基于奇異譜分析和改進(jìn)螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)

徐 廈， 李水艷

（河海大學(xué)理學(xué)院，南京 211100）

伴隨城市化與工業(yè)化進(jìn)程，有關(guān)空氣質(zhì)量問(wèn)題愈加受到關(guān)注，對(duì)于空氣質(zhì)量時(shí)間序列問(wèn)題的預(yù)測(cè)模型，國(guó)外，Boznar［1］對(duì)空氣質(zhì)量用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)；Kolehmainen等［2］對(duì)比多種模型，使用MLP模型來(lái)預(yù)測(cè)NO2效果最優(yōu)，還有利用大量空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)的天氣研究與預(yù)報(bào)（WRF）模型［3］；Patricio等［4］使用線性回歸模型和多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)智利某地空氣質(zhì)量預(yù)測(cè)；Perez等［5］通過(guò)線性算法與聚類算法，再結(jié)合多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)PM2.5的濃度水平；Dong等［6］利用隱半馬爾可夫模型（HSMMs）來(lái)預(yù)測(cè)芝加哥的空氣質(zhì)量水平；Dimitris 等［7］采用PCA與線性回歸和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合對(duì)希臘和芬蘭的城市空氣質(zhì)量預(yù)測(cè)；Opera等［8］利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)某地的PM2.5預(yù)測(cè)；Giuseppe等［9］對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不足進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)所得誤差代價(jià)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果. 國(guó)內(nèi)，則有王娟等［10］等通過(guò)短期預(yù)測(cè)模型GM（1，1）模型對(duì)高密空氣濃度進(jìn)行預(yù)測(cè)；謝永華等［11］采用SVM和HSMM方法對(duì)城市PM2.5濃度分析；袁章帥等［12］利用ARMA（1，2）模型預(yù)測(cè)北京市空氣質(zhì)量，為改善空氣質(zhì)量提出建議；彭斯俊等［13］分別用灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型結(jié)合差分自回歸移動(dòng)平均（ARIMA）模型對(duì)空氣濃度進(jìn)行預(yù)測(cè)；Lv等［14］采用非線性回歸模型對(duì)內(nèi)地三個(gè)城市的PM2.5等空氣質(zhì)量進(jìn)行預(yù)測(cè).

空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)由于受到季節(jié)變動(dòng)和周期等影響，因而具有波動(dòng)性. 針對(duì)這些問(wèn)題，本文利用基于奇異譜分析對(duì)空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)去噪，再通過(guò)非慣性權(quán)重和變步長(zhǎng)來(lái)改進(jìn)螢火蟲算法，優(yōu)化BP網(wǎng)絡(luò)來(lái)建立混合預(yù)測(cè)模型.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 奇異譜分析

奇異譜分析（SSA）是分解原始序列包含的信號(hào)與噪聲，用前幾個(gè)特征值對(duì)應(yīng)分量重構(gòu)出新的序列來(lái)作為預(yù)測(cè)模型的輸入序列.

步驟1：嵌入. 給定一維時(shí)間序列X=(x1,x2,…,xN)，選擇一合適的嵌入維數(shù)即窗口長(zhǎng)度L(2 ≤L≤N2)，且K=N-L+1，按照下列方式構(gòu)造軌跡矩陣：

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為輸入層、隱藏層以及輸出層［16-18］. 因隱藏層節(jié)點(diǎn)的確定對(duì)網(wǎng)絡(luò)有影響［19］，文中通過(guò)一般最佳隱含層節(jié)點(diǎn)的確定方法［20］，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)后，采取節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為15的隱藏層BP結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為60-15-1，結(jié)構(gòu)見圖1.

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 BP neural network structure

1.3 標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法

螢火蟲算法（FA）依據(jù)亮度大螢火蟲吸引亮度小螢火蟲來(lái)尋優(yōu)，實(shí)現(xiàn)位置不斷迭代［21-22］，過(guò)程如下.

1）初始化參數(shù)，如迭代次數(shù)和螢火蟲位置等.

2）得到螢火蟲的吸引度β和相對(duì)熒光度I，公式如下：

其中：β0為r=0 時(shí)吸引值；I0為最大螢光亮度；γ為光吸收系數(shù)；rij為螢火蟲i與j之間的距離.

3）更新螢火蟲位置，螢火蟲i被螢火蟲j吸引位置的更新如下，式中xi，xj為螢火蟲i與j所處位置，α∈[0,1]為步長(zhǎng)因子.

4）由更新后位置來(lái)計(jì)算螢火蟲的亮度.

5）滿足條件即得到全局的極值點(diǎn)，否則轉(zhuǎn)2）步再次運(yùn)行.

1.4 改進(jìn)螢火蟲算法

由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有收斂速度緩慢［23］等不足. 本節(jié)通過(guò)將變步長(zhǎng)和非線性權(quán)值結(jié)合得到的改進(jìn)螢火蟲算法（AWFA）來(lái)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)權(quán)重等參數(shù)［24］，再次代入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)，達(dá)到彌補(bǔ)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的缺點(diǎn)的目標(biāo)，并且兼具兩者的優(yōu)點(diǎn)，從而具有更優(yōu)的準(zhǔn)確度和收斂速度.

