應(yīng)力符號規(guī)定的差異與注釋

馬文國，張 剛，楊有貞

（1.寧夏大學(xué) 物理與電子電氣工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2.寧夏大學(xué) 固體力學(xué)研究所，寧夏 銀川 750021；3.寧夏大學(xué) 學(xué)術(shù)期刊中心，寧夏 銀川 750021）

物理量的精確描述需要對具體的研究對象進行量化處理，一般需要進行大小或方向的約定，使其后續(xù)的使用更符合常識和邏輯。在材料力學(xué)、彈性力學(xué)和土力學(xué)中，應(yīng)力符號的規(guī)定略有不同，給教學(xué)和研究中相關(guān)問題的理解帶來了一些不便，主要的原因是研究應(yīng)力的方法有所差異。

材料力學(xué)中應(yīng)力符號的規(guī)定未按坐標軸方向進行約定[1—3]，而是根據(jù)內(nèi)力求解應(yīng)力，規(guī)定沿截面外法線方向的應(yīng)力為正應(yīng)力，能使研究對象發(fā)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢的應(yīng)力為正剪應(yīng)力[1—3]。彈性力學(xué)中應(yīng)力的正負是與坐標系方向有關(guān)，若某截面的外法線方向與坐標軸正方向一致，就稱該截面為一個正面，該面上的應(yīng)力以沿坐標軸正方向的規(guī)定為正，負面上沿著坐標軸負方向的應(yīng)力規(guī)定為正，反之為負，正應(yīng)力和剪應(yīng)力均適用于此規(guī)定[4—5]。彈性力學(xué)與材料力學(xué)所規(guī)定的正應(yīng)力的正負號一致，即以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。這兩種力學(xué)規(guī)定的剪應(yīng)力參考正方向有差異，材料力學(xué)中每個面上的兩個剪應(yīng)力總是一正和一負成對出現(xiàn)，而彈性力學(xué)中每個面上的剪應(yīng)力均為正值。這種規(guī)定上的差異容易使初學(xué)者陷入理解誤區(qū)。土力學(xué)應(yīng)力符號規(guī)定與彈性力學(xué)完全相反[6—7]。這種規(guī)定主要是考慮到土是一種受靜水壓力影響的壓硬性地質(zhì)材料，以壓應(yīng)力為正的規(guī)定更適合描述土力學(xué)的特點。

材料力學(xué)中剪應(yīng)力符號規(guī)定是按照力偶矩平衡問題進行推導(dǎo)的，由此推導(dǎo)出了剪應(yīng)力互等定理，但應(yīng)該重視基于剪應(yīng)力的力偶矩的矢量性，即微元體承受兩個大小相等方向相反的力偶矩。這種力偶矩矢量性表明了剪應(yīng)力至少在材料力學(xué)的體系中不存在矛盾或者錯誤，是建立于客觀基礎(chǔ)上的物理規(guī)律，理論上也是自洽的，這和材料力學(xué)中一點的應(yīng)力狀態(tài)規(guī)定的剪應(yīng)力的正負性沒有矛盾的地方。材料力學(xué)中采用該規(guī)定可以方便使用應(yīng)力圓（莫爾圓）進行問題的幾何求解。同一個受力體系在彈性力學(xué)中的規(guī)定雖然和材料力學(xué)有所差異，但是剪應(yīng)力作用產(chǎn)生的效果是完全一樣的，剪應(yīng)力體現(xiàn)在力偶矩的正負上，不同體系采用了不同的表示方法而已。本文綜合分析了三種力學(xué)應(yīng)力符號的規(guī)定、主應(yīng)力及主方向表達式的差異，并采用應(yīng)力張量表示一點的應(yīng)力狀態(tài)，進一步明確了材料力學(xué)、彈性力學(xué)和土力學(xué)在本質(zhì)上都是統(tǒng)一的。

1 應(yīng)力符號的規(guī)定

1.1 三種力學(xué)應(yīng)力符號規(guī)定的示意圖

圖1a、圖1b 和圖1c 分別給出了材料力學(xué)、彈性力學(xué)和土力學(xué)中一點的三向應(yīng)力狀態(tài)。圖1 僅給出了三個正面上的受力狀態(tài)，另外三個面的應(yīng)力狀態(tài)完全和正面相反，材料力學(xué)和彈性力學(xué)的正應(yīng)力規(guī)定受拉為正。圖1a，材料力學(xué)中的剪應(yīng)力τxy，τyz，τzx規(guī)定為正，τyx，τzy，τxz規(guī)定為負。圖1b，彈性力學(xué)中的τxy，τyz，τzx，τyx，τzy，τxz均為正，并且材料力學(xué)與彈性力學(xué)中τxy，τyz，τzx規(guī)定的正方向相反，這是形成誤區(qū)的根源。圖1c，土力學(xué)中的所有應(yīng)力均規(guī)定為正，此規(guī)定和彈性力學(xué)完全相反，正應(yīng)力的正負號規(guī)定以壓為正，剪應(yīng)力的正負號規(guī)定是，在與坐標軸一致的正面上，方向與坐標軸方向相反的為正，反之為負。為理解三種力學(xué)中應(yīng)力符號規(guī)定的差異，簡單起見，采用平面應(yīng)力討論一點的應(yīng)力狀態(tài)，不論是哪種力學(xué)的符號規(guī)定，對應(yīng)的結(jié)果都是一致的。

