疲勞損傷譜時(shí)域、頻域計(jì)算方法 及其等效性驗(yàn)證

高博，張忠，王帥，鐘嫄，李海波

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京 100076）

運(yùn)載火箭、導(dǎo)彈、衛(wèi)星等航天飛行器在發(fā)射過程中要經(jīng)歷嚴(yán)酷的力學(xué)環(huán)境。美國NASA的一項(xiàng)研究結(jié)果表明，在首次發(fā)射衛(wèi)星產(chǎn)生的破壞或失效現(xiàn)象中，45%是由于火箭主動(dòng)段飛行時(shí)惡劣的動(dòng)力學(xué)環(huán)境引起的。對(duì)于低頻瞬態(tài)環(huán)境，目前主要采用沖擊響應(yīng)譜轉(zhuǎn)化為正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)來進(jìn)行模擬，僅考慮了峰值破壞等效效應(yīng)。正弦掃頻試驗(yàn)的掃描率對(duì)于驗(yàn)收試驗(yàn)取4 oct/min，對(duì)于鑒定試驗(yàn)取2 oct/min。即使采用4 oct/min掃描率，持續(xù)時(shí)間也需1 min，而實(shí)際低頻瞬態(tài)持續(xù)時(shí)間在秒量級(jí)，因此在累計(jì)損傷方面存在嚴(yán)重的過試驗(yàn)。本研究擬從累積損傷等效方面考慮，提出基于疲勞損傷譜的環(huán)境分析方法，為提升環(huán)境試驗(yàn)精細(xì)化水平提供支撐。

1 概述

1.1 響應(yīng)譜

響應(yīng)譜是一種表征沖擊和振動(dòng)環(huán)境嚴(yán)酷度的方法。響應(yīng)譜描述的是環(huán)境對(duì)一組單自由度彈簧振子的影響，通過建立一組具有一系列固有頻率（fn）和統(tǒng)一品質(zhì)因子（Q）的單自由度振子模型，計(jì)算各振子對(duì)振動(dòng)環(huán)境的響應(yīng)，并繪制響應(yīng)的某些特征（例如峰值響應(yīng)）與固有頻率的關(guān)系圖，即得到響應(yīng)譜。其中應(yīng)用最廣泛的響應(yīng)譜是沖擊響應(yīng)譜（SRS），沖擊響應(yīng)譜是振子對(duì)沖擊環(huán)境瞬態(tài)時(shí)間歷程的峰值響應(yīng)。通常情況下，沖擊響應(yīng)譜是通過對(duì)振子離散時(shí)間模型的時(shí)域仿真計(jì)算出來的[1]。另一個(gè)與之類似的響應(yīng)譜是由功率譜密度函數(shù)描述的高斯隨機(jī)環(huán)境下，振子的絕對(duì)加速度峰值譜，稱為振動(dòng)響應(yīng)譜（VRS）[2]。通過對(duì)振子的頻率響應(yīng)進(jìn)行積分，得到均方根響應(yīng)，可在頻域內(nèi)計(jì)算出振動(dòng)響應(yīng)譜。

用沖擊響應(yīng)譜描述振動(dòng)環(huán)境的一個(gè)不足在于，一個(gè)基礎(chǔ)加速度環(huán)境與計(jì)算得到的響應(yīng)譜不是一一對(duì)應(yīng)的，即不同的基礎(chǔ)加速度環(huán)境可能計(jì)算出相同的沖擊響應(yīng)譜。如果由沖擊響應(yīng)譜描述沖擊試驗(yàn)條件，則可能使用了比預(yù)期的更良性的時(shí)間歷程來測試部件，導(dǎo)致待測部件“欠試驗(yàn)”。針對(duì)此問題，沖擊環(huán)境的沖擊響應(yīng)譜描述通常需要補(bǔ)充關(guān)于瞬態(tài)環(huán)境的時(shí)間信息。通常以帶限時(shí)間矩的形式出現(xiàn)。a時(shí)刻的第i階時(shí)間矩mi(a)，是關(guān)于時(shí)間歷程f(t)的函數(shù)，由式（1）給出。在加速度環(huán)境為高斯隨機(jī)且加速度功率譜密度函數(shù)在半功率帶寬中平坦的假設(shè)下，振動(dòng)響應(yīng)譜具有與其相關(guān)聯(lián)的唯一的由加速度功率譜密度函數(shù)描述的環(huán)境。在這種情況下，對(duì)于具有自然頻率fn、品質(zhì)因子Q以及自然頻率處APSD量級(jí)為Pa(fn)的振子，基礎(chǔ)加速度的APSD和絕對(duì)峰值加速度VRS之間的關(guān)系由熟悉的Miles公式（2）給出。

