一種電容層析成像圖像重建優(yōu)化算法

張立峰, 張 明

(華北電力大學(xué) 自動化系, 河北 保定 071003)

1 引 言

電容層析成像(electrical capacitance tomography,ECT)是一種基于電容傳感機(jī)制的過程層析成像技術(shù)[1～3]。ECT技術(shù)利用不同物質(zhì)間相對介電常數(shù)不同的特點(diǎn),通過電容傳感器和采集系統(tǒng)收集電極陣列間的電壓信號,聯(lián)合圖像重建算法計(jì)算場域內(nèi)介電常數(shù)分布,進(jìn)而獲取被測截面內(nèi)多相流介質(zhì)的分布情況,適合于測量各種絕緣物體組成的混合流體,如油-氣兩相流等。圖像重建即為逆問題的求解過程,是ECT技術(shù)的核心也是關(guān)鍵技術(shù)所在[4～6]。逆問題求解具有非線性和病態(tài)性,同時(shí)ECT敏感場具有“軟場“特性。因此,高質(zhì)量的ECT圖像重建仍然是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。圖像重建算法主要分為非迭代算法和迭代算法,常用的非迭代算法有線性反投影算法(LBP)和Tikhonov正則化算法,代表性的迭代類算法有Landweber迭代算法。其中LBP算法是最簡單的ECT圖像重建算法,其忽略了介質(zhì)分布狀態(tài)對敏感場的影響,雖然成像速度較快,但重建圖像的精度較低；Landweber算法[7]是一種典型的迭代算法,以迭代的方式逼近求解過程,成像精度更高；Tikhonov正則化算法可有效地克服逆問題求解的不穩(wěn)定性,但經(jīng)常性地對圖像邊緣過平滑化,降低了重建圖像的分辨率。

圖像重建算法的準(zhǔn)確性決定了ECT系統(tǒng)能否成功應(yīng)用,本文構(gòu)建了一種新的ECT圖像重建算法,該算法結(jié)合范數(shù)用于更好的逼近正則化最小化問題,可有效增強(qiáng)對測量異常值的魯棒性,且具有較快的收斂速度。仿真實(shí)驗(yàn)表明,該算法可獲得更好的圖像重建效果。

2 算法原理

2.1 ECT基本原理

典型的ECT系統(tǒng)[8]包括多電極電容傳感器,數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和成像計(jì)算機(jī)。多電極電容傳感器將材料分布的變化轉(zhuǎn)換成電極之間的電容值的變化。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測量電容值并將它們傳輸?shù)匠上裼?jì)算機(jī)。成像計(jì)算機(jī)通過使用適當(dāng)?shù)闹亟ㄋ惴ㄖ亟ń殡姵?shù)分布(即材料分布)的圖像,并在其上顯示重建圖像。

盡管ECT圖像重建問題[9]具有非線性性質(zhì),但在實(shí)踐中,可通過離散化和線性化簡化為：

C=Sg

(1)

式中：C為N×1維的歸一化電容值矢量;S為M×N維的歸一化靈敏度矩陣;g為N×1維的歸一化介電常數(shù)矢量(即待重建圖像的灰度值矢量)。

由于可用的歸一化電容值的數(shù)量遠(yuǎn)小于期望的像素?cái)?shù)量,以及靈敏度矩陣S的條件數(shù)非常大,所以等式(1)的求解是一個(gè)NP問題(nondeterministic polynomial problem)。正則化是處理不適定逆問題的有效方法,其應(yīng)用非常普遍。為了穩(wěn)定問題并找到有用且穩(wěn)定的解決方案,正則化方法使用有關(guān)所需解決方案的更多信息。Tikhonov正則化是最常見和眾所周知的正則化形式,它將式(1)的逆問題轉(zhuǎn)化為式(2)中描述的最小化問題[10]：

(2)

式中:λ被稱為正則化參數(shù),用于控制數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)和正則化項(xiàng)在目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重,當(dāng)λ>0時(shí),稱L為正則化矩陣;g0為從先驗(yàn)信息中獲得的解的估計(jì)。如果將L作為單位矩陣并將g0作為零向量,則標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化的目標(biāo)函數(shù)可描述為：

(3)

相應(yīng)地,式(3)的標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化解如下：

g=(STS+λI)-1STC

(4)

傳統(tǒng)Tikhonov正則化方法將場域內(nèi)不同部分設(shè)置為相同的權(quán)重,但不同介質(zhì)具有相異的介電常數(shù),因此可能導(dǎo)致圖像重建過程中丟失有用的信息。雖然其可保證重建過程的穩(wěn)定性,但由于該算法是通過平滑圖像使求解穩(wěn)定,對圖像邊緣總是過度平滑,導(dǎo)致重建圖像的空間分辨率較低。

2.2 優(yōu)化算法

本文基于一種新的優(yōu)化算法,構(gòu)建了ECT圖像重建算法。該算法可有效減少重建過程目標(biāo)有效信息的丟失,提高重建圖像的分辨率。

對于最小化問題求解,可通過重新加權(quán)的方法來解決[11～13],其一般形式可表示為：

(5)

式中:f(x)和gi(x)為任意函數(shù);x∈c為任意約束條件;hi(x)為gi(x)在域中的任意凹函數(shù)。解決式(5)所示算法的過程如下。

步驟1 初始化：D0=I;

步驟2 利用最優(yōu)解矯正x的值：

步驟4 迭代步驟2～步驟3,直至其收斂。

實(shí)際中,該算法可用來最小化lp范數(shù),l2,p范數(shù)以及很多魯棒性損失函數(shù),可用于解決ECT重建中目標(biāo)函數(shù)有效值的損失。

(6)

步驟1 初始化：D為單位矩陣D=I,最大迭代次數(shù)為K;

