一種考慮主應(yīng)力空間的巖石非線性真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則

李修磊，陳 臣，凌天清

(1.重慶交通大學(xué) 河海學(xué)院，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

各種巖體工程中，巖石都會受到地應(yīng)力場的影響，巖體開挖時(shí)應(yīng)力場會重新分布，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)可能會導(dǎo)致巖石發(fā)生變形和破壞。強(qiáng)度準(zhǔn)則就是研究各種應(yīng)力場作用下巖石的強(qiáng)度及確定巖石破壞時(shí)的塑性區(qū)范圍，是巖石工程穩(wěn)定性評估和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。由于Mohr-Coulomb(M-C)、Griffith和Hoek-Brown(H-B)強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)式簡單且強(qiáng)度參數(shù)物理意義明確，在巖體工程理論和數(shù)值計(jì)算分析中廣泛應(yīng)用。其中，M-C準(zhǔn)則為線性準(zhǔn)則，無法反映巖石強(qiáng)度隨圍壓增加呈非線性增加的關(guān)系，因而只適用于低圍壓的情況[1]；雖然Griffith和H-B準(zhǔn)則更符合實(shí)際情況，但高圍壓下與試驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差較大[2-3]。為此，一些學(xué)者[4-6]改進(jìn)了M-C和H-B準(zhǔn)則，通過減去一個(gè)含圍壓的非線性項(xiàng)使其對三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合精度更高，但增加了參數(shù)數(shù)量及其確定的難度。上述強(qiáng)度準(zhǔn)則認(rèn)為巖石破壞強(qiáng)度只與大和小主應(yīng)力有關(guān)，均未考慮中間主應(yīng)力的影響，與真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)明顯不符。

大量真三軸試驗(yàn)結(jié)果證明，中主應(yīng)力對巖石強(qiáng)度有顯著影響[7-9]，一是以中、小主應(yīng)力相等為初始點(diǎn)，巖石的強(qiáng)度隨著中主應(yīng)力的增加先增加后減小，但始終高于常規(guī)三軸試驗(yàn)強(qiáng)度；二是巖石越致密堅(jiān)硬，中主應(yīng)力效應(yīng)越大。一些學(xué)者在大量試驗(yàn)和理論分析的基礎(chǔ)上，提出了多種巖石三維強(qiáng)度準(zhǔn)則，可歸納為兩類:1)依據(jù)強(qiáng)度理論和試驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建新的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)式，如由Misses強(qiáng)度理論推導(dǎo)的考慮靜水壓力的Drucker-Prager(D-P)強(qiáng)度準(zhǔn)則[10]；尤明慶[11]基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了指數(shù)形式的巖石真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則，但該準(zhǔn)則認(rèn)為巖石強(qiáng)度隨著中主應(yīng)力的增加始終是增大的，與真三軸試驗(yàn)結(jié)果明顯不符。2)基于常規(guī)三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則對拉壓過渡帶考慮中主應(yīng)力修正，如Mogi和俞茂宏分別將中主應(yīng)力引入M-C準(zhǔn)則中，構(gòu)建了Mogi經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則和統(tǒng)一強(qiáng)度準(zhǔn)則[12-13]，從不同的角度描述了巖石強(qiáng)度的多軸性；張強(qiáng)等[14]在指數(shù)型強(qiáng)度準(zhǔn)則[2]的基礎(chǔ)上，引入羅德過渡函數(shù)導(dǎo)出了巖石三維強(qiáng)度準(zhǔn)則；目前主要集中于H-B準(zhǔn)則三維化的研究，國內(nèi)外學(xué)者已提出了多種三維化H-B準(zhǔn)則，如Priest等[15-19]的研究。這些三維化的H-B強(qiáng)度準(zhǔn)則有效地推進(jìn)了強(qiáng)度理論的發(fā)展，但仍未擺脫H-B準(zhǔn)則的初始缺點(diǎn)，且存在表達(dá)式過于復(fù)雜或不滿足偏平面上外凸的強(qiáng)度特性，與真三軸試驗(yàn)結(jié)果差別較大；線性的M-C準(zhǔn)則適應(yīng)性更差。