1.2 疲勞損傷譜

雖然SRS和VRS可以很好地描述基礎(chǔ)加速度環(huán)境誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)峰值響應(yīng)的趨勢，但它們?nèi)狈Νh(huán)境誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)振動(dòng)循環(huán)次數(shù)的信息。疲勞損傷譜與沖擊響應(yīng)譜相似，區(qū)別在于FDS描述的是疲勞損傷與頻率之間的關(guān)系。引入該概念是為了檢驗(yàn)由加速度功率譜密度（APSD）曲線和持續(xù)時(shí)間描述的頻域環(huán)境的嚴(yán)苛程度。該方法要求與APSD關(guān)聯(lián)的過程必須是一個(gè)“強(qiáng)耦合”隨機(jī)過程。文獻(xiàn)[3]提出了一種用于評(píng)價(jià)電動(dòng)、電液振動(dòng)臺(tái)疲勞性能的方法，稱為損傷勢法，該方法被廣泛用于各種振動(dòng)臺(tái)疲勞性能的評(píng)價(jià)[4]。隨著理論的發(fā)展，有學(xué)者提出了基于疲勞損傷譜的隨機(jī)振動(dòng)加速試驗(yàn)方法，主要用于非平穩(wěn)環(huán)境的載荷譜制定及加速試驗(yàn)，該方法已廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械電子產(chǎn)品的加速試驗(yàn)中[5-7]。

2 疲勞損傷譜機(jī)理研究

2.1 疲勞損傷譜時(shí)域計(jì)算方法

在時(shí)域中計(jì)算FDS的步驟并不復(fù)雜，但計(jì)算量較大。方法與SRS類似，計(jì)算步驟如下：

1）獲得描述振動(dòng)環(huán)境的加速度時(shí)程a(t)。去除趨勢項(xiàng)，如有必要對(duì)數(shù)據(jù)增采樣。對(duì)于每個(gè)具有固有頻率fn和質(zhì)量因子Q的單自由度振子進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。

2）計(jì)算偽速度響應(yīng)pv(t)。

3）計(jì)數(shù)獲得偽速度的雨流循環(huán)譜n(PV)。

4）根據(jù)Minor法則和S-N曲線（設(shè)疲勞指數(shù)b）計(jì)算振子累積損傷D(fn,Q,b)。

5）繪制以振子累積損傷D(fn,Q,b)為縱坐標(biāo)，以振子固有頻率fn為橫坐標(biāo)的圖。這里的累積損傷譜D(fn,Q,b)就被稱為疲勞損傷譜。

2.1.1 加速度時(shí)程的獲取——去趨勢項(xiàng)

在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)荷載時(shí)，穩(wěn)態(tài)加速度和低頻瞬態(tài)加速度載荷是需要單獨(dú)考慮的，通常是在這些載荷的基礎(chǔ)上增加隨機(jī)振動(dòng)來推導(dǎo)結(jié)構(gòu)荷載。因此，在疲勞損傷譜的計(jì)算中，須從時(shí)程中去除穩(wěn)態(tài)和極低頻瞬態(tài)信號(hào)。這可以通過名為“detrending”的通用程序來完成。從數(shù)據(jù)中去除極低頻趨勢項(xiàng)的方法包括：高通數(shù)字濾波、傅里葉或小波濾波、擬合濾波多項(xiàng)式法等。本項(xiàng)目采用分段樣條曲線對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢擬合。通過從數(shù)據(jù)中減去擬合曲線，從而消除趨勢項(xiàng)。該方法是一種適用于不同類型數(shù)據(jù)和相關(guān)趨勢的穩(wěn)健方法。在MATLAB中，該方法是通過計(jì)算20個(gè)左右的移動(dòng)平均點(diǎn)，并使用“spline”選項(xiàng)的interpl命令增采樣到原始數(shù)據(jù)長度來實(shí)現(xiàn)的。

2.2.2 振子的偽速度響應(yīng)計(jì)算

研究表明，與絕對(duì)加速度等其他響應(yīng)相比，偽速度與應(yīng)力的關(guān)系更為密切[8-11]。偽速度與應(yīng)力的關(guān)系大致成正比，而疲勞損傷與應(yīng)力周期相關(guān)。因此，必須根據(jù)每個(gè)單自由度振子的偽速度響應(yīng)來計(jì)算周期，從而得到有意義的疲勞損傷譜。式（3）給出了加速度和偽速度之間的傳遞函數(shù)，其中ζ是阻尼比（ζ= 1(2Q)），ωn是固有圓頻率（ 2πfn）。

