Z網(wǎng)絡(luò)下新的推理算法在不確定決策中的應(yīng)用①

張 最, 吳 濤,b,*, 涂成鳳

(安徽大學(xué)a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院;b.計算機(jī)智能與信號處理教育部重點實驗室,安徽 合肥230039)

0 引 言

不確定決策是指充分考慮既有的不確定信息情況下,進(jìn)行不確定性的推理,得到較為可靠的信息。對于不確定信息,Zadeh[1]于2011年提出了Z-number的概念,用來表示具有隨機(jī)性和模糊性的不確定信息,但是不確定信息的推理較為復(fù)雜。針對這一問題,許多學(xué)者進(jìn)行了研究,并且在處理不確定性過程中研發(fā)了很多不確定性推理技術(shù),例如模糊推理、概率推理、Dempster-Shafer(DS)證據(jù)推理等等。模糊推理[2]是基于模糊集由不準(zhǔn)確集得到不準(zhǔn)確結(jié)論的過程;概率推理[3]是基于貝葉斯推理的不確定性推理方法,但這要依靠先驗概率和條件概率;DS證據(jù)推理[4]是基于DS證據(jù)理論處理不能用概率表示只能用質(zhì)量函數(shù)表示的“未知”信息。針對Z-number的不確定性推理,Jiang等[5]提出新的Z網(wǎng)絡(luò)模型以及推理算法用來進(jìn)行Z-valuation不確定性推理?；赯網(wǎng)絡(luò)模型,對Z-valuation不確定性推理過程進(jìn)行一些改進(jìn),進(jìn)而在決策過程中根據(jù)已知的信息進(jìn)行改進(jìn)后的推理,從而得到更加準(zhǔn)確的信息,有利于決策人更好的進(jìn)行決策。

1 基礎(chǔ)知識

定義1[6]: (Z-number)Z-number是由有序的一對模糊數(shù)表示為Z=（A,R）,第一個元素是不確定變量的實值函數(shù),是對X在值上的約束,第二個元素是對第一個元素可靠性的測度。

定義2[7]: (離散Z-number)離散Znumber是一個有序的離散模糊集對,記作X是（A,B）,其中A對隨機(jī)變量X可能取的值進(jìn)行模糊約束,它的隸屬度函數(shù)為μA:｛x1,x2,…,x m｝→［0,1］,B為對A的概率測度的模糊限制,其隸屬函數(shù)是μB:｛b1,b2,…,b n｝→［0,1］,b1,b2,…b n∈［0,1］,可寫為P(X是A)=B。而有序三元組（X,A,B）被稱為Zvaluation,或者說Z-valuation等價于賦值語句X是（A,B）。

2 基于if-then規(guī)則下離散的Znumber的算法

假定兩個Z-valuation信息,其中

假設(shè)“*”是一種運算,則X*Y=Z=其中Z是X和Y的運算結(jié)果,基于此,if-then規(guī)則下兩個Z-number的算法就可劃分為四個部分,A1和A2之間的值的算法,A1和A2之間隸屬度的算法,B1和B2之間的值的算法,B1和B2之間隸屬度的算法?；贘iang等[5]的推理過程:

其中

A=A1*A2,B=μA·（pX*p Y）,其中“·”僅僅描述隸屬度和潛在概率之間的聯(lián)系。p X和p Y受 限 制 于

(1)A的值可由…,x2*y s2,…,x s1*y1,…,x s1*y s2}計算,其中有些不同的x j和y k關(guān)于*的運算結(jié)果是相同的,即z i=x j1*y k1=x j2*y k2=…則隸屬度μA可由

計 算,其 中min是 在μA1（x ja） 和μA2（y k a） 之間的取值,a=1,2…,而max是對

(2)考慮B1和B2的計算,其過程與潛在概率p X和p Y有關(guān)。X和Y的概率分布表示為｛pX1,…｝和｛pY1,…｝,需 要 注 意 的 是,這 里p X j的表示X的第j組概率分布,Y和Z也是如此。每一個p X j和p Yk都有其相應(yīng)的隸屬度μ（p X j） 和μ（p Yk） ,其 中μ（p X j） 是μB1（b1j）,min處理后的值再進(jìn)行取值。μ（p Yk） 是μB2（b2k）。考慮到實際情況,p Z的隸屬度計算如下:

也可寫作公式

其中1≤j≤t1,1≤k≤t2。受限制于

(3)考慮Z-number限制部分b l的計算

①構(gòu)建優(yōu)化模型

輸出Z-valuation信息的潛在概率信息的計算可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化模型,此限制基于線性相關(guān)方程:

