基于數(shù)字鎖相放大器的電阻噪聲特性研究

鄭 遠，姚星星，郭紅麗，鮑德松，王業(yè)伍

(浙江大學 物理學系 物理實驗教學中心，浙江 杭州 310025)

鎖相放大技術是利用參考信號檢測和恢復微弱信號幅值和相位的精密測量技術，在近代物理研究中已普遍應用. 鎖相放大器能將微弱待測電信號從極端強烈的背景噪聲中提取、放大并測量，是微弱信號檢測與恢復的重要儀器，按電路特點分為數(shù)字和模擬2種類型. 因數(shù)字型直流輸出幾乎無漂移且具有更精確、更穩(wěn)定的參考信號以及更大的頻率范圍和動態(tài)儲備而被廣泛使用. 本文采用Stanford Research Systems公司的產品SR830是使用最廣泛的數(shù)字鎖相放大器. 在物理實驗教學中，為學生講授鎖相放大器的工作原理，對于學生掌握鎖相放大器的使用方法具有重要作用. 國內外實驗教學團隊為此做了積極嘗試，例如：設計電阻測量實驗[1]，從頻域角度分析鎖相放大技術[2]，軟件編程或軟硬件結合的方式實現(xiàn)鎖相放大功能[3-4]，從噪聲測量、儀器性能等角度設計綜合型教學實驗[5-10]，等等. 本文設計了探究電阻熱噪聲和閃爍噪聲特性的測量實驗，分析了散彈噪聲的信噪比特點. 通過控制變量法，探究了時間常量、陡降以及動態(tài)儲備參量對鎖相放大器電阻噪聲測量的影響，使學生掌握參量測量和優(yōu)化的方法.

1 實驗原理與方法

1.1 鎖相放大器的基本原理

鎖相放大器運用的放大技術是利用固定頻率參考信號對待測信號進行相干檢測的電學測量技術，其關鍵是實現(xiàn)2種信號乘法運算的相敏檢波技術(Phase sensitive detection， PSD). 圖1展示了鎖相放大器SR830的結構框圖，其中除PSD模塊以外，還有寬帶相移器、低通濾波器、參量換算模塊以及直流增益等[11]. 輸出包括信號幅值R，相位θ以及θ的余弦和正弦分量(X和Y).

輸入信號Vin通常包含待測信號噪聲，考慮待測信號為確定頻率fs的三角函數(shù)型信號，則有：

圖1 鎖相放大器SR830結構框圖

Vin(t)=Ainsin (ωst+φs)+Bin(t) ，

(1)

其中,等號右側第1項為待測信號，Ain為電壓幅值，ωs=2πfs為角頻率，φs為待測信號相位，Bin為噪聲幅值，t為時間. 式(1)為時域表達式，經傅里葉變換，頻域中表示為

(2)

其中，ω=2πf為角頻率，i為虛數(shù)單位. 在相敏檢波技術中，參考信號一般取三角函數(shù)型周期信號，其頻率與待測信號一致，表示為

(3)

相應的頻域表達式為

(4)

其中，Vr1為原參考信號，φr為可調相移器的調控相位，Vr2為經過90°相移器后的參考信號. 當輸入信號和參考信號進入PSD模塊后，輸出信號如下：

(5)

根據(jù)傅里葉變換的特點，時域相乘運算在頻域對應為以頻率df為積分微元的卷積. 因此，相應頻域表達式為

(6)

其中系數(shù)分別為

a1=πAinArsin (φs-φr),

a2=πAinArcos (φs-φr),

在理想情況下，低通濾波器響應函數(shù)表達式為

(7)

其中，ωc對應濾波帶寬，是非常小的值，通常滿足ωc?ωs，使信號中僅有接近直流的分量可以通過濾波器.