快速計(jì)算偽速度響應(yīng)的一種方法是將其轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間濾波模型。偽速度模型由式（4）給出。偽速度響應(yīng)采樣的濾波器模型pv(k)與基礎(chǔ)加速度a(k)的關(guān)系如式（5）所示。采樣標(biāo)號(hào)可以通過t(k)=kTS轉(zhuǎn)換為時(shí)間。利用在MATLAB中的filter命令可實(shí)現(xiàn)該遞推公式。

式中：

其中TS是加速度時(shí)間歷史的采樣間隔。

結(jié)果表明，由于斜坡不變法的低通效應(yīng)，如果輸入加速度激勵(lì)的固有頻率大于采樣頻率的17%（fs=1/TS），則峰值加速度可能有10%的誤差[12]。因此，建議采樣率大于加速度時(shí)程中最大頻率分量的10倍（fs≥10fmax）。如果加速度歷程沒有以足夠高的采樣速率，則可以通過增采樣（插入零法）、FIR濾波、減采樣對(duì)其重新采樣。這可以通過在MATLAB中使用upfirdn或resample函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。

2.2.3 雨流循環(huán)計(jì)數(shù)

如前所述，結(jié)構(gòu)的疲勞損傷需要應(yīng)力循環(huán)計(jì)數(shù)。由于許多結(jié)構(gòu)的偽速度與應(yīng)力大致成正比，因此可以通過計(jì)算偽速度響應(yīng)的循環(huán)計(jì)數(shù)得到應(yīng)力循環(huán)計(jì)數(shù)。周期計(jì)數(shù)的定義方法有許多，包括峰谷、平交、距離對(duì)、雨流等[13]。雨流循環(huán)計(jì)數(shù)定義與結(jié)構(gòu)損傷關(guān)系最為密切，它相當(dāng)于材料應(yīng)力應(yīng)變平面上的閉合滯回線。在文獻(xiàn)[14-17]中，使用了對(duì)窄帶信號(hào)有效的更簡化的周期定義。然而，當(dāng)振子的固有頻率偏離加速度環(huán)境中的譜峰時(shí)，就違反了窄帶假設(shè)。這導(dǎo)致窄帶周期計(jì)數(shù)與對(duì)寬帶信號(hào)有效的雨流周期計(jì)數(shù)器相比，給出的結(jié)果較差。

雨流循環(huán)有許多等價(jià)的定義[13]。對(duì)于文中的結(jié)果，使用四點(diǎn)算法[18]計(jì)算雨流周期。循環(huán)計(jì)數(shù)算法從時(shí)間歷史的一系列極值（峰和谷）開始。四點(diǎn)算法一次考慮4個(gè)連續(xù)的時(shí)間歷程極值（S1,S2,S3,S4）。三個(gè)連續(xù)范圍由以下項(xiàng)構(gòu)成：。如果 ΔS2小于或等于其相鄰范圍，則將其計(jì)算為一個(gè)循環(huán)，并從極值序列中移除其極值。不符合此定義的極值留在序列殘差中，并作為半周期計(jì)算。有關(guān)雨流計(jì)數(shù)的更多信息，可參考文獻(xiàn)[13]。

2.2.4 計(jì)算累計(jì)損傷

由循環(huán)譜計(jì)算疲勞損傷D需要將Palgrem-Minor規(guī)則（式（6））與S-N關(guān)系（式（7））相結(jié)合。

式中：ni為具有應(yīng)力幅度Si的循環(huán)次數(shù)；Ni為具有應(yīng)力幅度Si的循環(huán)引起失效時(shí)的次數(shù)；c為比例常數(shù)，b為疲勞指數(shù)，一般為4～25。常數(shù)c可以設(shè)置為單位值，因?yàn)楸壤挥绊慒DS用于環(huán)境比較。

如前所述，偽速度與應(yīng)力的關(guān)系可表示為：σ(t)=k?pv(t)。由此得出以下?lián)p傷方程：

式中：ni是偽速度振幅PVi的循環(huán)數(shù)。計(jì)算每個(gè)振子固有頻率的偽速度響應(yīng)、周期計(jì)數(shù)和損傷，最終形成FDS、D(fn,Q,b)。

2.2 疲勞損傷譜頻域計(jì)算方法

本節(jié)將從加速環(huán)境的APSD計(jì)算疲勞損傷譜D(fn,Q,b)。頻域FDS的計(jì)算量遠(yuǎn)小于時(shí)域FDS，為了使計(jì)算有效，與APSD相關(guān)聯(lián)的響應(yīng)歷程必須是“強(qiáng)耦合”的平穩(wěn)隨機(jī)過程。此外，在每個(gè)彈簧振子的半功率帶寬上，APSD必須近似均勻，且阻尼很?。?≤0.1）。對(duì)于弱阻尼，半功率帶寬近似為Br=2?fn。在這種情況下，SDOF振子的響應(yīng)將是窄帶的。

