高速鐵路二等座每運(yùn)送1個乘坐全程的旅客的平均成本；

q2——成渝中線高速鐵路二等座的客流量；

qj——不同高速鐵路不同坐席的客流量，其中j=0,1,2,3,4,5,6分別表示虛擬路徑、成渝中線高速鐵路一等座、成渝中線高速鐵路二等座、成渝高速鐵路一等座、成渝高速鐵路二等座、成遂渝鐵路一等座、成遂渝鐵路二等座。

考慮到當(dāng)前成渝通道內(nèi)各高速鐵路一等座票價約為二等座票價的1.6倍，旅客心理接受的二等座最高票價不會超過一等座的票價，也不會低于二等座的票價，即1.6p2≥p2max≥p2，故取二者的均值，設(shè)旅客能接受的成渝中線高速鐵路二等座最高價格p2max為票價的1.3倍，即p2max=1.3p2?！冻捎逯芯€高速鐵路可行性研究總說明書》在保本微利情況下設(shè)置的票價水平為0.62元/人公里(全程181元)，取成渝中線高速鐵路二等座每運(yùn)輸一個旅客的平均成本為0.58元/人公里(全程169.4元)。為保證上層規(guī)劃模型的社會福利能同時兼顧生產(chǎn)者與消費者利益，取上層規(guī)劃模型的ɑ為0.4，β為0.6。此時，社會福利中消費者剩余的權(quán)重略大于生產(chǎn)者剩余的權(quán)重，表明該權(quán)重參數(shù)的計算結(jié)果會更偏重于消費者的利益。采用靈敏度分析法對模型求解，通過matlab計算，求得成渝中線高速鐵路二等座的社會定價水平為0.578元/人公里(全程168.69元)。

2.2 結(jié)果分析

作為中國第一條預(yù)留400 km/h的高速鐵路，成渝中線高速鐵路對成渝經(jīng)濟(jì)圈和中國鐵路的發(fā)展都具有重大意義。因此，成渝中線高速鐵路票價的定制不只要考慮高速鐵路公司的收益，更要考慮適當(dāng)對乘客讓利，以創(chuàng)造更大的社會福利，更能體現(xiàn)高速鐵路的公益性質(zhì)。《成渝中線高速鐵路可行性研究總說明書》擬定的成渝中線高速鐵路二等座市場定價水平為0.62元/人公里(全程180元)，通過社會福利最大化雙層規(guī)劃票價模型計算出的成渝中線高速鐵路二等座社會定價水平為0.578元/人公里(全程168.69元)，略低于市場定價水平。這是因為本文對成渝中線高速鐵路二等座的定價相對更加重視消費者剩余，更符合高速鐵路作為公共交通產(chǎn)品的定價原則，可為成渝中線高速鐵路開通運(yùn)營后的票價定制提供參考。

2.3 參數(shù)變動對計算結(jié)果的影響

上層規(guī)劃模型中，α是生產(chǎn)者剩余的權(quán)重參數(shù)，β是消費者剩余的權(quán)重參數(shù)，當(dāng)參數(shù)α、β變化時，成渝中線高速鐵路二等座的社會定價水平也隨之變化。不同α、β迭代計算的成渝中線高速鐵路二等座社會定價水平如表3所示。

表3 參數(shù)α、β對社會定價水平的影響表

從表3可以看出，隨著α的增大及β的減小，高速鐵路的社會定價水平會逐漸增大，而隨著α的減小及β的增大，高速鐵路的社會價格會逐漸減少。這是因為α在上層規(guī)劃模型中代表生產(chǎn)者剩余在社會剩余中的比重，β代表消費者剩余在社會剩余中的比重，本文所求的是社會福利水平最大化的票價，但從生產(chǎn)者也就是高速鐵路公司的角度來看，票價越高，高速鐵路公司獲得的利潤也就越高，對于旅客來說，票價越低，則旅客獲得的額外凈收益越大，生產(chǎn)者與消費者之間是存在矛盾的。當(dāng)α=0.4，β=0.6時，本文求得的社會定價水平略低于設(shè)定成本，高速鐵路公司會處于略微虧損的狀態(tài)，表明成渝中線高速鐵路二等座的定價相對更加側(cè)重消費者利益，考慮到成渝中線高速鐵路的公益屬性，該定價也較為合理。若高速鐵路公司想獲得更高利潤，則通過增大生產(chǎn)者剩余的權(quán)重，便可得到更高票價。同理，若高速鐵路公司想創(chuàng)造更大的消費者剩余，則可增大消費者剩余的權(quán)重，但票價也會降低。

2.4 最高接受價格pmax變動對計算結(jié)果的影響

對旅客能接受的最高票價進(jìn)行靈敏度分析，結(jié)果如圖1所示。

圖1 旅客最高接受票價pmax對社會定價水平的影響

從圖1可以看出，旅客所能接受的票價越高，社會定價水平就越低，這是因為當(dāng)旅客所能接受的最高票價變高時，票價越低產(chǎn)生的消費者剩余就越大，從而產(chǎn)生的社會福利也越大。當(dāng)旅客所能接受的最高票價為實際票價時，社會定價水平最高，這是因為當(dāng)旅客所能接受的最高票價為實際票價時，按照消費者剩余的概念，社會福利中的消費者剩余為0，上層規(guī)劃模型只考慮企業(yè)利潤的最大化，當(dāng)α=1且β=0時，上層規(guī)劃模型同樣也只考慮企業(yè)利潤，因此這兩種情況下的定價水平會相同。在消費者剩余權(quán)重α與生產(chǎn)者剩余權(quán)重β相等的情況下，當(dāng)旅客能接受的最高票價小于票價的1.3倍時，票價大于成本，高速鐵路公司有盈利；當(dāng)旅客所能接受的票價大于等于票價的1.3倍時，票價低于成本，高速鐵路公司處于虧損狀態(tài)，但旅客所能得到的消費者剩余更大。

3 結(jié)束語

本文通過對制定高速鐵路票價的雙層規(guī)劃模型進(jìn)行改進(jìn)，得到使社會福利最大化的雙層規(guī)劃定價模型，并采用模型對成渝中線高速鐵路二等座的社會定價水平進(jìn)行分析。結(jié)果表明，高速鐵路社會定價水平會隨生產(chǎn)者剩余與消費者剩余權(quán)重參數(shù)的變化而變化，若生產(chǎn)者剩余的權(quán)重變高，則高速鐵路的社會定價水平也高，企業(yè)可獲得更多的利潤；若消費者剩余的權(quán)重變高，則高速鐵路的社會定價水平會變低，消費者可享受更多的收益。高速鐵路作為一種重要的公共交通工具，其票價的制定必然要考慮社會因素，遵從公益性原則，因此本文模型及分析結(jié)果可為鐵路票價制定提供參考。