式(6)與式(7)相乘便得到濾波后信號的頻域形式，即

(8)

(9)

通過縮小低通濾波器帶寬,或者增大采樣頻率，可以提高式(9)比值，其中縮小低通濾波器帶寬是提升輸出信號信噪比的關鍵. 考慮ωc→0，式(8)經傅里葉逆變換得到時域信號時可忽略噪聲項，得到圖1所示的X和Y輸出為

(10)

其中，Aamp為直流增益系數(shù). 式(10)可換算得到信號幅值R和相位θ的表達式為

(11)

通過上述參考信號、PSD模塊以及低通濾波器的處理，混合在噪聲中的待測信號的幅值和相位都被還原出來，這便是鎖相放大技術原理. 其中低通濾波器的參量調節(jié)是使用鎖相放大器的重點，在下文實驗中會繼續(xù)討論.

1.2 基于LabVIEW的數(shù)據(jù)采集

噪聲分析需要快速實時測量并記錄一段時間內的數(shù)據(jù)，實驗采用計算機通過GPIB線連接與SR830通訊并且自動采集數(shù)據(jù)，采集軟件為LabVIEW. 儀器控制的流程圖如圖2(a)所示，主要包括參量初始化、循環(huán)測量與作圖以及數(shù)據(jù)保存3部分. 參量初始化包括輸入端初始化(輸入模式、耦合模式、接地模式、陷波濾波器)，參考信號初始化(參考信號來源、內部源幅值和頻率)，靈敏度初始化(滿標靈敏度和動態(tài)儲備)以及低通濾波器初始化(時間常量、陡降、同步濾波)；循環(huán)測量主要是針對X，Y,R，θ，t進行，根據(jù)測量值做X-t，Y-t，R-t，θ-t曲線圖；保存測量數(shù)據(jù)和曲線圖. LabVIEW的操作界面如圖2(b)所示，少部分參量在后臺設定.

測得的數(shù)據(jù)包含X，Y，R，θ和時間t，在分析數(shù)據(jù)噪聲水平時選總時長t0=200 s的R數(shù)據(jù)，噪聲評估指標為

(12)

(a)流程圖

(b)LabVIEW的操作界面圖2 數(shù)據(jù)測量采集流程和界面圖

測量電路示意圖如圖3所示，將封閉金屬盒內的自制可調色環(huán)電阻兩端直接連入SR830的A和B輸入端口，在無源情況下測量由電阻引起的電壓漲落，采用內部參考信號，以差分形式測量采集數(shù)據(jù). 下文電阻兩端電噪聲都采用圖3所示電路，并通過式(12)計算.

圖3 測量電路示意圖

2 電阻噪聲特性的測量

2.1 熱噪聲

熱噪聲普遍存在于各種電子電路系統(tǒng)中，任意負載兩端的電勢差都包含著熱噪聲引起的漲落，表現(xiàn)為電壓隨時間的起伏波動. 1928年，J. B. Johnson在貝爾實驗室發(fā)現(xiàn)該噪聲[12]，Nyquist證明了熱噪聲的功率譜密度函數(shù). 按照其規(guī)律，電阻引起的熱噪聲的電壓水平滿足

(13)

其中，k為玻爾茲曼常量，T是電阻的絕對溫度，R0是電阻，B是帶寬. 相應的功率譜密度為

pt(f)=4kTR0，

(14)

可見熱噪聲與頻率無關，但隨著電阻R0減小而減小. 當待測熱噪聲低于一定水平，SR830的本底噪聲將影響電壓信號并起主導作用. 通常認為在固定的頻率和溫度下本底噪聲的電壓水平是與待測電阻R0無關的常量，記為V0. 根據(jù)不相干噪聲疊加的特點，實測噪聲的總電壓水平表示為

(15)

本實驗在室溫20 ℃下采用1 037 Hz的內部頻率進行測量，時間常量設為300 ms，陡降為12 dB/Oct，動態(tài)儲備為Low Noise模式，選取不同大小電阻，測量結果如圖4所示. 圖4中曲線采用式(15)擬合，玻爾茲曼常量k取1.38×10-23J/K，帶寬B為0.416 Hz，得到擬合本底噪聲電壓水平V0為(2.7 ± 1.7) nV.

