利用視頻追蹤法測量運動的加速度

趙 霞,張增明

(中國科學技術大學 物理學院,安徽 合肥 230026)

大學物理基礎實驗通常是指在實驗室環(huán)境下采用專業(yè)的實驗儀器完成相關實驗內(nèi)容的課程. 疫情期間，在通過實驗室完成實驗較為困難的情況下，本著停課不停學，各高校積極開展線上教學[1-4]，利用居家條件指導學生開展各項物理實驗. 在非實驗室環(huán)境下，力學實驗比較容易完成. 大學物理實驗中，研究物體沿斜面運動的實驗通常在氣墊導軌上進行. 本文選用常見的居家用品搭建實驗裝置，利用手機拍攝和視頻追蹤軟件Tracker[5]，研究了物體沿斜面的下滑過程，通過數(shù)據(jù)擬合，獲得了物體運動的加速度，并討論了物體下滑過程中純滾動與滑動的臨界條件.

1 實驗原理和裝置

1.1 實驗原理

圖1 簡易的勻加速運動系統(tǒng)

伽利略指出，物體沿斜面運動與物體垂直下落的運動(自由落體)具有相似的特征.所以居家情況下，學生可以利用帶有標準刻度的直尺墊在具有一定厚度的支撐物上構造斜面，并選擇圓柱形或球形物體沿斜面滾下，從而構成簡易的勻加速運動系統(tǒng)，如圖1所示. 若要獲得物體的運動速度或加速度，需要知道該物體的運動時間和位移的關系. 由于物體下滑的過程很快，所以在實驗室里通常采用光電門獲得其速度和加速度.

在非實驗室的情況下，如何獲得具體的時間和相應位移成為了該實驗的難點. 如前所述，居家環(huán)境下，直尺構造的斜面比較短，所以物體下滑的時間只有1～2 s，即使使用手機中精度為0.01 s的秒表，也難以實現(xiàn)精確計時，因此時間誤差非常大. 但如果用手機拍攝物體的整個運動過程，再用特定的拆幀軟件把視頻逐幀地截圖，這樣就可以把視頻拆分成圖片. 對于普通的智能手機，幀率能達到30 s-1，也就是1 s的視頻可以被拆成30張圖，這樣每張圖對應的時間就可以得到：第1張圖相當于0.033 s對應的位置，第2張圖為0.066 s，第3張圖為0.099 s，以此類推，這樣就相當于獲得了精度為0.033 s的計時器. 如果在智能手機的正常拍攝模式下再結合慢動作的功能，比如4倍速拍攝模式，手機能達到120 s-1的分辨能力.

以華為p30手機為例，其慢動作能到32倍，相當于可以獲得960 s-1的幀率，即0.001 s精度的計時工具. 而最近新上市的華為手機，更是能獲得7 680 s-1的超高幀率. 由此，拍攝視頻后再結合視頻拆幀軟件，找到物體上某一特征位置到達某一刻度的幀，即可找到對應的時間，再根據(jù)標尺準確地讀出其位置坐標，這樣就可以獲得物體在勻加速運動過程中的時間和位置的對應關系. 再利用數(shù)值處理軟件對其進行二次函數(shù)擬合，即可求得物體在斜面上運動的加速度.

引導學生學習、利用視頻拆幀軟件Tracker及數(shù)據(jù)處理軟件對視頻和數(shù)據(jù)進行分析，即可成功獲得所需的物理量.

1.2 實驗裝置

實驗器材主要由手機、手機支架、直尺、一元硬幣若干、5號電池等組成，如圖2所示.

圖2 構成斜面運動的居家實驗器材

1.3 軟件

Tracker軟件是一款建立在Java代碼庫的物理影像分析和建模工具. 通過該軟件，可以直接將視頻收集的空間數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到軟件上顯示. 在定制時空坐標系統(tǒng)的基礎上，通過追蹤運動軌跡將視頻的畫面生成可以編輯的二維圖. 該軟件內(nèi)置了豐富的數(shù)據(jù)繪圖工具、實驗原理分析工具和函數(shù)建模工具，對二維運動、拋物線運動、二維碰撞等運動的視頻均可進行實時質(zhì)點追蹤，記錄位移、速度、加速度等數(shù)據(jù).

