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    圓盤塔倒塌的動力學分析

    2021-11-03 05:28:46朱世棟黎秋航侯吉旋
    物理實驗 2021年10期
    關(guān)鍵詞:初速度圓盤質(zhì)心

    朱世棟,黎秋航,侯吉旋,陳 乾

    (東南大學 a.物理學院;b.交通學院,江蘇 南京 211189)

    2020年國際青年物理學家錦標賽(IYPT)的第14賽題為“下落的塔(Falling tower)”:相同的圓盤,一個疊在另一個上面,形成獨立的塔. 當突然施加水平力移除塔底部的圓盤時,塔身的其余部分會掉落到底面上,并且依然保持直立狀態(tài). 研究該現(xiàn)象并確定允許塔保持靜止直立的條件. 這是經(jīng)典的理論力學問題,可以引申到建筑物穩(wěn)定性等實際問題. 針對圓盤堆疊的模型,王涵等[1]提出了用倒塌概率判定塔穩(wěn)定性的思路,并通過實驗分析了相關(guān)參量的影響. 但研究因素較少. 舒幼生[2]對此類剛體堆疊問題做了理論研究,得出了底部物體抽出過程中塔的其他部分不會有相對運動的結(jié)論,并提出了不同條件下存在多種運動狀態(tài)的可能性.

    本文的理論部分分為基礎(chǔ)理論與特殊情況2部分,將對圓盤的整個運動過程進行深入分析,得到塔是否倒塌的判別條件,并通過參量分析得到影響塔穩(wěn)定性的因素. 實驗部分將對理論中得到的結(jié)論進行佐證.

    1 基礎(chǔ)理論模型及求解

    1.1 是否倒塌的判別條件

    通過幾個簡單的預(yù)實驗發(fā)現(xiàn),移除最下方圓盤會導(dǎo)致上方圓盤的錯開,錯開的距離決定了塔是否倒塌. 通過求解落地后圓盤間的錯開距離可以得到塔是否倒塌的判別條件. 設(shè)圓盤數(shù)為N,單個質(zhì)量為m,半徑為r,厚度為h.地面摩擦系數(shù)設(shè)為μ0,圓盤間粗糙程度相同,具有相同的摩擦系數(shù)μ1. 底部圓盤受到突然的水平力后獲得初速度v0. 為方便描述,將圓盤從下到上編號1~N,如圖1所示.

    圖1 圓盤塔的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)

    以下均假設(shè)圓盤落地前近似水平. 設(shè)圓盤質(zhì)量分布均勻,則圓盤1和2錯開x時,上方圓盤會開始翻覆. 圓盤1與2只有唯一接觸點,所有的摩擦力與支持力都作用在這個點上,且

    FN=(N-1)mg,f=μ1(N-1)mg.

    (1)

    取過質(zhì)心且垂直于底部圓盤速度方向的轉(zhuǎn)軸,由角動量定理[3]:

    (2)

    其中Ic為上方圓盤塔的轉(zhuǎn)動慣量,且

    (3)

    當?shù)撞繄A盤初速度很大(v02?gr)時,可近似為勻速抽出,即

    x=v0t.

    (4)

    將式(4)代入式(2)即可得到關(guān)于t的微分方程為

    (5)

    從0積分到r/v,即可以得到落地時圓盤塔的角速度為

    (6)

    如圖2所示,剛落地的瞬間,各圓盤還未發(fā)生相對運動. 且各圓盤速度為質(zhì)心速度與相對質(zhì)心速度的疊加,由于繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn),各圓盤速度并不相同,因而錯開. 相鄰兩圓盤間速度差恒定:

    Δv=ω1h,

    (7)

    設(shè)圓盤2~N的質(zhì)心速度為v,可得圓盤2~N的速度分別為

    (8)

    圖2 圓盤的錯開

    只有最下方圓盤2在減速,加速度a2可由牛頓第二定律算出:

    μ0(N-1)mg+μ1(N-2)mg=ma2.

    (9)

    上方所有圓盤在以相同的加速度a加速,以上數(shù)第k個圓盤為例,由牛頓第二定律有

    μ1kmg-μ1(k-1)mg=ma,

    整理得

    a=μ1g.

