厚尾噪聲條件下星凸形擴展目標student’s t濾波器

陳 輝, 張星星, 楊文瑜

(1. 蘭州理工大學 電氣工程與信息工程學院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 中國民航大學 電子信息與自動化學院， 天津 300300)

傳統(tǒng)目標跟蹤算法主要以點目標(小目標)假設為前提,然而,由于高分辨率的現(xiàn)代傳感器出現(xiàn)以及對跟蹤近距離目標的需求,目標往往對應了傳感器的多個分辨單元,這表現(xiàn)為目標在每個采樣周期內產(chǎn)生多個量測,這樣的目標定義為擴展目標(extended target,ET),其對應的跟蹤問題稱為擴展目標跟蹤(ET tracking,ETT)[1-3].此時,簡單的將目標建模為點目標不再適用于現(xiàn)代目標跟蹤任務,目標在空間上的擴展應該表現(xiàn)為更為復雜的建模形式.ETT問題的提出具有非常重要的研究意義,尤其在近幾年吸引了國內外學者的廣泛關注.結合ET的多個量測源,通過最優(yōu)濾波估計能夠得到目標更為豐富的狀態(tài)信息.

實際上,對ET形狀估計的研究在近幾年已經(jīng)取得了許多引人矚目的成果[4-6].其中,絕大多數(shù)算法利用簡單幾何形狀(如橢圓、矩形等)來描述擴展目標的范圍.典型的代表有隨機矩陣模型(random matrix model,RMM)[7-8].然而這種方法僅能大致估計出目標的形狀,建模對象也具有局限性.所以,在RMM的基礎上,蘭劍等[9]提出的用多個子橢圓來逼近一個整體不規(guī)則形狀方法,利用多個子橢圓逼近非橢圓(不規(guī)則)擴展目標的形狀.另一種方法是隨機超曲面模型(random hypersurface model,RHM )[10-12].RHM靈活地利用傅里葉級數(shù)展開的方式對描述星凸形擴展目標的徑向函數(shù)進行了參數(shù)化,通過目標形狀邊界的縮放利用曲線擬合的思想估計目標形狀.這種方法對解決目標的識別、檢測以及跟蹤問題具有巨大的實際價值.

擴展目標的跟蹤研究通常在假設過程噪聲和量測噪聲都服從高斯分布的前提下進行.但是在實際跟蹤場景中,理想的高斯噪聲比較少見.相較而言,厚尾噪聲更接近于現(xiàn)實應用中有干擾的噪聲,如一旦接受量測信息的傳感器不靈敏或者傳感器在跟蹤敏捷目標的過程中遭受電磁干擾,量測噪聲中很容易出現(xiàn)野值從而表現(xiàn)出厚尾特性；或者當目標在雜波環(huán)境中有大幅度機動時,由于運動模型的不準確,過程噪聲中包含野值,產(chǎn)生厚尾過程噪聲.此時再用高斯假設下的濾波器會使得濾波精度大大下降.已有文獻進行了在厚尾噪聲假設下利用student’s t濾波器解決目標跟蹤問題的一系列研究[13-18],但僅僅限于點目標跟蹤,沒有考慮到ETT問題的求解.所以,思考一種在厚尾噪聲分布條件下,針對ET多個量測源穩(wěn)健地估計出目標的運動狀態(tài)和形狀輪廓的濾波算法,具有非常重要的研究意義.

本文針對厚尾過程噪聲和量測噪聲的環(huán)境下任意不規(guī)則形狀擴展目標的跟蹤問題,首先將厚尾過程噪聲和量測噪聲建模為student’s t分布,利用星凸形RHM對擴展目標的量測源進行建模,然后將RHM建模的空間量測分布模型與魯棒student’s t濾波算法相結合對RHM的非線性偽量測方程進行求解.最后,通過實驗仿真驗證了本文算法的正確性和有效性.

1 魯棒student’s t濾波器

將非線性離散隨機系統(tǒng)利用狀態(tài)空間模型建模為

(1)

其中:xk∈Rn表示k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量,n為系統(tǒng)狀態(tài)維度；zk∈Rm表示k時刻的量測向量,m為量測維度；fk-1(·)和hk(·)分別為非線性系統(tǒng)轉移函數(shù)和觀測函數(shù)；wk和vk分別為系統(tǒng)的過程噪聲和量測噪聲.