其中1≤l1≤t1,1≤l2≤t2,這里得到的僅僅是t1*t2組區(qū) 間概率 信 息［minp（z i）,maxp（z i）］,每一組區(qū)間概率信息({[minp(z1),maxp(z1)],…[minp(z s),maxp(z s)]},意味著有無限組概率分布,不利于最后限制部分的計算?；诖?可利用最大熵方法獲得最可能的潛在概率分布。

②優(yōu)化區(qū)間信息

隨著優(yōu)化模型和給定數(shù)據(jù)的變化,①中得到的區(qū)間不一定能夠滿足最大熵方法中的約束條件,需要優(yōu)化區(qū)間信息。具體方法如下:

對于t1*t2組區(qū)間信息分別進(jìn)行如下操作,以一組區(qū)間信息

然后將原來的區(qū)間可以改寫為

最后令

得到新的區(qū)間

{[minp(z1),maxp(z1)],…[minp(z s),maxp(z s)]}

③建立最大熵模型

由此得到最可能的概率分布,模型如下:

④計算得到b l

通過③得到t1·t2組最可能的概率分布,通過公式可以得到b1,b2,…,b t,其中t=t1·t2

3 Z網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)以及算法

Z網(wǎng)絡(luò)由兩部分組成:結(jié)構(gòu)G和參數(shù)θ。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)G是一個有向無環(huán)圖,描述屬性之間的依賴關(guān)系;參數(shù)θ量化網(wǎng)絡(luò),其中包括每個屬性的條件概率表。Z網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建過程如下:找到整個研究系統(tǒng)中涉及的全部隨機(jī)變量,將其繪制成有向圖,如圖2是一個簡單的Z網(wǎng)絡(luò),其中圓代表隨機(jī)變量,箭頭表示依賴關(guān)系[9]。圖2中有三類小結(jié)構(gòu),而且由這三類小結(jié)構(gòu)就能構(gòu)成所有的Z網(wǎng)絡(luò)。如圖1所示,三類小結(jié)構(gòu)分別為結(jié)構(gòu)1、結(jié)構(gòu)2、結(jié)構(gòu)3。接下來介紹一下這3種結(jié)構(gòu)。

圖1 (a)結(jié)構(gòu)一(b)結(jié)構(gòu)二(c)結(jié)構(gòu)三

圖2 簡單Z網(wǎng)絡(luò)

結(jié)構(gòu)1

如圖1(a)所示,X,Y,Z是三個Z-valuation信息,X和Y分別有一個箭頭指向Z,代表由X和Y可以推出Z,箭頭代表它們的推理關(guān)系,表示為p（Z|X,Y）。結(jié)構(gòu)中X和Y是輸入值,Z是輸 出 值。推 理 過 程:X=（A1,B1）,Y=（A2,B2）,Z=（A,B）=X·Y

其中

首先如果p（z i|x j,y k）≠0,就說x j和y k可以推出z i,那么隸屬度μA（z i）就可以由公式（1）計算,解釋參考第二部分中隸屬度的求法。

第二,從優(yōu)化模型

(其中i=1,2,…,s,j=1,2,…,s1,k=1,2,…,s2,l1=1,2,…,t1,l2=1,2,…,t2)得到p（z i）的區(qū)間值［minp（z i）,maxp（z i）］。優(yōu)化區(qū)間信息,具體步驟可見2中④,利用最大熵方法maxp（z i）log2p（z i）

得到t1·t2組概率分布p Zl,其中l(wèi)=1,2,…,t1·t2,每組概率分布p Zl都是｛p（z1）,p（z2）,…,p（z s）｝的形式。而且每組有相應(yīng)的隸屬度μB（p Zl）,由公式（2）計算。最后,得到了μA（z i）和p Zl,b l便可由公式（3）計算得到,其中的p（z1）,p（z2）,…,p（z s）是第l組概率分布中的概率,b l的隸屬度就是μ（p Z l）,即μB（b l）=μB（p Zi） 。

結(jié)構(gòu)2

如圖1(b),X,Y,Z是三個Z-valuation信息,X和Y,X和Z之間有一個箭頭,這代表由X中的信息可以分別推出Y和Z中的信息,其中X是輸入信息,Y和Z是輸出信息。箭頭代表因果關(guān)系,分別由p（Y|X）和p（Z|X）表示,推理過程:

