農(nóng)業(yè)機械測量中誤差修正研究

山西省農(nóng)業(yè)機械發(fā)展中心 陳壯

1 概述

在農(nóng)業(yè)機械試驗鑒定中，風速儀是一種經(jīng)常用到的儀器。為了保證測量的準確性，儀器需要經(jīng)法制計量部門或法定授權(quán)組織檢定或校準，經(jīng)過校準的儀器需要再經(jīng)過實驗室人員確認，滿足檢測要求才可投入使用。風速儀的校準證書給出兩組數(shù)據(jù)，一組為標準值，一組為測量值，并沒有給出修正信息,且經(jīng)過計算儀器誤差大，影響了儀器測量的準確性，進而影響農(nóng)機鑒定結(jié)果的準確性，因此，面對這一問題，需要對校準結(jié)果進行修正，研究修正的方法及修正后的誤差關系，從而提高儀器測量精度，保證農(nóng)機鑒定結(jié)果的準確性。儀器設備經(jīng)檢定/校準結(jié)果產(chǎn)生的修正信息包括修正值、修正因子、修正曲線[1]。本文基于最小二乘法，利用工具MATLAB，擬合出修正曲線與誤差修正公式，并對擬合誤差和階數(shù)的關系進行理論研究，旨在為儀器校準結(jié)果修正提供計算方法，提高儀器測量精度，使農(nóng)機鑒定結(jié)果更加精確。

2 最小二乘法原理

最小二乘法是解決曲線擬合問題最常用的方法。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配[2-4]。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。它的基本思路是選擇估計量使模型輸出與實測輸出之差的平方和達到最小[5]。

有一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=0，1，2...，n），設多項式為f（x），令：

式中：f（x）為擬合函數(shù)，ak是待定系數(shù)，(k=0，1，2，...，m

式中a0.a1,a2...,ak為待求的未知數(shù)，k為多項式最高次冪，因此該問題轉(zhuǎn)化為求方程的極小值問題。polyfit函數(shù)是MATLAB中用于曲線擬合的一個函數(shù)，其數(shù)學基礎是最小二乘法曲線擬合原理，因此利用MATLAB可以解決這一問題。

3 實施應用及分析

3.1 風速計校準結(jié)果及分析

在農(nóng)業(yè)機械鑒定中風速是一個很重要的參數(shù)，大綱DG/T006-2019《微耕機》中，駕駛員耳位噪聲測試要求風速不大于5 m/s；大綱DG/T015-2019《玉米收獲機》耳位噪聲測試中要求，配置簡易駕駛室或無駕駛室機型測試時，離地表1.2m處的平均風速應不大于3m/s，如果風速測量不準會影響鑒定結(jié)果的準確性。根據(jù)F30J型智能熱球式風速計校準結(jié)果（校準證書編號：JZFB202000834）可得知表1數(shù)據(jù)：

表1 儀器校準結(jié)果

儀器校準結(jié)果的好壞通?？梢杂谜`差來表達。誤差可以用絕對誤差和相對誤差來表示：絕對誤差是測量結(jié)果與真值之差；相對誤差是絕對誤差和真值的百分比率[2]。當測定值大于真值時，誤差為正，表明測定結(jié)果偏高；反之，誤差為負，表明測定值偏低。

根據(jù)表2計算可得：絕對誤差最大值為8.72，平均值為5.25，標準差2.70；相對誤差最大值為63.1%，平均值為47.89%，標準差1.01%；均方根誤差5.92?？梢娬`差太大已經(jīng)影響了儀器的準確性，需要修正。設測量值為x，標準值為y，現(xiàn)需要擬合出x和y之間的函數(shù)關系，即誤差修正公式。

表2 儀器校準誤差

3.2 誤差修正

對于一個實際的曲線擬合問題，必先將實測值用平滑線散點圖描出，觀察其分布趨勢，再結(jié)合專業(yè)知識選取最接近的函數(shù)關系式來擬合；本文應用最小二乘法多項式擬合，利用MATLAB軟件可方便快捷找出對應關系，實現(xiàn)儀器的誤差修正，分析擬合階數(shù)對擬合誤差的影響。

誤差修正公式表示儀器的測量值x與標準值即實際值y之間的關系，隨著擬合階數(shù)的不同誤差修正公式也有不同的表現(xiàn)形式。MATLAB求修正公式核心語句為：p=polyfit(x,y,n)，階數(shù)n不同時擬合的校準曲線如公式所示：

當階數(shù)n=1時，誤差修正公式為：

當階數(shù)n=2時，誤差修正公式為：

當階數(shù)n=3時，誤差修正公式為：

當階數(shù)n=4時，誤差修正公式為：

誤差修正公式的應用：農(nóng)機試驗測量時，儀器的測量值即讀數(shù)為x，由于儀器有誤差，可代入修正公式求得y，即為這次測量的實際值。

從公式可知：階數(shù)越大，方程越復雜，計算也越復雜，但擬合后的效果還不明確，需進一步研究。

3.3 擬合誤差分析研究

為了更精確的檢驗與分析擬合誤差，定義擬合誤差度量為：

式中，f(xi)表示擬合函數(shù)，yi表示原函數(shù)（標準值），Rabs表示絕對誤差的最大值，Rabs1表示絕對誤差的平均值，Rabs2表示絕對誤差的標準差，Rrel表示相對誤差的最大值，Rrel1表示相對誤差的平均值，Rrel2表示相對誤差的標準差，Ravg表示均方根誤差。表3表示階數(shù)n不同時擬合后誤差的大小：

表3 擬合后誤差

從表3和圖1可知：（1）隨著階數(shù)n的遞增，Rabs、Rabs1、Rrel、Rrel1、Ravg都是逐漸減小的趨勢，說明擬合后的絕對誤差、相對誤差和均方根誤差均是在減小，因此修正后的值也越準確；（2）隨著階數(shù)n的遞增，曲線變得更加平緩，說明Rabs、Rabs1、Rrel、Rrel1、Ravg減小的幅度也在減小，因此階數(shù)越高誤差減小的越不明顯；（3）隨著階數(shù)n的遞增，Rabs2、Rrel2兩個標準差從圖上看是一條直線，從表中看是遞增的，但遞增的幅度非常小，可以忽略不計，認為他們是不變的，說明擬合后的數(shù)據(jù)偏離平均值的大小即離散程度是不變的，證明算法的穩(wěn)定性。

圖1 擬合誤差隨階數(shù)的變化

4 結(jié)論與建議

本文以最小二乘多項式擬合為基礎，針對農(nóng)業(yè)機械試驗鑒定中風速儀誤差過大的問題，進行曲線擬合，給出誤差修正方程，并對擬合階數(shù)和擬合誤差的關系進行研究，綜合本文內(nèi)容，得到以下結(jié)論：

（1）階數(shù)越高，曲線越平滑，擬合誤差越小，修正后儀器數(shù)據(jù)越準確。

（2）標準差與擬合階數(shù)沒有太大關系，無論低高次擬合數(shù)據(jù)的離散程度不變。

（3）階數(shù)越高，誤差減小的幅度越小，計算越復雜，越不利于現(xiàn)場換算，因此建議在滿足測量要求的前提下，盡量做低次擬合。