由圖1可以看出,與高斯分布相比student’s t分布具有厚尾特性,對野值有良好的包容度,由此student’s t分布[14]適用于對厚尾噪聲建模：

(2)

將系統(tǒng)的初始狀態(tài)向量x0建模為student’s t分布:

(3)

其中,假設x0、wk、vk互不相關.Student’s t分布和高斯分布比較圖如圖1所示.

圖1 高斯分布和student’s t分布Fig.1 Gaussian distribution and student’s t distribution

魯棒student’s t濾波器的主要思想是利用student’s t分布來逼近系統(tǒng)的后驗概率分布,即

(4)

根據(jù)文獻[16],利用student’s t分布逼近系統(tǒng)的后驗PDF必須滿足以下前提條件：

假設1：系統(tǒng)狀態(tài)和量測的聯(lián)合分布為student’s t分布：

(7)

根據(jù)式(5,6),其中的各個分量為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

假設2：系統(tǒng)當前狀態(tài)和系統(tǒng)預測狀態(tài)的聯(lián)合分布為student’s t分布:

(13)

其中:

(14)

根據(jù)貝葉斯濾波框架,系統(tǒng)的預測PDF為

(15)

很明顯,由于非線性函數(shù)fk-1(·)的存在,使得預測PDF不可能是student’s t分布,所以需要在假設1的基礎上將其近似為student’s t分布：

(16)

根據(jù)假設1可得參數(shù)為

同理,量測似然PDF也近似為student’s t分布：

(19)

根據(jù)假設2可得參數(shù)為

同理,將聯(lián)合PDFp(xk,zk|Zk-1)近似為student’s t分布可得：

(22)

最后,利用student’s t分布近似后驗分布,再根據(jù)貝葉斯理論可得：

(23)

其中：

nz表示系統(tǒng)的量測維度.式(16～28)構成了完整的魯棒student’s t濾波算法,很明顯在遞推過程中含有大量非線性student’s t的高維積分,其求解極為困難.

2 星凸形擴展目標student’s t濾波器

不同于點目標跟蹤,擴展目標跟蹤不僅要估計目標的運動狀態(tài),還要估計目標的擴展形狀.由此,在厚尾過程噪聲和量測噪聲的場景中,星凸形擴展目標student’s t濾波器首先利用星凸形RHM對目標量測源進行建模,進而估計出目標形狀.然后通過魯棒student’s t濾波器進行目標運動的估計,最后再結合三階球面-徑向容積規(guī)則[17]求解RHM的非線性偽量測方程(含非線性student’s t的高維積分).為了估計星凸形擴展目標的狀態(tài),建立如下系統(tǒng)的聯(lián)合估計模型.

1) 目標運動模型

擴展目標在k時刻的狀態(tài)表示為

xk+1=Fxk+wk,wk～st(wk;0,Qk,v1)

(29)

2) 目標量測模型

(30)

再結合徑向函數(shù)r(pk,φk),S(pk)可以參數(shù)化表示為

S(pk)=sk,l·r(pk,φk)·η(φ)+mk

(31)

其中:φk∈[0,2π];r(pk,φk)表示質心和目標邊界間的距離關于角度φk的函數(shù);方向向量為η(φk)=[cos(φk),sin(φk)]T.

徑向函數(shù)r(pk,φk)的有限階傅里葉級數(shù)展開為

(32)

其中形狀參數(shù)向量為

所以,徑向函數(shù)為

r(pk,φk)=R(φk)·pk

(35)

由此RHM星凸形擴展目標的量測源可以建模為

yk,l=sk,l·R(φk)·pk·η(φk)+mk

因為量測模型包括傳感器噪聲模型和量測源模型兩部分,即

zk=yk,l+vk

所以基于RHM的星凸形擴展目標的量測方程為

zk=sk,l·R(φk)·pk·η(φk)+mk+vk

(36)

h*(xk,vk,sk,l,zk)將狀態(tài)向量xk、收縮因子sk,l、量測zk和量測噪聲vk映射到偽量測0,則稱為偽量測方程.以上公式(29,37,38)構成了偽星凸形擴展目標跟蹤的狀態(tài)空間模型.在此基礎上,結合魯棒student’s t濾波器推導濾波算法.