大量研究結(jié)果表明，巖石強(qiáng)度在子午面上隨著靜水壓力的增加而增大，但增加幅度先增大后減小并最終趨于零，經(jīng)典的M-C和H-B準(zhǔn)則無法準(zhǔn)確描述巖石強(qiáng)度的這一變化過程。因此，準(zhǔn)確的常規(guī)三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則是構(gòu)建真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)的基礎(chǔ)。本文將依據(jù)從原文獻(xiàn)中搜集的大量常規(guī)三軸和真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，先構(gòu)建符合子午面上巖石強(qiáng)度變化規(guī)律的強(qiáng)度準(zhǔn)則，再通過引入中主應(yīng)力參數(shù)和羅德應(yīng)力參數(shù)考慮中主應(yīng)力的影響，從而建立一種新的巖石非線性真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則。

1 現(xiàn)有典型巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則

1.1 改進(jìn)的Mohr-Coulomb準(zhǔn)則

為了描述巖石強(qiáng)度隨圍壓變化的非線性，Singh等[4]在M-C準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上減去了一個(gè)二次項(xiàng)，提出了改進(jìn)的Mohr-Coulomb(MM-C)強(qiáng)度準(zhǔn)則，表達(dá)式如下：

(1)

(2)

式中：c和φ分別為黏聚力和內(nèi)摩擦角；σcrti為臨界圍壓，通常取為σc；c0和φ0分別為低圍壓下巖石的黏聚力和內(nèi)摩擦角。當(dāng)圍壓達(dá)到臨界圍壓后(即σ3=σcrti)，式(1)滿足?(σ1-σ3)/?σ3=0，其計(jì)算結(jié)果為定值。

1.2 Hoek-Brown準(zhǔn)則

1980年，Heok和Brown[20]依據(jù)大量常規(guī)三軸試驗(yàn)結(jié)果，針對完整堅(jiān)硬巖石提出了帶有經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)的Heok-Brown(H-B)強(qiáng)度準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則本身就具有非線性特征，為了使其更具有普適性，隨后又提出了廣義H-B準(zhǔn)則[21]，表達(dá)式如下：

(σ1-σ3)=σc(mσ3/σc+s)a

(3)

式中：σc為單軸抗壓強(qiáng)度；m、s和a為巖石材料參數(shù)，與巖石性質(zhì)及擾動破碎程度有關(guān)。對于完整巖石，為了方便計(jì)算分析以及在進(jìn)行H-B準(zhǔn)則的三維化時(shí)，通常取s=1.0和a=0.5。

1.3 指數(shù)型強(qiáng)度準(zhǔn)則

依據(jù)常規(guī)三軸試驗(yàn)所得巖石強(qiáng)度隨圍壓的變化關(guān)系，You等[2,22]提出了指數(shù)型的強(qiáng)度準(zhǔn)則，并對比了十幾種準(zhǔn)則對試驗(yàn)結(jié)果的預(yù)測精度，表明指數(shù)型準(zhǔn)則最優(yōu)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

(4)

式中：σc為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度，σ∞為巖石的極限主應(yīng)力差，k0表示σ3=0時(shí)巖石強(qiáng)度的影響系數(shù)。

1.4 Drucker-Prager準(zhǔn)則

1952年，Drucker和Prager[10]在Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，考慮靜水壓力導(dǎo)出了Drucker-Prager(D-P)準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則屈服面為圓錐體形狀，在π平面上為一簇光滑的圓曲線，表述形式簡潔，應(yīng)用較為廣泛。以應(yīng)力不變量表述的D-P準(zhǔn)則的表達(dá)式如下：

(5)