2 實驗步驟與內(nèi)容

1)用累計放大法選用直尺測量n枚硬幣的總厚度，可以獲得單枚硬幣的厚度；

2)將直尺零刻度線與硬幣邊緣對齊構造斜面，通過改變疊放的硬幣數(shù)量，設置不同的斜面角度，使待測電池從零刻度線位置沿斜面向下運動，并利用手機拍攝視頻(推薦使用慢動作). 實驗中取5種不同的斜面傾角. 拍攝中注意使手機與水平面盡可能平行.

3)將視頻文件導入電腦，利用Tracker軟件追蹤視頻，分解拆幀，獲得位移-時間對應關系，用數(shù)據(jù)處理軟件進行二次函數(shù)擬合求出物體的加速度，并進行誤差分析.

以上實驗內(nèi)容可作為基礎實驗部分對學生進行要求.

4)假設重力加速度為g，斜面傾角為θ，由于電池為滾動，根據(jù)純滾動時摩擦系數(shù)的條件，用實驗檢驗以上運動是否為純滾動，并且解釋相關的現(xiàn)象.

此部分內(nèi)容可以作為提高實驗部分對學生進行要求.

5) 用2把尺子構成1個對稱斜面，使斜面的底邊緊貼，在交界處用膠帶粘住，防止2個尺子位置發(fā)生變化，測量電池在這種斜面運動的加速度并分析運動特點.

此部分內(nèi)容可作為進階實驗部分對學生進行要求.

3 數(shù)據(jù)處理與分析

3.1 基礎實驗部分

本實驗分別選取硬幣數(shù)n=3,5,7,9,10. 用前述的視頻追蹤法，讓電池從直尺的零刻度以初速度為0向下滾動，拍攝視頻并用Tracker軟件拆幀，用二次函數(shù)擬合x-t關系.

圖3所示為n=3的擬合追蹤曲線，擬合函數(shù)為

x=0.072 67t2+0.028 57t+0.001 555，

由此可以得到此傾角下，電池運動的加速度a=0.145 3 m/s2.

5種不同斜面傾角下測量出的加速度如表1所示.

圖3 用Tracker軟件分析n=3的斜面運動截圖

表1 電池在5種不同傾角斜面運動的加速度

3.2 提高實驗部分

若測量待測電池在純滾動狀態(tài)下的加速度，設重力加速度為g，斜面傾角為θ， 斜面摩擦系數(shù)為μ，如果將電池視為實心均勻圓柱體，質(zhì)量為m，半徑為R，則其轉(zhuǎn)動慣量為

(1)

以圓柱體圓心為參考點，由轉(zhuǎn)動定律有

fR=Jβ,

(2)

若物體做純滾動，應滿足：

ac=Rβ,

(3)

聯(lián)立上式可得

(4)

表1中給出了各種斜面傾角下滿足純滾動條件的加速度的理論值ac，可以看出實驗測得的加速度與理想純滾動的加速度相差較大. 若要滿足純滾動運動，在斜面上，由沿斜面與垂直斜面的受力分析有：

mgsinθ-f=mac

,

(5)

N=mgcosθ,

(6)

f=μN,

(7)

由此可得，滿足純滾動條件的斜面最小摩擦系數(shù)應滿足條件

(8)

如圖4所示，在電池做理想純滾動時，其所受重力G的分力與運動方向一致，故受到向后的靜摩擦力，使柱體保持純滾動狀態(tài). 但由于實驗所用的電池內(nèi)部存在一定液體且質(zhì)量分布不均勻，電池存在一定的范性形變，因此只能近似當作剛體. 另外，直尺表面的刻度凸起以及電池側壁的棱在與斜面接觸時均會增加運動中的摩擦，故支持力與摩擦力的合力與重力形成1對力偶，柱體角加速度減小，產(chǎn)生了使質(zhì)心加速度減小的滑動摩擦力，其中

f=μmgcosθ,

(9)

(10)

圖4 純滾動靜摩擦力的方向

由以上分析可知，增加斜面粗糙度或減小斜面傾角，均為獲得純滾動的方式. 為了檢驗粗糙度對加速度的影響，選擇10枚硬幣的情況，在相同斜面傾角下改變斜面材質(zhì)，即換用普通筆盒，將這2種粗糙斜面進行比較，結果如表2所示.