(1) 預測部分

由于目標運動模型是線性的,在厚尾噪聲下,系統(tǒng)的一步預測PDF如式(16)所示,根據(jù)文獻[18]推導可得：

(2) 更新部分

結合以上推導得到的星凸形擴展目標的非線性RHM偽量測函數(shù)和式(20～28)所示魯棒student’s t濾波算法的更新步,再通過采用高濾波精度的三階球面-徑向容積規(guī)則近似求解過程中出現(xiàn)的非線性student’s t的高維積分,得到星凸形擴展目標student’s t濾波器的更新部分.具體步驟如下：

步驟1:基于標準student’s t分布密度積分準則確定容積采樣點ξi及其權值ωi為

(41)

其中:nx為系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù);ej為單位矩陣的第j列;容積點總數(shù)為2nx.

(42)

其中Sk|k-1由Pk|k-1進行Cholesky分解得到.

步驟3: 經(jīng)過RHM偽量測方程傳遞后的容積點：

(43)

步驟4: 由經(jīng)過偽量測方程傳遞后的容積點確定量測的預測均值、協(xié)方差為

在上述濾波算法中,由式(26)可以看出隨著濾波遞推,自由度參數(shù)會越來越大,使得系統(tǒng)的厚尾特性消失.為了保持系統(tǒng)厚尾特性的魯棒性,采用二階矩匹配的方法對后驗分布進行修正[18]：

(47)

在以上星凸形擴展目標student’s t濾波器算法的推導過程中,由于針對厚尾噪聲選擇高匹配度student’s t分布建模噪聲，再用魯棒student’s t濾波器進行系統(tǒng)濾波.理論上通過建模的穩(wěn)定性確保了算法的魯棒性.

3 仿真分析

本文引入一種擬Jaccard(quasi-Jaccard)距離[9]作為不規(guī)則擴展(群)目標形狀估計[19-20]評價指標,k時刻擴展目標的真實輪廓與估計輪廓間的擬Jaccard距離定義為

(48)

通過構造不同情況下不規(guī)則形狀擴展目標跟蹤的仿真場景,在過程噪聲和量測噪聲均具有厚尾特性的情況下,設置用經(jīng)典的UKF對星凸形擴展目標濾波作為對比算法,分別用本文所提出的student’s t濾波算法和對比算法跟蹤不同形狀的擴展目標、形狀漸變的擴展目標以及群目標,驗證所提算法對擴展目標跟蹤的有效性.目標運動模型選CV模型,仿真場景設置采樣周期T=1,k時刻目標的狀態(tài)轉移方程可由式(29)描述,其中

其中:過程噪聲標準差為σw=1.5 m/s2;nf為傅里葉級數(shù),取11;Inf為nf階單位矩陣;尺度因子設置為s～N(0.5,0.02).目標的初始運動狀態(tài)為x0=[5,10,10,5],自由度參數(shù)為v1=v2=v3=3.

厚尾過程噪聲和量測噪聲分別設置為

其中:R=rI2，r=100,95%的vk和wk來自于協(xié)方差為Q或R的高斯噪聲,只有5%的過程噪聲和5%的量測噪聲來自于協(xié)方差嚴重增加的高斯分布.

圖2和圖3分別是兩種算法對五角星目標的跟蹤效果圖和其對應的擬Jaccard距離,運動終止時刻tf=5 s,綠色的質心和輪廓為本文所提算法的估計結果，紅色的質心和輪廓為對比算法的估計結果.可以看出：

圖2 五角星目標跟蹤Fig.2 Pentagram target tracking

1) 隨著目標的運動,兩種算法都能較為準確地估計出當前時刻的目標質心位置,且估計質心基本重合.這表明兩種算法都能較為準確地估計出擴展目標的運動狀態(tài).

2) 由于目標的形狀先驗是未知的,兩種算法在初始時刻的目標輪廓估計較為粗略.但是,隨著濾波次數(shù)的遞推,到最終時刻只有星凸形student’s t濾波器能較為準確地估計出該五角星目標的輪廓,而另一種對比算法不能完整地估計出五角星目標的形狀輪廓.