式中：α和κ為D-P準(zhǔn)則參數(shù)，I1和J2分別為應(yīng)力張量第一不變量和偏應(yīng)力張量第二不變量。

MM-C準(zhǔn)則[4]認(rèn)為三軸等圍壓應(yīng)力條件下圍壓超過臨界圍壓時(shí)巖石抗壓強(qiáng)度不再發(fā)生變化，臨界圍壓的確定較為模糊，通常選擇巖石的單軸抗壓強(qiáng)度作為臨界圍壓，所得預(yù)測值與試驗(yàn)結(jié)果存在明顯不符。H-B準(zhǔn)則[20-21]雖然能夠表征巖石強(qiáng)度隨圍壓增加的非線性變化，但較高圍壓下的預(yù)測值明顯大于試驗(yàn)結(jié)果。指數(shù)型準(zhǔn)則[2, 22]雖然是目前公認(rèn)預(yù)測精度較高的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則[6]，由式(4)可知，等圍壓應(yīng)力條件下巖石的偏應(yīng)力隨著圍壓的增加始終是增大的，與試驗(yàn)結(jié)果也存在不符之處。以上3種準(zhǔn)則均無法預(yù)測真三軸應(yīng)力條件下的巖石強(qiáng)度。D-P準(zhǔn)則[10]在等圍壓條件下巖石強(qiáng)度與圍壓將退化為線性關(guān)系，無法反映巖石強(qiáng)度隨圍壓的非線性變化。針對上述幾種典型巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則的不足，以下將基于大量試驗(yàn)結(jié)果提出更符合實(shí)際情況的巖石非線性真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則。

2 冪函數(shù)型巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則的構(gòu)建

巖石的強(qiáng)度特性和破壞模型與受到的應(yīng)力狀態(tài)密切相關(guān)，巖石的應(yīng)力狀態(tài)通常用大主應(yīng)力σ1、中主應(yīng)力σ2和小主應(yīng)力σ3來表征，主應(yīng)力之間總要滿足F(σ1,σ2,σ3)≤0。巖石的強(qiáng)度特性主要由常規(guī)三軸試驗(yàn)(σ1>σ2=σ3)測得，即要滿足F(σ1,σ3)≤0，若等號成立F=0，巖石破壞，通常將強(qiáng)度準(zhǔn)則寫成如下形式：

σs=f(σ3)

(6)

基于圓柱體巖石試樣的常規(guī)三軸試驗(yàn)結(jié)果，利用數(shù)學(xué)方法可以確定函數(shù)f的形式用于描述強(qiáng)度σs與圍壓σ3的關(guān)系。

2.1 等圍壓條件下強(qiáng)度準(zhǔn)則

根據(jù)常規(guī)三軸試驗(yàn)結(jié)果，巖石的破壞強(qiáng)度包線在τ-σ坐標(biāo)系中呈向下凹的非線性特征，隨著圍壓的增加逐漸趨于平緩，圍壓足夠大時(shí)為水平線，如圖1所示。Barton[23]將圍壓足夠大時(shí)剪切強(qiáng)度不變的初始點(diǎn)定為巖石的臨界狀態(tài)，達(dá)到臨界狀態(tài)后對應(yīng)的主應(yīng)力差(σ1-σ3)達(dá)到最大值，隨圍壓不再變化，保持為定值。根據(jù)圖1中巖石強(qiáng)度包線的變化規(guī)律，定義臨界圍壓對應(yīng)主應(yīng)力差的最大值為Q∞，令其值為Q∞=(1+k)σc，σc為單軸抗壓強(qiáng)度，k為巖石達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)的影響系數(shù)。為了避免確定臨界圍壓帶來的不便和參數(shù)的增多，同樣采用以(1+k)σc作為臨界圍壓σcrti，構(gòu)建一種新的適用于三軸等圍壓條件下的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則，表達(dá)式如下：

圖1 完整巖石的Mohr圓強(qiáng)度包線

當(dāng)0≤σ3≤(1+k)σc時(shí),

(7a)

當(dāng)σ3≥(1+k)σc時(shí)，主應(yīng)力差為定值，即

σs-σ3=(1+k)σc

(7b)

式中：σs為巖石的常規(guī)三軸壓縮強(qiáng)度，此時(shí)其數(shù)值與σ1相等；m為圍壓σ3=0時(shí)的影響系數(shù)。根據(jù)式(7)可知，當(dāng)σ3=(1+k)σc，則σs=2(1+k)σc，此時(shí)巖石的常規(guī)三軸壓縮強(qiáng)度等于臨界圍壓的兩倍。對式(7a)進(jìn)行求導(dǎo)可得m和k之間的關(guān)系為

(8)

對式(7a)兩邊取對數(shù)，可得

(9)