其中A1,B1,A2,B2,A,B與結(jié)構(gòu)一中的一樣。

首先,如果p（zi|x j）≠0,則說明由x j可以推出z i,如果p（yk|x j）≠0,則說明由x j可以推出y k。其隸屬度由公式（1）計算,其中輸入信息只有X,故min只對不同的x j的隸屬度取值,即max可省略。其次,我們可以利用兩個優(yōu)化模型分別得到p Y和p Z。

(其中i=1,2,…,s,j=1,2,…,s1,k=1,2,…,s2,l1=1,2,…,t1)由此得到區(qū)間信息,優(yōu)化區(qū)間信息使用最大熵方法得到t1組概率分布p Zl和p Yl2,而μB（p Zl） 和μB2（p Yl2）由公式（2）計算。最后,計算出了μA（z i）和p Zl,μA2（y k）和p Yl2,那么可由公式（3）計算b l和b l2,其隸屬度μB（b l）和μB2（b l2）就等于相應(yīng)的μB（p Zl）和μB2（p Yl2）。

結(jié)構(gòu)3

如圖1(c),X,Y和Z是三個Z-valuation信息。X中的信息可以通過Y傳到Z。其中X是輸入信息,Z是輸出信息。箭頭代表因果關(guān)系,表示為p（Y|X）和p（Z|Y）。推 理 過 程:X=（A1,B1）,Z=（A,B）,其中A1,B1,A,B與結(jié)構(gòu)1中的一樣。

首先,如果p（yk|x j）*p（zi|y k）≠0,代表z i可由x j經(jīng)y k推出,其隸屬度可由公式（1）得到。其次建立優(yōu)化模型

(其中i=1,2,…,s,j=1,2,…,s1,k=1,2,…,s2,l1=1,2,…,t1),由此得到t1組區(qū)間信息,優(yōu)化區(qū)間信息使用最大熵方法得到t1組概率分布,相應(yīng)的隸屬度μB（p Zl） 由公式（2）計算。最后算出μA（z i）和p Zl,由公式（3）計算b l,其中p（z1）,p（z2）,…,p（z s）是第l組概率分布中的概率,隸屬度μB（b l）就是μB（p Zl）。

4 實例分析

表格1

?

污染指數(shù)的確定是一大難題,利用Z網(wǎng)絡(luò)及其算法可以實現(xiàn)。通過某地區(qū)的濕度和風(fēng)力情況,結(jié)合Z網(wǎng)絡(luò)模型判斷其污染指數(shù)?，F(xiàn)有一個三層Z網(wǎng)絡(luò),如圖3所示,其中X,Y,Z,M,N都是Znumber,分別代表空氣濕度(x1:低,x2:正常,x3:高),風(fēng)力(y1:小風(fēng),y2:中風(fēng),y3:大風(fēng)),天氣(z1:晴,z2:多云,z3:雨),風(fēng)沙量(m1:少量,m2:中等,m3:多),污染指數(shù)(n1:輕度,n2:中度,n3:重度)。其條件概率如表所示,輸入專家評價的空氣濕度（X,A1,B1）和風(fēng)力情況（Y,A2,B2）,其中

首先由推理算法可知,如果p（n i|m a,z l）·p（ma|y k）·p（z l|x j,y k）≠0,表示由x j和y k可推出n i,或者稱污染指數(shù)可由空氣濕度和風(fēng)力推斷出。由公式

能夠計算

其次,根據(jù)Z網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)構(gòu)建這個三層網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化模型:

基于此優(yōu)化模型利用前面步驟得到四組區(qū)間值。優(yōu)化區(qū)間信息利用最大熵模型得出p N:

最后由公式（3）得到b l:

代表在專家評價的空氣濕度和風(fēng)力情況的條件下,推理出污染指數(shù)是輕度和中度的結(jié)果較高,其中B是A的可靠性,0.7974,0.7993,0.7989,0.7994是A的概率,代表著A較為可靠。

5 結(jié) 語

在Z-number和Z網(wǎng)絡(luò)理論的基礎(chǔ)上,對原來的推理算法作出了改進(jìn),實現(xiàn)了關(guān)于Zvaluation的不確定性推理。在通過最大熵方法來實現(xiàn)潛藏概率的獲取之前,對由優(yōu)化模型獲取的區(qū)間值概率進(jìn)行了優(yōu)化,從而使得模糊不確定性推理變得更加完善,然后將改進(jìn)后的算法運用到?jīng)Q策分析中。在這里考慮的情況并不全面,Z網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)還比較簡單,改進(jìn)后的推理算法并沒有應(yīng)用到更加復(fù)雜的Z網(wǎng)絡(luò)中,針對實際中的各種問題,還需要繼續(xù)研究。