利用視頻追蹤法測量運(yùn)動(dòng)的加速度

趙 霞,張?jiān)雒?/p>

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院,安徽 合肥 230026)

大學(xué)物理基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)通常是指在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下采用專業(yè)的實(shí)驗(yàn)儀器完成相關(guān)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的課程. 疫情期間，在通過實(shí)驗(yàn)室完成實(shí)驗(yàn)較為困難的情況下，本著停課不停學(xué)，各高校積極開展線上教學(xué)[1-4]，利用居家條件指導(dǎo)學(xué)生開展各項(xiàng)物理實(shí)驗(yàn). 在非實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下，力學(xué)實(shí)驗(yàn)比較容易完成. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，研究物體沿斜面運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)通常在氣墊導(dǎo)軌上進(jìn)行. 本文選用常見的居家用品搭建實(shí)驗(yàn)裝置，利用手機(jī)拍攝和視頻追蹤軟件Tracker[5]，研究了物體沿斜面的下滑過程，通過數(shù)據(jù)擬合，獲得了物體運(yùn)動(dòng)的加速度，并討論了物體下滑過程中純滾動(dòng)與滑動(dòng)的臨界條件.

1 實(shí)驗(yàn)原理和裝置

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

圖1 簡易的勻加速運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)

伽利略指出，物體沿斜面運(yùn)動(dòng)與物體垂直下落的運(yùn)動(dòng)(自由落體)具有相似的特征.所以居家情況下，學(xué)生可以利用帶有標(biāo)準(zhǔn)刻度的直尺墊在具有一定厚度的支撐物上構(gòu)造斜面，并選擇圓柱形或球形物體沿斜面滾下，從而構(gòu)成簡易的勻加速運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，如圖1所示. 若要獲得物體的運(yùn)動(dòng)速度或加速度，需要知道該物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和位移的關(guān)系. 由于物體下滑的過程很快，所以在實(shí)驗(yàn)室里通常采用光電門獲得其速度和加速度.

在非實(shí)驗(yàn)室的情況下，如何獲得具體的時(shí)間和相應(yīng)位移成為了該實(shí)驗(yàn)的難點(diǎn). 如前所述，居家環(huán)境下，直尺構(gòu)造的斜面比較短，所以物體下滑的時(shí)間只有1～2 s，即使使用手機(jī)中精度為0.01 s的秒表，也難以實(shí)現(xiàn)精確計(jì)時(shí)，因此時(shí)間誤差非常大. 但如果用手機(jī)拍攝物體的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，再用特定的拆幀軟件把視頻逐幀地截圖，這樣就可以把視頻拆分成圖片. 對于普通的智能手機(jī)，幀率能達(dá)到30 s-1，也就是1 s的視頻可以被拆成30張圖，這樣每張圖對應(yīng)的時(shí)間就可以得到：第1張圖相當(dāng)于0.033 s對應(yīng)的位置，第2張圖為0.066 s，第3張圖為0.099 s，以此類推，這樣就相當(dāng)于獲得了精度為0.033 s的計(jì)時(shí)器. 如果在智能手機(jī)的正常拍攝模式下再結(jié)合慢動(dòng)作的功能，比如4倍速拍攝模式，手機(jī)能達(dá)到120 s-1的分辨能力.

以華為p30手機(jī)為例，其慢動(dòng)作能到32倍，相當(dāng)于可以獲得960 s-1的幀率，即0.001 s精度的計(jì)時(shí)工具. 而最近新上市的華為手機(jī)，更是能獲得7 680 s-1的超高幀率. 由此，拍攝視頻后再結(jié)合視頻拆幀軟件，找到物體上某一特征位置到達(dá)某一刻度的幀，即可找到對應(yīng)的時(shí)間，再根據(jù)標(biāo)尺準(zhǔn)確地讀出其位置坐標(biāo)，這樣就可以獲得物體在勻加速運(yùn)動(dòng)過程中的時(shí)間和位置的對應(yīng)關(guān)系. 再利用數(shù)值處理軟件對其進(jìn)行二次函數(shù)擬合，即可求得物體在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度.

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、利用視頻拆幀軟件Tracker及數(shù)據(jù)處理軟件對視頻和數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，即可成功獲得所需的物理量.

1.2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)器材主要由手機(jī)、手機(jī)支架、直尺、一元硬幣若干、5號電池等組成，如圖2所示.

圖2 構(gòu)成斜面運(yùn)動(dòng)的居家實(shí)驗(yàn)器材

1.3 軟件

Tracker軟件是一款建立在Java代碼庫的物理影像分析和建模工具. 通過該軟件，可以直接將視頻收集的空間數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到軟件上顯示. 在定制時(shí)空坐標(biāo)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過追蹤運(yùn)動(dòng)軌跡將視頻的畫面生成可以編輯的二維圖. 該軟件內(nèi)置了豐富的數(shù)據(jù)繪圖工具、實(shí)驗(yàn)原理分析工具和函數(shù)建模工具，對二維運(yùn)動(dòng)、拋物線運(yùn)動(dòng)、二維碰撞等運(yùn)動(dòng)的視頻均可進(jìn)行實(shí)時(shí)質(zhì)點(diǎn)追蹤，記錄位移、速度、加速度等數(shù)據(jù).