將平穩(wěn)信號(hào)的損傷方程式（8）中的偽速度替換為應(yīng)力，并寫成連續(xù)形式，得到式（9）。

式中：p(S)為應(yīng)力最大值的概率密度函數(shù)（PDF）；T為暴露在應(yīng)力環(huán)境中的總時(shí)間；vm+為應(yīng)力歷史中每單位時(shí)間正最大值的個(gè)數(shù)。對(duì)于窄帶弱阻尼振子響應(yīng)，最大值每 1fn秒出現(xiàn)一次，所以vm+可以替換為fn。

此外，在假設(shè)條件下，無論加速度環(huán)境的PDF如何，振子的響應(yīng)都將接近高斯分布，峰值的PDF將接近瑞利形式[19-22]。方程（10）顯示了峰值的瑞利分布。

式中：S為峰值的應(yīng)力值；σS為應(yīng)力時(shí)程的均方根。

將式（10）代入式（9）得到式（11）。

式中：Γ為伽馬函數(shù)?；仡檪嗡俣群蛻?yīng)力之間的關(guān)系，公式（11）可以重寫為：

利用Parseval定理可以計(jì)算出均方根偽速度振子響應(yīng)[23]。首先，通過將偽速度FRF平方量級(jí)乘以APSD來計(jì)算頻率響應(yīng)量級(jí)的平方。然后在所有頻率上對(duì)結(jié)果進(jìn)行積分，以根據(jù)APSD量級(jí)Pa計(jì)算振子偽速度RMS、σpv。假設(shè)APSD環(huán)境在每個(gè)振子的半功率帶寬內(nèi)相對(duì)平坦，則允許使用閉合形式近似（類似于Mile′s方程），見式（13）。

均方根偽速度響應(yīng)通過式（13）計(jì)算，每個(gè)振子損傷通過式（12）計(jì)算，最終形成疲勞損傷譜D(fn,Q,b)。計(jì)算過程中可能需要插值A(chǔ)PSD。由于APSD通常由對(duì)數(shù)坐標(biāo)給出，因此APSD譜中兩點(diǎn)之間的插值將位于對(duì)數(shù)曲線圖中的直線上。在頻率fi（位于f1和f2之間，對(duì)應(yīng)APSD量級(jí)A1和A2）處，插值A(chǔ)PSD可以通過式（14）來完成，其中N為對(duì)數(shù)斜率。

3 時(shí)域、頻域算法等效性驗(yàn)證

上文給出了疲勞損傷譜在時(shí)域和頻域中的計(jì)算方法，為驗(yàn)證兩種方法計(jì)算結(jié)果的等效性，構(gòu)建加速度功率譜，如圖1所示。APSD譜的具體參數(shù)見表1。由此通過逆傅里葉變換并指定隨機(jī)相角可生成遍歷平穩(wěn)、高斯的隨機(jī)時(shí)間歷程，如圖2所示，持續(xù)時(shí)間為10 s。此時(shí)間歷程的功率譜與給定的加速度功率譜對(duì)比如圖3所示，可以看出，二者在低頻部分吻合較好，高頻部分存在一定誤差，但在±1.5 dB之內(nèi)。

圖2 等效的高斯平穩(wěn)隨機(jī)時(shí)間歷程 Fig.2 Equivalent gaussian, random time-histories

圖3 APSD譜對(duì)比 Fig.3 APSD Spectrum Comparison

表1 APSD譜參數(shù) Tab.1 APSD Spectrum

分別由圖1所示的APSD譜及時(shí)間歷程計(jì)算疲勞損傷譜。在計(jì)算中取參數(shù)Q=10，b=8，持續(xù)時(shí)間為10 s。用兩種方法計(jì)算的FDS如圖4所示。

圖1 APSD譜 Fig.1 APSD Spectrum

圖4 疲勞損傷譜對(duì)比 Fig.4 Fatigue Damage Spectrum Comparison

可以看出，時(shí)域法在100 Hz以前的低頻部分，計(jì)算出的損傷略大于頻域法。在100 Hz以后，時(shí)域法與頻域法結(jié)果幾乎相同。

4 結(jié)語

上述研究表明，高斯隨機(jī)振動(dòng)在時(shí)域和頻域計(jì)算的疲勞損傷譜是具有等效性的。因此，可以通過比較不同加速度時(shí)間歷程的FDS來比較環(huán)境嚴(yán)酷程度。在滿足隨機(jī)性和平坦性假設(shè)的前提下，也可通過不同環(huán)境的APSD譜（包含持續(xù)時(shí)間）的FDS來比較環(huán)境嚴(yán)酷程度。