圖3的擬Jaccard距離圖更進一步說明了本文

圖3 五角星目標跟蹤擬Jaccard距離

所提算法對目標形狀的估計確實比已有的算法精確.由此驗證了本文所提濾波器在厚尾噪聲下對不規(guī)則擴展目標的運動狀態(tài)和形狀都具有收斂性.

圖4和圖5為形狀突變的擴展目標跟蹤效果圖及其局部放大圖,運動終止時刻為tf=15 s,在第5個時刻目標形狀發(fā)生突變(前4個時刻目標形狀為十字架,后11個時刻目標形狀為五角星).由圖4可知,該濾波器能夠較為精確地跟蹤不規(guī)則擴展目標.圖5選取了目標形狀突變時刻和最終時刻的目標跟蹤局部放大圖.由圖5a可以看出,由于大量的先驗信息來自于突變前的目標,在突變剛發(fā)生時形狀估計效果很差.但是,由圖5b可知隨著突變后濾波次數(shù)的遞推,對突變后的形狀仍然能達到較為精確的估計.從而驗證了在厚尾噪聲的環(huán)境中,星凸形student’s t濾波器對形狀突變的擴展目標的不規(guī)則形狀和運動狀態(tài)具有收斂性.

圖4 形狀突變目標跟蹤Fig.4 Shape change target tracking

圖5 形狀突變目標跟蹤局部放大圖

圖6和圖7構造兩種不同算法下具有形狀突變的群目標跟蹤實驗,每個群目標由20個點目標構成.圖6為群目標跟蹤的形狀擬Jaccard距離,圖7是目標在發(fā)生形狀突變時刻和跟蹤的最終時刻的局部放大圖,從而比較對于群目標這兩種濾波器的跟蹤性能.很明顯,由圖7a可以看出,在剛發(fā)生突變后兩種算法的目標形狀估計都較差,但是隨著濾波次數(shù)的增加,到濾波的最終時刻如圖7b所示,星凸形student’s t濾波算法估計的藍色輪廓線與群目標的真實輪廓很接近，而對比算法估計的黑色輪廓線明顯不夠精確.由此可見,本文所提濾波器能夠較為精確地估計出群目標此時的形狀.

圖6 群目標跟蹤擬Jaccard距離Fig.6 Quasi-Jaccard distance statistics of the group target tracking

圖7 群目標跟蹤局部放大圖Fig.7 Partial enlarged detail of the group target tracking

對群目標跟蹤實驗,在同樣的厚尾噪聲設置下進行了100次蒙特卡羅仿真,得到了圖6所示的目標形狀擬Jaccard距離,注意到在t=21 s時兩種算法的擬Jaccard距離都驟然增加,這是由于此時群目標的形狀發(fā)生突變(由四邊形變?yōu)槭旨?引起的,但在之后的時刻隨著濾波次數(shù)的遞推再次穩(wěn)定.由擬Jaccard距離的比較可以明顯看出,在厚尾噪聲條件下相對于傳統(tǒng)的不敏卡爾曼濾波器解決星凸形擴展目標跟蹤,本文所提算法的準確性有明顯的提高.

綜合上述實驗,本文所提出的算法在厚尾過程噪聲和量測噪聲的情況下,對不規(guī)則擴展目標(包括形狀突變)的運動狀態(tài)和形狀估計都較為精確.同時對形狀突變的群擴展目標(與現(xiàn)實意義中的編隊飛行目標相似)也具有收斂性.

4 結論

本文針對非線性非高斯厚尾噪聲條件下的不規(guī)則形狀的擴展目標跟蹤問題,提出了基于隨機超曲面模型的星凸形擴展目標student’s t濾波算法.結合擴展目標形狀評價指標擬Jaccard距離,在雜波環(huán)境下分別對不同形狀的擴展(群)目標進行了估計狀態(tài),從而驗證了所提出方法的正確性和有效性.根據(jù)仿真結果可知,本文算法可以同時較為精確地估計厚尾噪聲下的擴展目標的運動狀態(tài)和形狀,并能較為準確地識別和跟蹤群目標形狀.將來的工作重點是進一步研究厚尾噪聲下基于RHM的星凸形擴展目標的收斂條件及其理論證明和厚尾噪聲下多擴展目標的跟蹤算法.