2 實(shí)驗(yàn)步驟與內(nèi)容

1)用累計(jì)放大法選用直尺測量n枚硬幣的總厚度，可以獲得單枚硬幣的厚度；

2)將直尺零刻度線與硬幣邊緣對齊構(gòu)造斜面，通過改變疊放的硬幣數(shù)量，設(shè)置不同的斜面角度，使待測電池從零刻度線位置沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，并利用手機(jī)拍攝視頻(推薦使用慢動(dòng)作). 實(shí)驗(yàn)中取5種不同的斜面傾角. 拍攝中注意使手機(jī)與水平面盡可能平行.

3)將視頻文件導(dǎo)入電腦，利用Tracker軟件追蹤視頻，分解拆幀，獲得位移-時(shí)間對應(yīng)關(guān)系，用數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行二次函數(shù)擬合求出物體的加速度，并進(jìn)行誤差分析.

以上實(shí)驗(yàn)內(nèi)容可作為基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)部分對學(xué)生進(jìn)行要求.

4)假設(shè)重力加速度為g，斜面傾角為θ，由于電池為滾動(dòng)，根據(jù)純滾動(dòng)時(shí)摩擦系數(shù)的條件，用實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)以上運(yùn)動(dòng)是否為純滾動(dòng)，并且解釋相關(guān)的現(xiàn)象.

此部分內(nèi)容可以作為提高實(shí)驗(yàn)部分對學(xué)生進(jìn)行要求.

5) 用2把尺子構(gòu)成1個(gè)對稱斜面，使斜面的底邊緊貼，在交界處用膠帶粘住，防止2個(gè)尺子位置發(fā)生變化，測量電池在這種斜面運(yùn)動(dòng)的加速度并分析運(yùn)動(dòng)特點(diǎn).

此部分內(nèi)容可作為進(jìn)階實(shí)驗(yàn)部分對學(xué)生進(jìn)行要求.

3 數(shù)據(jù)處理與分析

3.1 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)部分

本實(shí)驗(yàn)分別選取硬幣數(shù)n=3,5,7,9,10. 用前述的視頻追蹤法，讓電池從直尺的零刻度以初速度為0向下滾動(dòng)，拍攝視頻并用Tracker軟件拆幀，用二次函數(shù)擬合x-t關(guān)系.

圖3所示為n=3的擬合追蹤曲線，擬合函數(shù)為

x=0.072 67t2+0.028 57t+0.001 555，

由此可以得到此傾角下，電池運(yùn)動(dòng)的加速度a=0.145 3 m/s2.

5種不同斜面傾角下測量出的加速度如表1所示.

圖3 用Tracker軟件分析n=3的斜面運(yùn)動(dòng)截圖

表1 電池在5種不同傾角斜面運(yùn)動(dòng)的加速度

3.2 提高實(shí)驗(yàn)部分

若測量待測電池在純滾動(dòng)狀態(tài)下的加速度，設(shè)重力加速度為g，斜面傾角為θ， 斜面摩擦系數(shù)為μ，如果將電池視為實(shí)心均勻圓柱體，質(zhì)量為m，半徑為R，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(1)

以圓柱體圓心為參考點(diǎn)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有

fR=Jβ,

(2)

若物體做純滾動(dòng)，應(yīng)滿足：

ac=Rβ,

(3)

聯(lián)立上式可得

(4)

表1中給出了各種斜面傾角下滿足純滾動(dòng)條件的加速度的理論值ac，可以看出實(shí)驗(yàn)測得的加速度與理想純滾動(dòng)的加速度相差較大. 若要滿足純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在斜面上，由沿斜面與垂直斜面的受力分析有：

mgsinθ-f=mac

,

(5)

N=mgcosθ,

(6)

f=μN(yùn),

(7)

由此可得，滿足純滾動(dòng)條件的斜面最小摩擦系數(shù)應(yīng)滿足條件

(8)

如圖4所示，在電池做理想純滾動(dòng)時(shí)，其所受重力G的分力與運(yùn)動(dòng)方向一致，故受到向后的靜摩擦力，使柱體保持純滾動(dòng)狀態(tài). 但由于實(shí)驗(yàn)所用的電池內(nèi)部存在一定液體且質(zhì)量分布不均勻，電池存在一定的范性形變，因此只能近似當(dāng)作剛體. 另外，直尺表面的刻度凸起以及電池側(cè)壁的棱在與斜面接觸時(shí)均會增加運(yùn)動(dòng)中的摩擦，故支持力與摩擦力的合力與重力形成1對力偶，柱體角加速度減小，產(chǎn)生了使質(zhì)心加速度減小的滑動(dòng)摩擦力，其中

f=μmgcosθ,

(9)

(10)

圖4 純滾動(dòng)靜摩擦力的方向

由以上分析可知，增加斜面粗糙度或減小斜面傾角，均為獲得純滾動(dòng)的方式. 為了檢驗(yàn)粗糙度對加速度的影響，選擇10枚硬幣的情況，在相同斜面傾角下改變斜面材質(zhì)，即換用普通筆盒，將這2種粗糙斜面進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示.