圖4 噪聲電壓水平與電阻關系

圖4中的擬合曲線與測量數(shù)據(jù)較好地吻合，驗證了電阻熱噪聲隨電阻變化的規(guī)律，當待測電阻低于1 kΩ時，其電壓噪聲處于低水平，主要為SR830的本底噪聲.

2.2 閃爍噪聲

在低頻部分，廣泛存在著隨頻率降低而增大的噪聲. 這部分噪聲被稱為閃爍噪聲，其功率譜密度通常具有以下形式：

(16)

其中，a取值范圍一般在0.8～1.4[13-14]，最常見的是a=1的情況，被稱為1/f噪聲. 引起1/f噪聲的物理機制有很多種，包括接觸問題、缺陷問題和電阻類型等. 盡管1/f噪聲起源存在差異，但都具有相似的規(guī)律，即隨著頻率減小，噪聲功率譜密度近似反比例增大. 在電阻熱噪聲實驗中，電阻與溫度確定，當頻率較大時，主要表現(xiàn)為熱噪聲和本底噪聲，當頻率較小時，1/f噪聲逐漸占據(jù)主導，式(15)中噪聲的電壓水平可進一步表示為

(17)

為避免干擾，忽略其他特定頻率的噪聲，實驗中通過不同的內部參考信號頻率對1 kΩ電阻進行噪聲測量，其他參量與熱噪聲實驗相同，得到數(shù)據(jù)點如圖5所示. 采用式(17)進行擬合，曲線與數(shù)據(jù)較為吻合，反映出1/f噪聲的特點，得到功率譜密度p為(1.69 ± 0.27)×10-14V2/Hz，參量a取值為1.35 ± 0.13，總熱噪聲與本底噪聲為(3.5 ± 2.4) nV. 從圖5可看出，當頻率大于100 Hz時，熱噪聲與本底噪聲占據(jù)主導；當頻率小于100 Hz時，1/f噪聲占據(jù)主導.

圖5 噪聲電壓水平與頻率關系圖

2.3 散彈噪聲

散彈噪聲與電流聯(lián)系緊密相關，如在真空或半導體二極管中隨機漂移的載流子數(shù)會隨著總電流大小變化而出現(xiàn)不同程度的漲落. 理論上，每秒流過的平均載流子數(shù)與電流大小成正比. 與此同時，在任一時間間隔，實際載流子數(shù)又會在平均值周圍漲落，這個漲落量就是散彈噪聲[15]. 散彈噪聲與熱噪聲都與頻率無關，屬于白噪聲，其功率譜密度函數(shù)為

ps(f)=2eI0，

(18)

其中，e為電子元電荷量，取值為1.6×10-19C；I0為平均電流. 以平均電流I0對應待測信號，計算源自散彈噪聲的信噪比為

(19)

參照式(19)做出20 lgRSNRs-I0的理論曲線圖如圖6所示，其中帶寬B取0.416 Hz.

由圖6可看出，散彈噪聲對應的信噪比整體水平較高，在1 nA的平均電流下，信噪比接近100 dB，隨著平均電流增大，散彈噪聲的影響逐漸減弱，信噪比逐漸提升. 由于受動態(tài)儲備和滿刻度靈敏度的限制[11]及其他噪聲的干擾，當信噪比偏大時，SR830容易出現(xiàn)過載現(xiàn)象，信噪比偏小時，其他噪聲水平可能高于散彈噪聲而占主導. SR830僅能在中間區(qū)間的電流范圍有效測定散彈噪聲，適當調整時間常量和陡降參量可以增大等效帶寬B，提高測量效果.