2.2 真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則

巖石力學(xué)性質(zhì)非常復(fù)雜，三維應(yīng)力狀態(tài)下表現(xiàn)出顯著的非線性強(qiáng)度特性，在子午面上具有明顯的靜水壓力效應(yīng)，在偏平面上表現(xiàn)出明顯的中主應(yīng)力效應(yīng)[14]。定義中主應(yīng)力參數(shù)β來反映應(yīng)力狀態(tài)如下:

(10)

彈塑性理論中，往往引入羅德應(yīng)力參數(shù)μ以表示中主應(yīng)力的影響，其代表應(yīng)力狀態(tài)的中主應(yīng)力與大、小主應(yīng)力的相對比值，即

(11)

由式(10)和(11)不難證明，μ和β之間存在如下關(guān)系:

μ=2β-1

(12)

當(dāng)μ=-1和β=0時(shí)，即σ1>σ2=σ3為常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)；當(dāng)μ=1和β=1時(shí)，即σ1=σ2>σ3為常規(guī)三軸拉伸試驗(yàn)。通常情況下3個(gè)主應(yīng)力之間的關(guān)系為σ1>σ2>σ3，則μ介于-1和1；β介于0和1。

考慮小、中主應(yīng)力對巖石強(qiáng)度的影響，在上述所建等圍壓條件下強(qiáng)度準(zhǔn)則(見式(7))的基礎(chǔ)上，引入中主應(yīng)力參數(shù)β和羅德應(yīng)力參數(shù)μ，構(gòu)建由兩個(gè)冪函數(shù)公式聯(lián)合表示的巖石真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則，即

σ1=σs+H(σ2-σ3,σ3)

(13)

(14)

式中：QD為中主應(yīng)力影響的巖石強(qiáng)度的最大值；n為巖石強(qiáng)度達(dá)到最大值時(shí)的參數(shù)；當(dāng)σ2=σ3時(shí)滿足H(σ2-σ3,σ3)=0，σ1=σs即為常規(guī)三軸壓縮強(qiáng)度，由式(7)求得。

由式(14)對中主應(yīng)力σ2進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(15)

令?H/?σ2=0，由于真三軸試驗(yàn)中β≠0，因而有n(1-μ2)-4μβ=0，并結(jié)合式(10)～(12)可得

(16)

(17)

小主應(yīng)力σ3一定的情況下，當(dāng)中主應(yīng)力σ2滿足式(17)時(shí)，真三軸巖石強(qiáng)度達(dá)到最大值。

3 強(qiáng)度準(zhǔn)則的評估標(biāo)準(zhǔn)

巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)的確定方法及其預(yù)測精度的評估標(biāo)準(zhǔn)有多種形式，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[5]建議采用最小二乘法選擇以均方根誤差(RMSE,ERMS)最小為目標(biāo)函數(shù)來確定強(qiáng)度參數(shù)；選擇兩種方法來評估強(qiáng)度準(zhǔn)則的預(yù)測精度：回歸系數(shù)R-平方值(R2)和平均相對誤差(MAPE,EMAP)。 MAPE簡單有效，可直接反映預(yù)測誤差的絕對值大小。其中，ERMS、R2和EMAP分別定義為

(18)

(19)

(20)