圖1 材料力學(xué)、彈性力學(xué)和土力學(xué)對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)

1.2 平面應(yīng)力狀態(tài)下材料力學(xué)中斜截面上的應(yīng)力

材料力學(xué)中的剪應(yīng)力互等定理是從微元體力偶矩平衡推導(dǎo)出剪應(yīng)力在數(shù)值上是相等的，剪應(yīng)力是矢量，對單元體產(chǎn)生力偶矩，該力偶矩可以看作是一種廣義的作用力和反作用力，大小相等，方向相反，如圖2a 所示。一點的應(yīng)力狀態(tài)的解析法或圖解法（莫爾圓法）中規(guī)定了剪應(yīng)力對單元體內(nèi)任意點的力偶矩為順時轉(zhuǎn)向時規(guī)定為正，如圖2 所示，τxy為正，τyx為負，即剪應(yīng)力互等關(guān)系為τxy=-τyx。該應(yīng)力符號的規(guī)定和坐標系沒有關(guān)系，正應(yīng)力和截面外法線一致的規(guī)定為正，剪應(yīng)力使得單元體產(chǎn)生順時針旋轉(zhuǎn)的規(guī)定為正，應(yīng)強調(diào)剪應(yīng)力是以力偶矩的矢量形式進行標定的[1—3，8—9]。同時規(guī)定從x 軸逆時針旋轉(zhuǎn)到單元體任意斜截面的法線方向的角度α 為正，根據(jù)應(yīng)力單元的受力特點，α∈[-π/2，π/2]。

圖2 平面應(yīng)力狀態(tài)下材料力學(xué)應(yīng)力符號與莫爾圓

這些規(guī)定的優(yōu)點是可以借助Mohr 提出的應(yīng)力圓來確定一點的應(yīng)力狀態(tài)，是一種幾何方法，相對于解析法，簡單直觀，不用記公式，物理意義明確，容易理解和應(yīng)用，在工程精度要求不高的條件下，莫爾圓是一種非常完美的求解方法。缺點是在沒有計算機繪圖的條件下，沒有解析法那樣精確，不能有效地擴展到三維一般應(yīng)力問題的求解，并且三向應(yīng)力狀態(tài)下，一般需要事先通過解析法求得三個主應(yīng)力的大小，然后才能獲得任意斜截面上的應(yīng)力狀態(tài)，也不能直接確定主應(yīng)力的方向。

平面應(yīng)力狀態(tài)下，圖2a 單元體斜截面法線與x 軸夾角為α 的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和主應(yīng)力方向可以根據(jù)圖2b 的應(yīng)力圓求解，三者的表達式分別為式（1）～（3）：

1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)下彈性力學(xué)中斜截面上的應(yīng)力

彈性力學(xué)和材料力學(xué)的應(yīng)力符號的差異主要在于彈性力學(xué)中的應(yīng)力符號與坐標系相關(guān)。彈性力學(xué)中的正應(yīng)力與材料力學(xué)中的規(guī)定是一致的，而剪應(yīng)力的規(guī)定有差異[10]。彈性力學(xué)規(guī)定，在正面上（外法向與坐標軸方向一致的面），剪應(yīng)力與坐標軸正方向一致的為正，在負面上（外法向與坐標軸方向相反的面），剪應(yīng)力與坐標軸負方向一致的為正；圖1b 中空間單元體上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力均為正值，與材料力學(xué)中剪應(yīng)力符號的規(guī)定有差異，此時剪應(yīng)力互等關(guān)系為τxy=τyx。在平面應(yīng)力狀態(tài)下（圖3），僅給出應(yīng)力單元體，不能再使用莫爾圓求解，若要使用莫爾圓求解，必須切換到材料力學(xué)的約定。彈性力學(xué)根據(jù)任意斜截面法線方向與坐標軸的方向余弦求解微元體的x 和y 方向的平衡方程，并將此平衡方程投影到該斜截面的法線方向和切線方向，即可以獲得該斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力表達式，分別為式（4）和式（5）。