圖6 散彈噪聲信噪比與電流關系

3 鎖相放大器的參量調節(jié)實驗

3.1 時間常量

時間常量是鎖相放大器中低通濾波器的參量之一，主要作用是改變?yōu)V波器帶寬，從而實現(xiàn)對一定頻率范圍的信號進行測量. SR830采用了如圖7所示的RC電路來實現(xiàn)濾波效果，根據(jù)交流電路基爾霍夫第一定律，濾波器的輸入輸出電壓之間滿足下列關系

(20)

其中，Rc為電阻，C為濾波電容，H(ω)為RC電路濾波響應函數(shù)，其時間常量為τ=RcC.

圖7 RC電路

(21)

因此，當選擇合適參量使本底噪聲和1/f噪聲可被忽略時，將式(21)代入式(13)，可得電阻熱噪聲在不同的時間常量下滿足

(22)

圖8 不同時間常量的響應

選擇1 kΩ的電阻在1 037 Hz的內部頻率下進行測量. 圖9的散點展示了不同時間常量下電阻熱噪聲的測量結果，經過線性擬合得到斜率為-0.490 ± 0.020 Hz，與式(22)較好地吻合，驗證了時間常量對抑制噪聲的規(guī)律滿足V∝τ-0.5.

圖9 低通濾波器與時間常量的線性擬合

需要注意的是，當時間常量很小時，響應函數(shù)的通過帶寬會很大，有可能將低頻段的1/f噪聲通過，無法滿足白噪聲前提，不能由式(21)計算等效帶寬，從而使測量結果偏離式(22)的規(guī)律.

3.2 陡降

陡降(Roll-off,RO)是反映低通濾波器邊緣變化趨勢的參量，值越大邊緣越陡峭，與時間常量相配合，是一種改變?yōu)V波器帶寬的方式. SR830中采用多階相同RC電路串聯(lián)實現(xiàn)對陡降的調節(jié)，最高達4階RC濾波，其簡化電路如圖10所示，每一階濾波器都由單倍放大器隔離而獨立濾波，因此響應函數(shù)如表1所示. 若以對數(shù)坐標下的斜率表示陡降，單位為dB/Oct，則表達式為

(23)

圖10 多階RC串聯(lián)簡化電路

圖11(a)展示了4種陡降情況下響應函數(shù)的濾波幅值隨頻率的變化趨勢，當頻率小于τ-1時，濾波幅值幾乎為0，低頻信號通過時幾乎不變. 階數(shù)越高，陡降值越大，通過帶寬越窄. 采用前文的積分可得到4種濾波器的白噪聲等效帶寬，如表1所示. 對于穩(wěn)定的待測信號，采用提升陡降的方式減小濾波器帶寬，相比增加時間常量具有用時短的優(yōu)勢. 對于變化的信號，不同階數(shù)的濾波器響應時間隨著階數(shù)增加而增大. 每一階RC電路都滿足

(24)

其中，iR為經過電阻Rc的電流. 對于由0突變到1的階躍電壓信號，由式(24)遞歸計算，可得到每階濾波器的電壓響應幅值Vout隨時間變化的趨勢，曲線如圖11(b)所示. 根據(jù)式(24)，不同階數(shù)濾波器的陡降值如表1所示. 響應幅值達到99%的階躍響應時間tn如表1所示. 當信號受到擾動時，需要等待相應時間以獲得準確的測量結果. 如果信號的變化比響應時間短，導致濾波響應不及時，將無法測得準確的信號變化.

(a) (b)圖11 信號幅值變化

表1 多階低通濾波器參量

實驗中，在1 037 Hz內部參考信號頻率下對1 kΩ電阻進行測量，時間常量選為300 ms，動態(tài)儲備為Low Noise，采用4種不同的陡降參量，以驗證表1中列出的等效帶寬Bw，測量結果如圖12中黑點所示. 為了便于對比，將測量結果除以對應階數(shù)濾波器的等效帶寬，得到電壓噪聲譜密度結果如圖12中紅方塊所示.