4 準(zhǔn)強(qiáng)度準(zhǔn)則驗(yàn)證及比較

4.1 常規(guī)三軸試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證及比較

根據(jù)已有文獻(xiàn)[5-6,22]報(bào)道，統(tǒng)計(jì)了12種巖石的常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果，將這12種巖石編號為1～12號，分別對應(yīng)平頂山砂巖、Darley Dale砂巖、錦屏石巖、Bunt砂巖、Carrara大理巖、Yamaguchi大理巖、Cedar石英閃長巖、Indiana石灰?guī)r、Dunham白云巖、Mizuho粗面巖以及Westerly花崗巖。針對上述12種巖石的常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果，利用式(7)和(18)在MATLAB軟件中編寫程序確定相關(guān)參數(shù)(見表1)，得到了所建等圍壓條件下強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測值與巖石試驗(yàn)強(qiáng)度的對比情況，如圖2所示?？梢钥闯?，巖石的常規(guī)三軸試驗(yàn)強(qiáng)度隨著圍壓的增加而增大，增加幅度逐漸減小，且圍壓足夠大時(shí)增加幅度近似為零，具有明顯的非線性特征；本文強(qiáng)度準(zhǔn)則的預(yù)測值曲線與試驗(yàn)強(qiáng)度曲線有非常高的吻合程度。由表1可知，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則對所有巖石強(qiáng)度預(yù)估的相關(guān)性回歸系數(shù)R2均在0.98以上，且平均相對誤差EMAP均在4%以下(除7號巖石為6.83%)，如圖5所示。7號巖石(Ceder英云閃長巖)的EMAP略大與其試驗(yàn)強(qiáng)度的離散程度較大有關(guān)，見圖2(b)。以上分析表明本文強(qiáng)度準(zhǔn)則能夠很好地預(yù)測不同類型巖石在不同圍壓下的試驗(yàn)強(qiáng)度，具有良好的普遍適用性。

圖2 本文強(qiáng)度準(zhǔn)則對12種巖石試驗(yàn)強(qiáng)度的預(yù)測

表1 本文準(zhǔn)則對巖石常規(guī)三軸強(qiáng)度的預(yù)測結(jié)果

選擇7號Yamaguchi大理巖和11號鄂州花崗巖為對象，充分比對本文強(qiáng)度準(zhǔn)則與其他4種典型強(qiáng)度準(zhǔn)則之間的差異性，對巖石常規(guī)三軸試驗(yàn)強(qiáng)度的預(yù)測情況如圖3所示。

圖3 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對不同巖石強(qiáng)度預(yù)測的比較

由圖3可以看出，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則和指數(shù)準(zhǔn)則(目前被認(rèn)為預(yù)測精度較高的強(qiáng)度準(zhǔn)則[6])對巖石試驗(yàn)強(qiáng)度的預(yù)測精度最高，兩者預(yù)測值與試驗(yàn)結(jié)果幾乎完全重合；H-B準(zhǔn)則的預(yù)測值在低圍壓時(shí)偏小，而高圍壓時(shí)又有明顯的偏大現(xiàn)象；對于MM-C準(zhǔn)則，當(dāng)圍壓超過臨界圍壓(單軸抗壓強(qiáng)度)時(shí)巖石強(qiáng)度隨圍壓不再發(fā)生變化，導(dǎo)致其預(yù)測精度較差；當(dāng)圍壓小于臨界圍壓時(shí)，其預(yù)測精度與H-B準(zhǔn)則相當(dāng)；D-P準(zhǔn)則退化為常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，巖石強(qiáng)度與圍壓之間是線性關(guān)系，故預(yù)測精度最差。

為了進(jìn)一步比較分析上述5種巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則對巖石強(qiáng)度預(yù)測的差異性，圖4、5分別給出了12種巖石的均方根誤差ERMS和平均相對誤差EMAP。同樣可以看出，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則與指數(shù)準(zhǔn)則預(yù)測得到的不同類型巖石的ERMS和EMAP非常接近，遠(yuǎn)小于其他3種強(qiáng)度準(zhǔn)則；本文強(qiáng)度準(zhǔn)則、指數(shù)準(zhǔn)則、H-B準(zhǔn)則、MM-C準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則對所有12種巖石預(yù)估所得ERMS的平均值分別為4.431、4.276、10.903、16.804和18.429 MPa，所得EMAP的平均值分別為2.32%、2.43%、5.28%、7.39%和13.74%，也可以看出，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則和指數(shù)準(zhǔn)則對巖石強(qiáng)度的預(yù)測精度最優(yōu)，依次是H-B準(zhǔn)則、MM-C準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則。由表1、圖4、5還可以看出，當(dāng)圍壓小于單軸抗壓強(qiáng)度σc時(shí)， MM-C準(zhǔn)則與H-B準(zhǔn)則的預(yù)測精度相當(dāng)；當(dāng)圍壓大于σc時(shí)，前者的預(yù)測精度將變得很差，與其選擇σc作為臨界圍壓有直接關(guān)系。

