基于測(cè)不準(zhǔn)原理的一維諧振子勢(shì)中粒子能級(jí)及概率的討論①

代君瑤, 張瀾旭, 溫 瑩, 張海豐,*

(佳木斯大學(xué)1.理學(xué)院,2.機(jī)械工程學(xué)院,黑龍江 佳木斯154007)

在量子理論的研究和應(yīng)用中,一維諧振子模型和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是非常重要的物理模型和重要理論,它們?cè)诶碚撗芯亢陀?jì)算物理中都有廣泛的應(yīng)用。例如:喬流飛等利用代數(shù)解法討論了一維電諧振子能量本征問(wèn)題[1];馮璐等給出了電磁場(chǎng)中線(xiàn)性諧振子本征能量和本征波函數(shù)[2];趙森等研究了均勻電磁場(chǎng)作用下的一維線(xiàn)性諧振子的能級(jí)分布[3];肖奎等對(duì)一維線(xiàn)性諧振子本征矢及概率進(jìn)行了可視化分布演示[4];劉燕杰論述了測(cè)不準(zhǔn)原理的應(yīng)用范圍和意義[5];張佳林討論了微觀粒子波粒二象性和測(cè)不準(zhǔn)原理的聯(lián)系[6];沈曼等從坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系出發(fā)對(duì)線(xiàn)性諧振子模型進(jìn)行了分析[7];張艷燕等對(duì)測(cè)不準(zhǔn)原理和表象理論進(jìn)行了討論[8];周宙安等利用測(cè)不準(zhǔn)原理討論了位置物理量算符的最小不確定度[9];陳念陔等分析了當(dāng)前理論研究領(lǐng)域?qū)y(cè)不準(zhǔn)原理的研究[10];周宙安等探討了測(cè)不準(zhǔn)原理下的光頻的引力紅移問(wèn)題[11]。本文旨在通過(guò)測(cè)不準(zhǔn)原理,討論一維諧振子勢(shì)場(chǎng)中粒子出現(xiàn)的概率,進(jìn)而對(duì)基態(tài)能級(jí)問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的分析。

1 一維諧振子的能級(jí)

設(shè)質(zhì)量為m,角頻率為ω的一維諧振子的勢(shì)能函數(shù)為

則體系的哈密頓算符和本征方程可以寫(xiě)成

于是得到

或

當(dāng)ζ取值較大時(shí),上式變?yōu)?/p>

于是按照波函數(shù)的自然條件可以得到上式的漸進(jìn)解

所以本征波函數(shù)可以表示為

上式帶入本征方程可得

厄米多項(xiàng)式微分方程為

在ζ=0附近可以得到級(jí)數(shù)展開(kāi)式

所以系數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足

由于級(jí)數(shù)的所有系數(shù)都必須是零,即

即

根據(jù)波函數(shù)的有限性條件,截取前n項(xiàng),令H n（ζ）的系數(shù)為零,可以得到

所以,能級(jí)表示為

可見(jiàn),能量本征值是量子化的。在沒(méi)有外界能源情況下,體系在溫度T=0時(shí)具有最小能量本征值。

2 粒子出現(xiàn)的概率

設(shè)一維諧振勢(shì)下,一個(gè)粒子具有能量E0=?ω/2,下邊我們討論粒子在經(jīng)典禁區(qū)出現(xiàn)的概率,并將其與粒子出現(xiàn)在更高能級(jí)的概率進(jìn)行比較。

按照經(jīng)典理論,經(jīng)典諧振子滿(mǎn)足

所以能量可以表示為

對(duì)于基態(tài)可得

令η=x/λ,則有

取A0/λ=1,則

對(duì)于其他高能級(jí)激發(fā)態(tài),相應(yīng)的概率為

即

可見(jiàn),對(duì)于各個(gè)能級(jí)的概率P n,能級(jí)越高它的值越小,究其原因在于能量高低決定了哪種粒子更趨于“經(jīng)典”,即具有較高能量的粒子出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)的概率較小。

3 應(yīng)用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系討論基態(tài)能級(jí)

下邊根據(jù)坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系ΔpΔx≥?/2來(lái)近似求解一維線(xiàn)性諧振子的基態(tài)能級(jí)。

根據(jù)(2)式可以得到體系哈密頓量的在任意態(tài)上的平均值

按照算符差方平均值定義,可得坐標(biāo)和動(dòng)量算符的差方平均值分別為

根據(jù)諧振子的勢(shì)能函數(shù)具有空間反演對(duì)稱(chēng)性,所以

于是,得到

由于

根據(jù)ΔpΔx≥?/2可知,Δp的最小值為,則上式變?yōu)?/p>

再對(duì)上式求E（Δx）的最小值,即求一階導(dǎo)數(shù)等于0

所以可得

4 結(jié) 論

通過(guò)上邊的討論,可以看到,通過(guò)代數(shù)解法給出的精確解與用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系近似求解的一維線(xiàn)性諧振子基態(tài)能級(jí)是一樣的,且粒子在諧振子基態(tài)和前兩個(gè)激發(fā)態(tài)上的概率分別為0.1573,0.1116,0.0951,這表明能級(jí)越高粒子出現(xiàn)的概率越小,粒子越趨于“經(jīng)典”特性。