十字交叉法錯誤題分析

吳孫富+肖柏林

摘要：從數(shù)學(xué)的角度探討了用十字交叉法解題導(dǎo)致增解和漏解的原因，指出錯解某例題是由于解題者錯誤地使用了氫碳原子個數(shù)比，進(jìn)一步分析證明錯解的深層次原因在于該題使用的數(shù)據(jù)有問題。強調(diào)題目編制過程中應(yīng)重視科學(xué)性，尤其要注意錯題在教學(xué)中的破壞作用。

關(guān)鍵詞：化學(xué)計算；十字交叉法；二元一次方程組法；氫碳比

文章編號：1005–6629（2015）6–0080–04 中圖分類號：G633.8 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

1 問題的提出

李薇老師原創(chuàng)了一道例題（下文所說例題均指此題）如下：

相鄰兩種烷烴的混合物20mL，完全燃燒后生成30mL的CO2，48mL的H2O。求該烷烴的可能組合及體積比。

在“十字交叉法應(yīng)用中的常見問題及解析”[1]一文中，李薇老師先求出了混合烴的平均分子式為C1.5H4.8，再根據(jù)C1.5H4.8確定兩種烷烴為CH4和C2H6，然后用氫碳比的十字交叉法進(jìn)行求解得甲烷與乙烷的體積比為1：2（具體解法請參看文獻(xiàn)[2]和下文）。

在“對一道錯題的剖析——兼析十字交叉法的應(yīng)用”[3]一文中，萬輝霞和鐘輝生兩位老師用二元一次方程組解答了此例題。兩位老師在求出平均分子式為C1.5H4.8、確定例題中兩種烷烴分別為CH4和C2H6之后，根據(jù)混合烴的體積與CO2的體積、混合烴的體積與H2O的體積分別列出了兩組二元一次方程組進(jìn)行求解。兩位老師先用兩組二元一次方程組解出兩組甲烷與乙烷的體積，然后再將兩組體積分別求比值得兩組體積比分別為1：1和3：2（具體解法可參看文獻(xiàn)[4]和下文）。由于兩組方程組的求解結(jié)果不同，所以兩位老師得出了例題無解、例題是錯題的結(jié)論，筆者贊同該結(jié)論。

例題無解，但李薇老師用十字交叉法所求例題的解為1：2。由于李薇老師用十字交叉法所求的解為錯解，所以萬、鐘二位老師將李薇老師得出錯解的原因歸咎于十字交叉法。筆者認(rèn)為，李老師得出錯解的原因不在于十字交叉法，而在于例題本身提供的數(shù)據(jù)不科學(xué)。

2 十字交叉法的“增解”和“漏解”

2.1 十字交叉法及其在數(shù)學(xué)上的“增解”和“漏解”

萬、鐘兩位老師之所以將李薇老師對例題的錯解歸咎于十字交叉法，是因為兩位老師認(rèn)為李老師的錯解是用十字交叉法解題導(dǎo)致的增解。在此，筆者特先探討一下十字交叉法的“增解”和“漏解”問題。

由此可見，C1.5H4.8是一個雞鴨的總個數(shù)與總腳數(shù)不相匹配的組成，C1.5H4.8不能代表任何以比例組成的甲烷和乙烷混合物。從主觀上說，李薇老師錯解例題的原因在于使用了氫碳比；從客觀上說，由于C1.5H4.8中的數(shù)據(jù)源于題給的數(shù)據(jù)，所以李薇老師錯解例題的客觀原因在于題目本身的數(shù)據(jù)不科學(xué)。

上述探討還給我們這樣一個重要的啟示：在涉及分子式或化學(xué)式中原子個數(shù)的計算時，我們要慎用原子個數(shù)的比值。

4 例題存在的問題及相關(guān)的教學(xué)反思

4.1 例題存在的兩個問題

由上述探討可見，例題存在的第一個問題是數(shù)據(jù)不科學(xué)。實際上在“相鄰兩種烷烴”的前提下，例題只需要提供混合烴的總體積和二氧化碳的體積就可以求解，例題如果只提供混合烴的總體積和水的體積也可以求解（可參看文獻(xiàn)[1，3]及筆者的上述解法）。當(dāng)然，例題亦可以同時提供混合烴的總體積、二氧化碳和水的體積，只是在同時提供三者的體積時必須考慮各體積間的科學(xué)匹配性。當(dāng)例題同時提供科學(xué)匹配的各物質(zhì)的體積時，李老師與萬、鐘兩位老師及筆者的上述解法就會得出一致的結(jié)論，且各解法的結(jié)果之間可以相互驗證。對于平均組成為C5/3H16/3的甲烷和乙烷混合物來說，用各解法所求的結(jié)果均是n（CH4）：n（C2H6）=1：2。