1.4.1 變步長(zhǎng) 在FA算法中，對(duì)環(huán)境中一切螢火蟲個(gè)體采用同一個(gè)固定的步長(zhǎng)，存在求解精度與求解速度不高等缺陷. 因而，要采用變步長(zhǎng)［25］的方法，即為每個(gè)螢火蟲個(gè)性化地設(shè)置步長(zhǎng)參數(shù)，能提高螢火蟲優(yōu)化算法的搜索能力和性能. 該算法（AFA）的改進(jìn)思想為：在算法迭代期間，每進(jìn)行一次就為每個(gè)螢火蟲個(gè)體動(dòng)態(tài)設(shè)置一個(gè)步長(zhǎng). 設(shè)置的考慮因素為每個(gè)螢火蟲直到目前搜索到的最優(yōu)位置和搜索到目前為止的全局最優(yōu)位置. 具體的步長(zhǎng)設(shè)置公式為

1.4.2 非線性慣性權(quán)重 為改善FA算法的收斂精度與在全局最優(yōu)解附近產(chǎn)生震蕩的不足，采用慣性權(quán)重w，位置迭代公式如下：

w值大會(huì)對(duì)全局搜索能力產(chǎn)生影響，w較小則影響公式的局部搜索能力［26］. 為了提高全局搜索能力，文獻(xiàn)［27］采用tanh 函數(shù)作為構(gòu)造非線性慣性權(quán)重的基函數(shù)，函數(shù)公式為

本文選擇a=5 來(lái)進(jìn)行對(duì)w構(gòu)造得到的算法（WFA），w則將定義為

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)；wmax，wmin分別為w的最大值與最小值.

1.5 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

1.5.1 測(cè)試函數(shù) 為了驗(yàn)證算法的性能，本節(jié)選取兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)改進(jìn)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，測(cè)試函數(shù)如下：

1）Sphere：?jiǎn)畏宥魏瘮?shù)

2）Rastrigin：有大量局部極值點(diǎn)的多峰函數(shù)

1.5.2 仿真結(jié)果與分析 本節(jié)采用改進(jìn)螢火蟲算法AFA、WFA、AWFA 以及遺傳算法GA，對(duì)兩個(gè)測(cè)試函數(shù)畫出尋優(yōu)曲線（圖2），由圖結(jié)果看出，對(duì)于測(cè)試函數(shù)Rastrigin和Sphere，AWFA算法可以通過(guò)更少的迭代次數(shù)更加逼近理論最優(yōu)值，因而AWFA算法的求解質(zhì)量具有一定優(yōu)勢(shì).

圖2 多種算法在測(cè)試函數(shù)f1（上）和f2（下）結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of the results of various algorithms in the test function f1（top）and f2（bottom）

2 預(yù)測(cè)模型建立

2.1 數(shù)據(jù)

本文選取北京某地空氣質(zhì)量2013年10月28日至2019年12月31日的日均PM2.5濃度數(shù)據(jù)見圖3.

圖3 原始序列Fig.3 Original sequence

2.2 奇異譜分析

在奇異譜分析中，窗口長(zhǎng)度的選取不宜超過(guò)時(shí)間序列的三分之一，本節(jié)選取窗口長(zhǎng)度為700來(lái)構(gòu)造軌跡矩陣，根據(jù)方差貢獻(xiàn)結(jié)果，選取前3個(gè)重構(gòu)后時(shí)間序列數(shù)據(jù)見圖4.

圖4 重構(gòu)序列（上）、方差貢獻(xiàn)（下）Fig.4 Reconstructed sequence（top）and variance contribution（bottom）

2.3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

本節(jié)采用平均絕對(duì)誤差MAE，均方根誤差RMSE和平均絕對(duì)百分比誤差MAPE作為評(píng)價(jià)指標(biāo)如下.

平均絕對(duì)誤差：

均方根誤差：

平均絕對(duì)百分比誤差：

式中：n為預(yù)測(cè)樣本數(shù)；Yˉ(t)為預(yù)測(cè)值；Y(t)為實(shí)際值.

2.4 預(yù)測(cè)效果評(píng)估

對(duì)去噪后數(shù)據(jù)用多種預(yù)測(cè)模型，幾種算法橫向比較見表1，其中SSA-AWFA-BP 在處理此數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)指標(biāo)效果更佳，性能更為優(yōu)越，從而驗(yàn)證了模型的合理性與有效性.

表1 基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)模型選擇Tab.1 Selection of prediction models based on time series data

3 結(jié)語(yǔ)

3.1 本文總結(jié)

奇異譜分析能夠有效改善時(shí)間序列數(shù)據(jù)中噪聲對(duì)模型的影響，并且提取數(shù)據(jù)中趨勢(shì)項(xiàng)和周期成分，與單一的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，去噪后預(yù)測(cè)精度更優(yōu). 再利用改進(jìn)FA算法來(lái)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，效果優(yōu)于文中使用的其他模型，該模型是有一定意義的且是可行的，具有一定的使用推廣價(jià)值.

3.2 展望

1）本文建立的混合模型對(duì)最大預(yù)測(cè)長(zhǎng)度以及改進(jìn)的螢火蟲優(yōu)化算法中的步長(zhǎng)和權(quán)重等參數(shù)、確定SSA方法的窗口嵌入以及重構(gòu)階次等確定最優(yōu)參數(shù)方面還需進(jìn)一步分析以提高去噪效果. 文中只選取了奇異譜分析去噪，可以比較其他去噪算法，從而進(jìn)一步改善預(yù)測(cè)效果. 可以結(jié)合概率選擇［28］和精英反向?qū)W習(xí)［29］等其他改進(jìn)螢火蟲的優(yōu)化算法.

2）為了改善預(yù)測(cè)精度，可考慮溫度與風(fēng)速等多種影響因素的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，往后還要進(jìn)一步研究多通道的SSA來(lái)應(yīng)用于時(shí)間序列.