圖3 平面應(yīng)力狀態(tài)下彈性力學(xué)應(yīng)力符號

彈性力學(xué)中主應(yīng)力方向和材料力學(xué)表達式形式有差異，通常在斜截面上使得剪應(yīng)力等于零，求解平面應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力后獲得最大主應(yīng)力方向，幾何上表示為如圖2b 中α1，表達式如式（6）所示。這和材料力學(xué)中確定主應(yīng)力的方法是一致的，只是表示主應(yīng)力方向的習(xí)慣不同而已，本質(zhì)完全一樣。

材料力學(xué)和彈性力學(xué)在剪應(yīng)力的正方向的規(guī)定有差異，此差異將導(dǎo)致材料力學(xué)和彈性力學(xué)推導(dǎo)出同一斜截面上的不同應(yīng)力計算公式和主應(yīng)力方向。從式（1）、式（2）、式（4）和式（5）可以看出任意斜截面上的應(yīng)力表達式的不同，彈性力學(xué)和材料力學(xué)在斜截面上的應(yīng)力公式在帶有sin 2α 的項上有差異。主應(yīng)力方向分別采用圓心角2α0和角度α1進行表示。材料力學(xué)中的最大主應(yīng)力方向（式（3））完全由單元體的受力狀態(tài)直接可以求解。而彈性力學(xué)中最大最小主應(yīng)力的計算公式通常使斜截面上的剪應(yīng)力等于零，得出主應(yīng)力求解公式，一般先確定主應(yīng)力σ1后再確定主應(yīng)力的方向。從式（3）和式（6）可以看出，材料力學(xué)和彈性力學(xué)求得的主應(yīng)力方向也不一樣。

彈性力學(xué)中正應(yīng)力和剪應(yīng)力是和坐標系相關(guān)的，這種定義有利于說明一點的應(yīng)力沿著某個方向，在笛卡爾坐標系中沿著x，y 和z 的分量的具體值。這種標定方法的優(yōu)點是方便使用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)或應(yīng)力張量對一點的應(yīng)力狀態(tài)進行描述，剪應(yīng)力雖然都是正值，但是產(chǎn)生的力偶矩和材料力學(xué)是完全相同的，沒有本質(zhì)的差異，對三維問題同樣適用。缺點是在平面應(yīng)力狀態(tài)下使用莫爾圓求解仍然需要切換為材料力學(xué)的約定。

1.4 平面應(yīng)力條件下土力學(xué)中斜截面上的應(yīng)力

土力學(xué)中關(guān)于應(yīng)力符號的規(guī)定與彈性力學(xué)完全相反，這是根據(jù)地質(zhì)類材料的力學(xué)特性進行的一種約定，土是一種具有壓硬和摩擦特性的材料，相對于金屬材料在受力過程中通常會出現(xiàn)明顯的體積變化。根據(jù)圖1c 所示，圖4 給出了平面應(yīng)力條件下土力學(xué)的應(yīng)力符號和斜截面應(yīng)力平衡分析的示意圖。

圖4 土力學(xué)應(yīng)力符號和斜截面的應(yīng)力平衡

圖4 中的正應(yīng)力和剪應(yīng)力均為正值，斜截面的外法線與x 軸的夾角為α，求解主應(yīng)力和主方向使用莫爾圓更為直接，此時，剪應(yīng)力的符號規(guī)定與材料力學(xué)相反，即以使單元體有逆時針轉(zhuǎn)動趨勢時為正。斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力使用σα和τα來表示，假設(shè)斜截面的面積為dA，側(cè)面和底面的面積分別為dAcos α 和dAsin α，把作用于截取部分的應(yīng)力投影于斜截面的外法線和切線方向，所得平衡方程為

根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，τxy和τyx在數(shù)值上相等，以τxy替換τyx，并簡化式（7）和式（8）得：

式（9）和式（10）與彈性力學(xué)中斜截面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力表達式式（4）和式（5）完全一樣。這里根據(jù)土力學(xué)的受力特性進行了斜截面上正應(yīng)力和剪應(yīng)力的推導(dǎo)，斜截面上的正應(yīng)力σα和剪應(yīng)力τα都是α的函數(shù)。而式（9）、式（10）與材料力學(xué)中的公式有所差異。對式（9）、式（10）的角度α 求導(dǎo)可得極值，并確定主應(yīng)力方向。

對公式（9）的α 求導(dǎo)，得：

當α=α2時，能使式（11）中，則在α2所確定的截面上，正應(yīng)力即為最大值或最小值，所以最大或最小主應(yīng)力所在的方位為

式（12）與材料力學(xué)的主應(yīng)力方向表達式式（3）相差一個負號。由式（12）可以求出相差π/2 的兩個角度α2，它們確定兩個相互垂直的平面，分別是最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在的平面。由式（12）求出相應(yīng)的正弦和余弦值，可求出相應(yīng)的最大和最小正應(yīng)力為