圖4 不同巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測的均方根誤差比較

圖5 不同巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測的平均相對誤差比較

4.2 真三軸試驗(yàn)驗(yàn)證

真三軸應(yīng)力條件的巖石試驗(yàn)強(qiáng)度是評估巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則的重要方面，利用相關(guān)文獻(xiàn)[17-19]報(bào)道的8種巖石的真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)對建立的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行驗(yàn)證。對這8種巖石進(jìn)行13～20編號，依次為Westerly花崗巖、KTB閃巖、Dunam白云巖、Mizuho粗面巖、Yuubari板巖、Solenhofen石灰?guī)r、Shirahama砂巖和Manazuru安山巖，利用式(13)～(17)和式(18)在MATLAB軟件中編寫程序，確定這些巖石材料的強(qiáng)度參數(shù)，見表2。

表2 本文準(zhǔn)則對巖石真三軸強(qiáng)度的預(yù)測結(jié)果

圖6給出了所建真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測值與8種巖石真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比。圖中對角線σ1=σ2和實(shí)線σ2=σ3中間所夾上凸形弧狀實(shí)線為本文真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論計(jì)算曲線，左側(cè)紅色實(shí)線為本文等圍壓條件下強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論計(jì)算曲線；左右側(cè)邊界紅色實(shí)線分別為常規(guī)三軸壓縮和拉伸的狀態(tài)線。由圖6可以看出，本文建立的真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則與巖石試驗(yàn)數(shù)據(jù)有較高的吻合度，能夠較好地反映中主應(yīng)力效應(yīng)使巖石強(qiáng)度明顯增強(qiáng)的影響，也很好地反映了巖石強(qiáng)度從常規(guī)三軸壓縮到三軸拉伸過程中，巖石強(qiáng)度隨中主應(yīng)力增加先增大后減小的變化規(guī)律；左側(cè)σ2=σ3的壓縮曲線與右側(cè)σ1=σ2的拉伸狀態(tài)線之間的差值呈現(xiàn)出逐漸增大的變化趨勢，由σc逐漸增加到(1+k)σc；由式(7)可知圍壓足夠大時(shí)，圖6中左右兩側(cè)壓縮和拉伸狀態(tài)線為平行線，較好地反映了巖石的靜水壓力效應(yīng)，但經(jīng)典的M-C準(zhǔn)則、H-B準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則并不符合這一規(guī)律，這也是本文強(qiáng)度準(zhǔn)則的優(yōu)勢。由表2可知，本文真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則對上述8種巖石預(yù)估的相關(guān)性回歸系數(shù)R2均大于0.9，其中有5種巖石超過了0.96。以上說明所建巖石真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則能夠較好地預(yù)測不同應(yīng)力狀態(tài)下不同類型巖石的強(qiáng)度。

本文強(qiáng)度準(zhǔn)則對8種真三軸巖石試驗(yàn)結(jié)果預(yù)測得到的均方根誤差ERMS和平均相對誤差EMAP，如圖7所示?？梢钥闯觯◤?qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測所得的ERMS和EMAP除14號巖石外(分別為74.23 MPa和7.79%)，其余7種巖石均分別在40 MPa和5%以下；14號巖石(KTB閃巖)的ERMS和EMAP相比其他巖石較大，主要原因在于圍壓σ3=150 kPa時(shí)真三軸試驗(yàn)所得KTB閃巖大主應(yīng)力隨中主應(yīng)力變化的離散程度非常大(見圖6(b))，導(dǎo)致了所建強(qiáng)度準(zhǔn)則對KTB閃巖的預(yù)測精度較差。以上分析說明本文強(qiáng)度準(zhǔn)則對不同類型巖石的真三軸試驗(yàn)強(qiáng)度同樣有較高的預(yù)測精度，具有良好的普遍適用性。