    (10)

    因此,圓盤2將減速,圓盤3將加速,最終兩者共速,形成整體(這里不考慮兩者共速后仍有相對運動的情況),有

    v2-a2t1=v3+at1,

    (11)

    最終圓盤2與圓盤3錯開的距離可由運動學公式算出:

    (12)

    聯(lián)立式(8)~(11),解得:

    (13)

    之后將圓盤2和3視為整體,這個整體在減速,上方圓盤在以相同的加速度加速. 重復(fù)式(8)~(11)的過程,可得圓盤3與圓盤4的錯開距離. 類似地,可得所有圓盤的錯開距離為

    (14)

    得到了錯開距離分布,可以算出各質(zhì)心的坐標. 以第k-1個圓盤的右邊緣為原點,上方第k~N個圓盤的質(zhì)心坐標為

    xck=[m(-r+Δxk-1,k)+

    m(-r+Δxk-1,k+Δxk,k+1)+…+

    m(-r+Δxk-1,k+…+ΔxN-1,N)]·

    [(N-K+1)m]-1.

    (15)

    聯(lián)立式(14)和式(15),化簡得:

    (16)

    故圓盤塔不倒塌的條件是,k取任何值,xck≤0,即:當k在3~N中變化時,max{xck}≤0. 令d為此最大值:

    (17)

    d即為表征圓盤塔是否倒塌的判別條件:當d≤0時,圓盤塔不倒塌;d>0時,圓盤塔倒塌.

    1.2 影響圓盤塔穩(wěn)定性的因素

    通過改變各參量,觀察d的變化趨勢,即可知道此參量對圓盤穩(wěn)定性的影響. 以下逐次探究圓盤數(shù)量N、初速度v0、半徑r與厚度h、摩擦系數(shù)μ0和μ1的影響.

    初始條件:r=0.04 m,h=0.02 m,v0=0.7 m/s,g=9.8 m/s2,μ0=0.2,μ1=0.5.

    如圖3所示,固定其他參量的值,改變圓盤數(shù)量N.當圓盤數(shù)量增加時,d值增大,說明塔逐漸不穩(wěn)定. 故圓盤個數(shù)越多,塔越容易倒塌.

    圖3 圓盤數(shù)量對穩(wěn)定性的影響

    如圖4所示,固定其他參量值,改變v0. 當v0增加時,d值減小,說明塔越來越穩(wěn)定. 故底部圓盤v0越大,塔越不容易倒塌.

    圖4 底部圓盤初速度對穩(wěn)定性的影響

    如圖5所示,圓盤半徑與厚度對穩(wěn)定性的影響耦合性較強,且當圓盤尺寸較小時,塔更穩(wěn)定;圓盤尺寸較大時,塔更容易倒塌.

    圖5 圓盤尺寸對穩(wěn)定性的影響

    如圖6所示,摩擦對穩(wěn)定性的影響耦合性不強,且地面摩擦越大、圓盤間摩擦越小,d值越小,圓盤塔越穩(wěn)定.

    圖6 摩擦對穩(wěn)定性的影響

    2 特殊情況分析

    2.1 “溜坡”

    “溜坡”是指圓盤落地后翻回水平過程中上方圓盤的側(cè)滑. 由實驗可知“溜坡”發(fā)生的條件為:

    1)圓盤厚度較大;

    2)地面摩擦較大;

    3)圓盤間摩擦較小.

    下面用簡單模型計算“溜坡”產(chǎn)生的錯開距離.

    模型假設(shè):

    1)N=3,即落地時只有2個圓盤;

    2)地面摩擦無窮大,即下方圓盤做定軸轉(zhuǎn)動;

    3)圓盤間摩擦為0.

    如圖7所示,設(shè)圓盤錯開的距離為x,與地面的夾角為θ.取下方圓盤為參考系,引入慣性離心力、切向慣性力和科里奧利力,在圖7中標出方向. 設(shè)兩圓盤間作用力為FN,則FN作用線過上方圓盤質(zhì)心(保證上方圓盤力矩平衡);再設(shè)幾何參量φ,已在圖中標出.

    圖7 “溜坡”現(xiàn)象分析圖

    對上方圓盤進行受力分析,垂直盤面方向受力平衡:

    2mωvr+mgcosθ=mβlcosφ+mω2lsinφ+FN,

    (18)

    上方圓盤在平行盤面方向做變加速直線運動,由牛頓第二定律得

    mgsinθ+mβlsinφ-mω2lcosφ=mar.