一般約定σx是截面單元上數(shù)值較大的那一個，即σx≥σy，公式（12）確定的兩個α2中，絕對值較小的一個確定σ1所在的平面。

根據(jù)公式（1）～（13）可以看出，材料力學(xué)、彈性力學(xué)和土力學(xué)分別有各自的應(yīng)力符號體系，雖然形式上有所差異，但本質(zhì)上是統(tǒng)一的。

2 張量形式的統(tǒng)一理解

根據(jù)1.1～1.3 節(jié)的描述，無論是材料力學(xué)、彈性力學(xué)還是土力學(xué)，主要是剪應(yīng)力的符號規(guī)定有所差異，但是剪應(yīng)力產(chǎn)生的力偶矩具有相同的效果。這可以從材料力學(xué)中一點的應(yīng)力狀態(tài)的圖解法（莫爾圓）及彈性力學(xué)和土力學(xué)中一點的應(yīng)力狀態(tài)的張量形式進行說明。材料力學(xué)中的莫爾圓如圖2b，彈性力學(xué)和土力學(xué)中的應(yīng)力張量如下式：

材料力學(xué)中的一對剪應(yīng)力產(chǎn)生大小相等、方向相反的力偶矩，但在莫爾圓中直接使用τxy=-τyx，主要因為莫爾圓采用了標量化的幾何方法，把應(yīng)力的大小和方向在莫爾圓上用長度和相對應(yīng)的夾角分開表示，剪應(yīng)力產(chǎn)生的效果已經(jīng)體現(xiàn)在剪應(yīng)力的正負值上，本質(zhì)上體現(xiàn)了剪應(yīng)力產(chǎn)生的力偶矩的平衡。由圖2a 可知：

在平面應(yīng)力狀態(tài)下，彈性力學(xué)和土力學(xué)中采用的張量形式（式（14））的二維情況如下式：

式（16）分別是平行于x 和y 方向的應(yīng)力矢量，這里主要討論τxy和τyx產(chǎn)生的力學(xué)效果。張量中的任何分量都是矢量，矢量把大小和方向放在一起考慮，這里不能像莫爾圓中直接把剪應(yīng)力寫成τxy=-τyx，因為剪應(yīng)力已經(jīng)具有各自的方向性，否則會出現(xiàn)剪應(yīng)力使得單元體發(fā)生旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生加速度的問題，會產(chǎn)生和剪應(yīng)力互等定理強調(diào)的力偶矩平衡相互矛盾的結(jié)論。所以不論是材料力學(xué)、彈性力學(xué)或土力學(xué)，使用莫爾圓和張量形式求解一點的應(yīng)力狀態(tài)都完全是協(xié)調(diào)的，不存在任何矛盾，只是學(xué)科發(fā)展中有著自己的規(guī)范而已。在通常的平面應(yīng)力計算中，莫爾圓比張量形式更直觀簡潔，但是張量表示的應(yīng)力狀態(tài)在代數(shù)上更完備，更適合于三維應(yīng)力空間問題的求解。

3 結(jié)論

（1）本文對材料力學(xué)、彈性力學(xué)和土力學(xué)中應(yīng)力符號規(guī)定的合理性和統(tǒng)一性進行了比較詳細的說明，材料力學(xué)中應(yīng)力符號的規(guī)定主要來自于截面上內(nèi)力的集度與法線的一致性和剪應(yīng)力使單元體的旋轉(zhuǎn)趨勢來確定應(yīng)力符號的正負，這種規(guī)定與坐標系無關(guān)。彈性力學(xué)中應(yīng)力符號的規(guī)定完全依賴于坐標系，正（負）面上的應(yīng)力和坐標軸正（負）向一致的為正，相反為負。土力學(xué)的應(yīng)力符號體系完全與彈性力學(xué)相反，主要是為了描述地質(zhì)類具有壓硬和剪脹性材料而采取的合理方法。

（2）平面應(yīng)力狀態(tài)下，一點的應(yīng)力狀態(tài)無論采用材料力學(xué)中的應(yīng)力圓還是彈性力學(xué)中的應(yīng)力張量表示，都能得出相同的結(jié)果。應(yīng)力圓對應(yīng)力狀態(tài)的求解直觀，容易理解。應(yīng)力張量求解主應(yīng)力及其方向在數(shù)學(xué)上有嚴密的理論體系，但是相對于應(yīng)力圓求解應(yīng)力狀態(tài)更復(fù)雜一些。三向應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力張量求解主應(yīng)力和主方向相對應(yīng)力圓的圖解法更為合理。

（3）在土力學(xué)應(yīng)力符號規(guī)定與彈性力學(xué)完全相反的體系下，推導(dǎo)了一點的應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及其方向，土力學(xué)與彈性力學(xué)主應(yīng)力的表達式完全相同。土力學(xué)與材料力學(xué)主應(yīng)力方向的表達式相差一個負號。