表2 2組實(shí)驗(yàn)中θ，a，μ的大小比較

可以看出粗糙表面上，柱體勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度更小，這符合通常認(rèn)知，也證實(shí)了摩擦力對此系統(tǒng)中柱體勻加速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了影響.

3.3 進(jìn)階實(shí)驗(yàn)部分

歷史上，伽利略曾經(jīng)通過理想斜面實(shí)驗(yàn)和科學(xué)推理，得出了“力不是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因”的重要結(jié)論. 本文仍然利用直尺和硬幣，構(gòu)造與著名實(shí)驗(yàn)類似的對稱斜面，使斜面的底邊緊貼，如圖5所示，測量了圓柱形物體在該斜面運(yùn)動(dòng)的加速度，其中2個(gè)斜面均由5枚硬幣疊成，其傾角為θ=3.477°.

圖5 構(gòu)造對稱斜面

從一端釋放柱體，使用Tracker軟件對全運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行追蹤，得到如圖6所示圖像.

圖6 對稱斜面上柱體運(yùn)動(dòng)的x-t截圖

從追蹤的x-t圖像軌跡可以看出，圓柱體在2個(gè)斜面上表現(xiàn)出加速度不斷往復(fù)變化的運(yùn)動(dòng)，在每個(gè)斜面上到達(dá)的最大高度H減小. 嘗試對每個(gè)斜面上運(yùn)動(dòng)軌跡的二次函數(shù)進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)上行(↑)或下行(↓)運(yùn)動(dòng)都可以很好地進(jìn)行擬合，說明物體均在做勻變速運(yùn)動(dòng)，由此得到了每個(gè)斜面上的加速度(共選取6段)，如表3所示.

表3 對稱斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度、最大高度及能量損失

由表3中可以看出，不論待測物是下行還是上行，加速度均小于理想的純滾動(dòng)加速度，這與前面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合，表明運(yùn)動(dòng)中存在滑動(dòng)摩擦力，使物體做連滾帶滑的運(yùn)動(dòng). 擬合結(jié)果表明圓柱體上行加速度比下行時(shí)大，這是由于沿斜面向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力方向與加速度方向相反，而沿斜面向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力方向與加速度方向相同所致. 而由電池在往復(fù)運(yùn)動(dòng)過程中達(dá)到最大高度得到的能量變化(η)可以看出，由于摩擦力和空氣阻力的存在，電池上升的最大高度小于靜止釋放的高度，動(dòng)能在不斷減小，能量損失率大致為30%，直至最后停止運(yùn)動(dòng).

4 線上教學(xué)效果

力學(xué)實(shí)驗(yàn)是居家環(huán)境下最容易實(shí)現(xiàn)的一類實(shí)驗(yàn)，所以在疫情期間，選取本實(shí)驗(yàn)的學(xué)生人數(shù)最多. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在沒有氣墊導(dǎo)軌、打點(diǎn)計(jì)時(shí)器等實(shí)驗(yàn)儀器的情況下，也能利用手邊的器材順利地測量出加速度時(shí)，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 通過線上討論、視頻答疑等形式進(jìn)行交流，有700多名學(xué)生充分利用居家器材，不僅完成了各階難度不同的實(shí)驗(yàn)，還鍛煉了動(dòng)手能力，并激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造力，也讓學(xué)生學(xué)會使用視頻追蹤軟件以及Origin、Matlab等數(shù)據(jù)處理軟件，激發(fā)了學(xué)生對居家實(shí)驗(yàn)的興趣.

5 結(jié)束語

本實(shí)驗(yàn)介紹了在居家環(huán)境下利用簡單的器材，結(jié)合手機(jī)和視頻追蹤軟件測量物體勻變速運(yùn)動(dòng)的加速度的方法，研究了純滾動(dòng)發(fā)生的條件，通過構(gòu)造對稱斜面，研究了運(yùn)動(dòng)中加速度變化的特點(diǎn)及能量損失情況. 實(shí)驗(yàn)中的誤差主要來源于以下方面：電池為非完全剛體，電池被釋放的初速度不完全為0，由于電池重力引起的尺面微小彎曲，拍攝視頻時(shí)手機(jī)未能完全平行于運(yùn)動(dòng)平面，軟件定標(biāo)的誤差，等等. 利用視頻追蹤法進(jìn)行居家實(shí)驗(yàn)，具有可操作性和趣味性，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力.