圖12 噪聲電壓水平與陡降關系

從圖中可看出，電壓噪聲譜密度基本在同一水平，驗證了陡降對噪聲的抑制規(guī)律. 需要注意的是，當陡降為24 dB/Oct時，計算得到的電壓噪聲譜密度偏大，有可能是總體噪聲低時本底噪聲混入導致.

3.3 動態(tài)儲備

動態(tài)儲備(Dynamic restoration,DR)，單位為dB，是評定鎖相放大器性能的重要參量，反映出儀器測量時的容錯能力，儀器的動態(tài)儲備越大，則從越劇烈的噪聲中提取信號的能力越強. 其定義式為[6,13]

(25)

其中，VOVL為過載電壓，表示輸入信號進入任一處時造成過載或者臨界過載所對應的輸入電壓.VFS為滿刻度靈敏度. SR830設定了3擋動態(tài)儲備模式，由小到大分別是Low noise,Normal和High reserve. 為了綜合調節(jié)動態(tài)儲備，SR830在前置放大、低通濾波和直流放大模塊設定了3處過載電壓提示和3個增益A1，A2，A3. 滿刻度靈敏度由SR830前面板Sensitivity直接顯示，由下式計算

(26)

其中，Vmax為輸出的最大電壓，SR830為定值10 V;A1為前置放大器的增益;A2為低通濾波器的增益，由時間常量和陡降確定;A3為直流放大模塊增益. SR830通過改變A3可直接調節(jié)滿刻度靈敏度. 在低通濾波器參量確定的前提下，保持A1和A3不變，則滿刻度靈敏度不變；適當減小A1并同比例增大A3可以增大VOVL，從而增大動態(tài)儲備，這是切換3擋動態(tài)儲備模式的調節(jié)方法. 保持滿刻度靈敏度不變，在Low noise模式下，A1取最大值，在前置放大階段對信號放大幅度最大，適合弱背景噪聲的測量；而在High reserve模式下，A1取最小值，前置放大階段對信號放大幅度小，通過增大直流放大增益A3補償信號放大，適合強背景噪聲的測量.

在實驗中，為了測量動態(tài)儲備對噪聲的影響，同樣在1 037 Hz內部參考信號頻率下進行1 kΩ電阻電壓噪聲測量，時間常量選300 ms，陡降為12 dB/Oct. 調節(jié)動態(tài)儲備DR值的方法有2種：一種是在Low noise,Normal和High Reserve 3擋中進行切換，另一種是僅改變滿刻度靈敏度[11]. 圖13中，同種顏色的不同數(shù)據(jù)點是通過調節(jié)滿刻度靈敏度改變DR值. 可以看出，在同一擋動態(tài)儲備下電壓噪聲基本不隨滿刻度靈敏度改變而明顯變化；隨著動態(tài)儲備從Low noise到Normal再到High reserve，噪聲水平顯著提升. 在實際測量中，選用High reserve擋，可以在更強的背景噪聲下測量而不過載，測量結果也會具有更大的噪聲；而選Low noise擋，則在低背景噪聲信號測量中精度更高.

圖13 電壓噪聲與動態(tài)儲備關系

4 結束語

本文設計了基于電阻噪聲特性測量的數(shù)字鎖相放大器實驗，該實驗可以幫助學生學習和掌握數(shù)字鎖相放大器技術. 介紹了實驗電路和基于LabVIEW的數(shù)據(jù)通信和數(shù)據(jù)采集流程方法，通過對電阻熱噪聲、閃爍噪聲的測量驗證了2種噪聲的規(guī)律，通過信噪比分析進一步闡述了散彈噪聲的特點，加深了學生對電噪聲的理解和對鎖相放大技術的認識. 通過實驗探究時間常量、陡降和動態(tài)儲備對電阻噪聲的影響，加強學生對鎖相放大器主要性能的理解，使學生掌握了優(yōu)化測量參量的方法.