圖6 本文強(qiáng)度準(zhǔn)則對8種巖石真三軸試驗(yàn)強(qiáng)度的預(yù)測

圖7 本文強(qiáng)度準(zhǔn)則對8種巖石真三軸試驗(yàn)結(jié)果預(yù)測的均方根誤差和平均相對誤差

選擇13號Westerly花崗巖和14號KTB閃巖為對象，對比本文強(qiáng)度準(zhǔn)則與已有3種真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則[17-19]對巖石真三軸試驗(yàn)強(qiáng)度的預(yù)測情況，分析不同強(qiáng)度準(zhǔn)則之間的差異性，如圖8所示。其中，文獻(xiàn)[17-19]均是在H-B準(zhǔn)則基礎(chǔ)上建立的真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則。可以看出，4種強(qiáng)度準(zhǔn)則均可描述小主應(yīng)力σ3一定時(shí)中主應(yīng)力σ2變化對大主應(yīng)力σ1的影響規(guī)律；文獻(xiàn)[18]所建強(qiáng)度準(zhǔn)則顯示σ1受σ2影響幅度很小，預(yù)測值與試驗(yàn)結(jié)果差距很大；文獻(xiàn)[19]所建強(qiáng)度準(zhǔn)則顯示σ1在σ2較小時(shí)達(dá)到最大值后又隨σ2快速減小，且多數(shù)情況下左側(cè)壓縮狀態(tài)線上的σ1明顯小于右側(cè)拉伸狀態(tài)線上的σ1，與實(shí)際情況不太相符；相比本文強(qiáng)度準(zhǔn)則,多數(shù)情況文獻(xiàn)[17]所建強(qiáng)度準(zhǔn)則的預(yù)測值在σ2較小時(shí)略有偏大，在σ2較大時(shí)又有所偏小，而本文所建強(qiáng)度準(zhǔn)則與試驗(yàn)結(jié)果更為接近。綜合比較，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則略優(yōu)于文獻(xiàn)[17]，依次是文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[18]提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則。

圖8 不同真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則對不同巖石強(qiáng)度預(yù)測的比較

5 真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則的主應(yīng)力空間

由平均正應(yīng)力p和廣義剪應(yīng)力q分別與主應(yīng)力之間關(guān)系可以得到p-q應(yīng)力空間上強(qiáng)度準(zhǔn)則子午面的變化特征；由π平面坐標(biāo)軸與主應(yīng)力空間坐標(biāo)軸之間的關(guān)系可以得到強(qiáng)度準(zhǔn)則在π平面上的空間特征，計(jì)算公式如下

(21)

(22)

以19號Shirahama砂巖為對象，取表2中的強(qiáng)度參數(shù)，所建強(qiáng)度準(zhǔn)則的p-q應(yīng)力空間上子午面和主應(yīng)力空間偏平面上的形狀特征如圖9所示。

圖9 本文強(qiáng)度準(zhǔn)則的空間特征

6 結(jié) 論

1)12種巖石的常規(guī)三軸試驗(yàn)結(jié)果對比表明，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測值與不同類型巖石的試驗(yàn)強(qiáng)度非常接近，所得相關(guān)性系數(shù)R2均在0.98以上，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則、指數(shù)準(zhǔn)則、H-B準(zhǔn)則、MM-C準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則對12種巖石常規(guī)三軸試驗(yàn)強(qiáng)度預(yù)測所得EMAP的平均值分別為2.32%、2.43%、5.28%、7.39%和13.74%，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則略好于指數(shù)準(zhǔn)則，后3種準(zhǔn)則的預(yù)測精度依次降低，說明本文強(qiáng)度準(zhǔn)則具有良好的普遍適用性。

2)8種巖石的真三軸試驗(yàn)結(jié)果對比表明，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則與不同類型巖石的試驗(yàn)強(qiáng)度吻合程度較好，能夠很好地反映大主應(yīng)力隨中主應(yīng)力的增加呈先增大后減小的變化規(guī)律，所得R2均在0.9以上(有5種巖石的R2大于0.96)，說明本文強(qiáng)度準(zhǔn)則能夠較好地預(yù)測不同應(yīng)力狀態(tài)下巖石的真三軸試驗(yàn)強(qiáng)度。

3)本文強(qiáng)度準(zhǔn)則在拉、壓子午面上的偏應(yīng)力差值隨平均正應(yīng)力由零逐漸增加再逐漸減小為零，在π平面上近似為一簇連續(xù)頂角外凸的曲線三角形，且隨著平均正應(yīng)力增加逐漸向外擴(kuò)展，拉、壓區(qū)間呈弧形過渡，很好地反映了巖石靜水壓力效應(yīng)和中主應(yīng)力對大主應(yīng)力的影響規(guī)律。