    (19)

    選取地面為參考系,對下方圓盤進行分析. 取與地面接觸點為轉(zhuǎn)軸,由角動量定理[1]得

    mgcosθ·r+FN(r-x)=Iβ,

    (20)

    其中圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量I為

    (21)

    最后通過幾何關(guān)系關(guān)聯(lián)φ,l和x,可得cosφ和sinφ為

    (22)

    聯(lián)立式(19)~(22),即可得到關(guān)于t的微分方程組,從而求解出x(t)與θ(t),如圖8所示.

    若要求圓盤翻回水平時錯開的距離,即求θ=0時x的值. 如圖8所示,可以看出錯開距離x≈0.03 m,而圓盤半徑只有0.04 m,故“溜坡”現(xiàn)象導(dǎo)致的額外錯開距離實際有重要影響.

    圖8 x(t)和θ(t)的求解曲線

    2.2 “破碎”

    “破碎”現(xiàn)象指抽出最下方圓盤,上方圓盤在空中彼此分離的現(xiàn)象. “破碎”現(xiàn)象一般發(fā)生在圓盤間摩擦較大的情況. 下面用簡單的模型分析發(fā)生“破碎”現(xiàn)象的原因.

    模型假設(shè):

    1)N=3,即空中只有2個圓盤;

    2)最下方圓盤勻速抽出,即在慣性系對空中兩圓盤進行分析;

    3)上方兩圓盤在“破碎”前無相對運動;

    4)兩圓盤間壓力為0時發(fā)生“破碎”.

    如圖9所示,設(shè)圓盤1對2的支持力為FN,摩擦力為μ1FN. 設(shè)圓盤轉(zhuǎn)角為θ,圓盤2和3的質(zhì)心C距離支點的水平距離為x,豎直距離為y.

    圖9 “破碎”現(xiàn)象分析圖(整體)

    對整體進行受力分析,由質(zhì)心運動定理[3]得

    (23)

    由整體的角動量定理可得

    (24)

    其中上方兩圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量I為

    (25)

    并有幾何關(guān)系:

    (26)

    對最上方圓盤做隔離分析. 設(shè)其所受摩擦力為f,支持為F,等效作用點為A點(位置無需討論),如圖10所示.

    圖10 “破碎”現(xiàn)象分析圖(最上方圓盤)

    由質(zhì)心運動定理:

    (27)

    聯(lián)立(23)~(27),得到x,y,θ,F(xiàn)關(guān)于t的微分方程組,從而解出F(t)曲線,如圖11所示.

    圖11 不同μ1下的F(t)解

    可以發(fā)現(xiàn),F(xiàn)(t)呈下降趨勢,當F下降到0時,即發(fā)生“破碎”現(xiàn)象. 當μ1逐漸增大時,可以看到F下降加快,說明圓盤間摩擦越大,越容易發(fā)生“破碎”現(xiàn)象. 圓盤在空中分離后便不再有相互作用,因此落地時的速度就是分離時的速度.

    2.3 “彈跳”與“夭折”

    “彈跳”現(xiàn)象指落地后上方圓盤又彈起的現(xiàn)象,它發(fā)生在圓盤的彈性(恢復(fù)系數(shù))較大、圓盤厚度較大時. 由于圓盤彈起后不再有摩擦力的作用,因此最終錯開的距離主要取決于恢復(fù)系數(shù)及彈起后各自的水平速度.

    “夭折”現(xiàn)象指圓盤塔在最下方圓盤尚未被抽出時即倒塌,它發(fā)生在最下方圓盤初速度較小(即突然施加的水平力較小)及圓盤間摩擦較大時. 此情況下塔直接倒塌,不需計算錯開距離.

    以上2種情況較為簡單,本文不做定量研究.

    3 實驗驗證

    實驗裝置如圖12所示,其中A為圓盤,B為光電門,C為定滑輪,D為500 g砝碼,E為細繩,F(xiàn)為擋光片. 通過從一定高度釋放砝碼來給予最下方圓盤突然的水平力,通過光電門來測量最下方圓盤的初速度.