表2 2組實驗中θ，a，μ的大小比較

可以看出粗糙表面上，柱體勻加速運動的加速度更小，這符合通常認知，也證實了摩擦力對此系統(tǒng)中柱體勻加速運動產(chǎn)生了影響.

3.3 進階實驗部分

歷史上，伽利略曾經(jīng)通過理想斜面實驗和科學推理，得出了“力不是維持物體運動的原因”的重要結論. 本文仍然利用直尺和硬幣，構造與著名實驗類似的對稱斜面，使斜面的底邊緊貼，如圖5所示，測量了圓柱形物體在該斜面運動的加速度，其中2個斜面均由5枚硬幣疊成，其傾角為θ=3.477°.

圖5 構造對稱斜面

從一端釋放柱體，使用Tracker軟件對全運動過程進行追蹤，得到如圖6所示圖像.

圖6 對稱斜面上柱體運動的x-t截圖

從追蹤的x-t圖像軌跡可以看出，圓柱體在2個斜面上表現(xiàn)出加速度不斷往復變化的運動，在每個斜面上到達的最大高度H減小. 嘗試對每個斜面上運動軌跡的二次函數(shù)進行擬合，發(fā)現(xiàn)上行(↑)或下行(↓)運動都可以很好地進行擬合，說明物體均在做勻變速運動，由此得到了每個斜面上的加速度(共選取6段)，如表3所示.

表3 對稱斜面上運動的加速度、最大高度及能量損失

由表3中可以看出，不論待測物是下行還是上行，加速度均小于理想的純滾動加速度，這與前面的實驗結果相符合，表明運動中存在滑動摩擦力，使物體做連滾帶滑的運動. 擬合結果表明圓柱體上行加速度比下行時大，這是由于沿斜面向下運動時，阻力方向與加速度方向相反，而沿斜面向上運動時，阻力方向與加速度方向相同所致. 而由電池在往復運動過程中達到最大高度得到的能量變化(η)可以看出，由于摩擦力和空氣阻力的存在，電池上升的最大高度小于靜止釋放的高度，動能在不斷減小，能量損失率大致為30%，直至最后停止運動.

4 線上教學效果

力學實驗是居家環(huán)境下最容易實現(xiàn)的一類實驗，所以在疫情期間，選取本實驗的學生人數(shù)最多. 當學生發(fā)現(xiàn)在沒有氣墊導軌、打點計時器等實驗儀器的情況下，也能利用手邊的器材順利地測量出加速度時，大大提高了學生的學習興趣. 通過線上討論、視頻答疑等形式進行交流，有700多名學生充分利用居家器材，不僅完成了各階難度不同的實驗，還鍛煉了動手能力，并激發(fā)了學生的創(chuàng)造力，也讓學生學會使用視頻追蹤軟件以及Origin、Matlab等數(shù)據(jù)處理軟件，激發(fā)了學生對居家實驗的興趣.

5 結束語

本實驗介紹了在居家環(huán)境下利用簡單的器材，結合手機和視頻追蹤軟件測量物體勻變速運動的加速度的方法，研究了純滾動發(fā)生的條件，通過構造對稱斜面，研究了運動中加速度變化的特點及能量損失情況. 實驗中的誤差主要來源于以下方面：電池為非完全剛體，電池被釋放的初速度不完全為0，由于電池重力引起的尺面微小彎曲，拍攝視頻時手機未能完全平行于運動平面，軟件定標的誤差，等等. 利用視頻追蹤法進行居家實驗，具有可操作性和趣味性，同時培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識和能力.