例題存在的第二個問題是完全忽視了反應(yīng)條件與物質(zhì)狀態(tài)間的關(guān)系。題目在沒有任何反應(yīng)條件的前提下，給出了混合烴、二氧化碳和水的體積，幾位老師解題時都毫不猶豫地把混合烴和水當(dāng)成了氣態(tài)進(jìn)行解答。大家都知道物質(zhì)狀態(tài)與外界條件是密切相關(guān)的，可這幾位老師在編題和解題時都完全忽視了外界條件，這充分反映出了在教學(xué)中只追求結(jié)果、不顧及科學(xué)邏輯的缺點。這個缺點應(yīng)該引起廣大中學(xué)化學(xué)教師的高度重視。

4.2 關(guān)于例題的教學(xué)反思

在存在上述兩個問題的情況下，如果不加思考地把此例題作為訓(xùn)練題交給學(xué)生解答的話，將會出現(xiàn)些什么情況呢？筆者預(yù)計會有三種情況。一種情況是部分優(yōu)秀的學(xué)生可能會感到難以下手，因為他們在解題時首先會考慮到混合烴和水的狀態(tài)，不明確混合烴和水的狀態(tài)，就難以解答此題。當(dāng)這些學(xué)生對此提出疑問時，會不會有教師武斷地肯定混合烴和水為氣態(tài)呢？筆者不敢肯定說“沒有”。第二種情況是部分學(xué)生把混合烴和水都當(dāng)成氣態(tài)進(jìn)行解答，在解題思路和運算過程均正確的情況下，學(xué)生可能會得出三種互不相同的結(jié)果。當(dāng)三種結(jié)果呈現(xiàn)在教師面前時，會不會有教師武斷地否定其中的兩個結(jié)果或者束手無策呢？筆者亦不敢肯定說“沒有”。第三種情況是有學(xué)生經(jīng)過討論解答后得出“題目錯誤”或“此題無解”的結(jié)論，會不會有教師因毫無準(zhǔn)備而敷衍了事呢？筆者亦不敢肯定說“沒有”。

想想這些可能的情況，我們自然就會明白這樣一個道理：一道化學(xué)錯題對于我們化學(xué)教學(xué)既可能是很好的機會和挑戰(zhàn)，也可能產(chǎn)生很大的破壞作用。為了避免此種破壞作用，我們應(yīng)該認(rèn)真地、科學(xué)地編寫每一道原創(chuàng)題。我們還應(yīng)該深入地研究包括錯題在內(nèi)的例題和習(xí)題，靈活科學(xué)地應(yīng)對教學(xué)中出現(xiàn)的科學(xué)問題，改善我們的教學(xué)。

我們可不可以把這樣一道錯題變成好題呢？完全可以，筆者研究后把例題改編成了如下選擇題。

在110℃、1大氣壓下，相鄰兩種氣態(tài)烷烴的混合物20mL，完全燃燒后恢復(fù)到原溫度和壓強，測得CO2的體積為30mL、H2O的體積為48mL。該混合烴的可能組成為（ ）。

E.無解

改變后的選擇題既可以起到鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識、提升學(xué)生基本技能的作用，又可以起到發(fā)散學(xué)生思維、啟發(fā)學(xué)生探究的作用。相比之下，此題由錯題變化而來，其教學(xué)價值遠(yuǎn)高于普通的訓(xùn)練題。

參考文獻(xiàn)：

[1][2]李薇.十字交叉法應(yīng)用中的常見問題及解析[J].化學(xué)教學(xué)，2012，（5）：65.

[3][4]萬輝霞，鐘輝生.對一道錯題的剖析——兼談十字交叉法的應(yīng)用[J].化學(xué)教學(xué)，2013，（3）：78～79.