    圖12 實驗裝置設(shè)計圖

    為實現(xiàn)題目要求,做了如下規(guī)定:

    1)繩伸直時砝碼要接近地面,保證力的瞬時作用;

    2)從一定高度釋放砝碼,保證足夠大的沖量將圓盤抽出;

    3)光電門與擋光片的距離等于砝碼距離地面的高度,保證光電門所測為最下方圓盤的初速度.

    實驗裝置的優(yōu)點在于,它能保證相同條件下實驗的可重復(fù)性:通過在相同高度釋放砝碼,可以使得最下方圓盤的初速度近似不變.

    3.1 圓盤數(shù)量的影響

    取直徑為50 mm、厚度為10 mm、表面磨砂的圓盤為實驗對象,保證最下方圓盤初速度v0≈(2.00±0.05) m/s,觀察當N=3,4,5,6,7,8時圓盤是否倒塌. 每組實驗重復(fù)5次,計算圓盤倒塌的概率P.

    如圖13所示,可以發(fā)現(xiàn),數(shù)據(jù)呈上升趨勢,說明圓盤數(shù)量越多,圓盤塔越容易倒塌. 這與理論分析的結(jié)果相符合.

    圖13 圓盤數(shù)量與倒塌概率實驗結(jié)果

    3.2 圓盤直徑的影響

    取厚度為10 mm直徑分別為40,50,60,70,80 mm的圓盤為實驗對象,保證最下方圓盤初速度v0≈ (2.00±0.05) m/s,觀察當N=6時圓盤是否倒塌. 每組實驗重復(fù)5次,計算圓盤塔倒塌的概率P.

    如圖14所示,數(shù)據(jù)呈下降趨勢,說明直徑越大,塔越穩(wěn)定,與理論求得曲面圖5中h=0.01 m對應(yīng)曲線的結(jié)論相同.

    圖14 圓盤直徑與倒塌概率實驗結(jié)果

    3.3 最下方圓盤初速度的影響

    取直徑為50 mm,厚度為10 mm,表面磨砂的圓盤為實驗對象,堆疊數(shù)N=6. 由于實驗無法保證每次初速度嚴格相同,故設(shè)置一系列速度區(qū)間來探究最下方圓盤初速度的影響趨勢. 每個速度區(qū)間重復(fù)實驗5次,計算圓盤塔倒塌的概率P.

    速度為1.2~2.8 m/s,區(qū)間間隔0.2 m/s,共8個區(qū)間,由小到大分別編號為1~8,實驗結(jié)果如圖15所示. 由數(shù)據(jù)的下降趨勢可知,最下方圓盤初速度越大,圓盤塔倒塌概率越低,說明塔越穩(wěn)定. 這與理論分析結(jié)論相符合.

    圖15 圓盤初速度與倒塌概率實驗結(jié)果

    3.4 圓盤表面摩擦系數(shù)的影響

    為保證其他條件不變,采取表面處理的方式改變圓盤表面的摩擦系數(shù). 表面處理方式包括:粘貼防滑膜、不處理、輕度打磨、重度打磨. 經(jīng)測量[4],4種圓盤的摩擦系數(shù)μ1分別為0.66,0.56,0.50,0.42. 多次重復(fù)實驗,不同摩擦系數(shù)圓盤的倒塌概率無法呈現(xiàn)明顯的規(guī)律. 這可能是由于摩擦系數(shù)不同導(dǎo)致的穩(wěn)定性改變小于隨機因素導(dǎo)致的穩(wěn)定性波動范圍,因而其倒塌概率無法產(chǎn)生顯著的變化趨勢. 實驗結(jié)果如圖16所示.

    圖16 圓盤表面摩擦系數(shù)與倒塌概率實驗結(jié)果

    4 結(jié)束語

    本文對抽出圓盤塔最下方圓盤后,塔是否倒塌的條件做了探究,并對影響塔穩(wěn)定性的因素進行了分析. 此外,本文對圓盤抽出過程中的4種特殊情況做出了探究. 實際上,圓盤抽出過程還會出現(xiàn)反向錯開等情況,此類情況的發(fā)生可能有多種原因(如“彈跳”現(xiàn)象或圓盤間摩擦過小),為避免復(fù)雜的分類討論,本文暫未對這類情況進行深入研究.

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