步驟2 利用最優(yōu)解矯正w的值：

w=(STS+rD)-1STC;

步驟4 迭代步驟2～步驟3,直至其收斂。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

ECT仿真建模中采用12電極傳感器陣列,如圖1所示。實(shí)驗(yàn)平臺基于Windows10操作系統(tǒng),Intel Core i5-8300H 處理器。實(shí)驗(yàn)以油-氣兩相流為仿真對象,利用COMSOL 3.5a有限元仿真軟件建立6種仿真流型,其設(shè)置的原則主要考察對中心物體及多物體分布的重建效果。其中氣相及油相的相對介電常數(shù)分別設(shè)置為1和2.8,應(yīng)用有限元法進(jìn)行ECT正問題求解,采用單電極激勵單電極測量模式,其仿真的獨(dú)立電容測量值數(shù)目為66,再聯(lián)合Matlab編程進(jìn)行圖像重建,重建圖像的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)為812。

圖1 12電極ECT傳感器Fig.1 12 Electrode ECT sensor

根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件,使用LBP算法,Landweber迭代算法,Tikhonov正則化算法和本文構(gòu)建的優(yōu)化算法進(jìn)行ECT圖像重建,對不同重建結(jié)果進(jìn)行對比,重建圖像如圖2所示。

圖2 重建圖像Fig.2 Reconstructed image

圖2中Landweber迭代算法重建圖像為迭代300次所得圖像,Tikhonov正則化算法的正則化參數(shù)選取為0.005。

3.2 結(jié)果分析

流型1為中心流流型,主要考察各算法對場域中心物體的分辨能力。

由圖2可見,本文采用的優(yōu)化算法與其他算法相比,重建圖像中物體的位置、形狀及大小均為最優(yōu),表明了其對中心物體較好的成像效果；流型2至流型5為多物體分布,其中包含一個(gè)中心物體,在此種情況下,由于屏蔽作用,其他算法均很難獲得中心物體較好的重建圖像,甚至無法成像,而優(yōu)化算法可有效區(qū)分中心及邊緣物體,且其重建圖像的形狀保真度較高；流型6為多物體隨機(jī)分布流型,由于ECT系統(tǒng)的軟場效應(yīng),常用算法對此種分布重建效果不理想,不能有效區(qū)分多個(gè)物體,而采用優(yōu)化算法所得重建圖像可清晰的區(qū)分多個(gè)物體,且形狀保真度高。

針對管道中心物體及多物體分布的情況,與常用算法相比,該優(yōu)化算法具有明顯優(yōu)勢。同時(shí),本文使用圖像相對誤差(Er)及相關(guān)系數(shù)(Cc)定量評價(jià)重建圖像質(zhì)量[14]。其計(jì)算公式如式(7)和式(8)所示。

(7)

(8)

由式(7)及式(8)可見,圖像相對誤差越小,相關(guān)系數(shù)越大,表明重建圖像的精度越高,反之則越低。

計(jì)算圖2各重建圖像的圖像相關(guān)誤差及相關(guān)系數(shù),其結(jié)果分別如表1及表2所示。

表1 重建圖像的相對誤差Tab.1 Relative error of reconstructed images

表2 重建圖像的相關(guān)系數(shù)Tab.2 Correlation coefficients of reconstructed images

分析重建圖像的評價(jià)指標(biāo)可知,對于流型1～6,相比于其它3種算法,優(yōu)化算法重建圖像具有更小的相對誤差和更大的相關(guān)系數(shù),算法性能提升效果明顯。

同時(shí),本文還比較了各算法重建圖像所用時(shí)間,其結(jié)果如表3所示。

表3 重建圖像時(shí)間Tab.3 Consuming time of image reconstruction s

由表3可見,Landweber迭代算法獲得重建圖像的時(shí)間最長,比有的算法甚至高出一個(gè)數(shù)量級；LBP算法和Tikhonov正則化算法獲得重建圖像的時(shí)間較小,其原因?yàn)檫@兩種算法是非迭代算法,運(yùn)算比較簡單。而本文采用的優(yōu)化算法,其獲得重建圖像所用時(shí)間明顯低于Landweber迭代方法,與LBP算法和Tikhonov正則化算法相比,優(yōu)化算法獲得重建圖像所用時(shí)間略高,但差別不太大,表明該算法可保證成像的實(shí)時(shí)性要求。

4 靜態(tài)實(shí)驗(yàn)

使用華北電力大學(xué)電學(xué)層析成像技術(shù)研究室的數(shù)字化ECT系統(tǒng)進(jìn)行了靜態(tài)實(shí)驗(yàn),研究了本文提出的優(yōu)化算法對實(shí)際物體的圖像重建效果,ECT數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)如圖3所示。被測管道是內(nèi)徑為100 mm的圓形有機(jī)玻璃管,使用有機(jī)玻璃棒和空氣模擬油-氣兩相流。

圖3 數(shù)字化ECT系統(tǒng)Fig.3 Digital ECT system

在靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中,模擬了5種流型,選取了LBP算法、Landweber迭代算法、Tikhonov正則化算法與本文提出的優(yōu)化算法分別進(jìn)行圖像重建并進(jìn)行分析對比,各算法重建結(jié)果如圖4所示。

圖4 靜態(tài)實(shí)驗(yàn)重建圖像Fig.4 Reconstructed images of static experiment

由圖4可見,流型1為中心單物體分布,流型2至流型5為多物體分布流型,由重建結(jié)果可知,相對于其他幾種算法,采用優(yōu)化算法所得重建圖像可有效分辨物體分布,且偽影更少。尤其對于流型2及流型5這種存在中心物體的多物體分布,使用其他3種算法進(jìn)行圖像重建時(shí),中心物體重建效果差,甚至無法成像,而采用優(yōu)化算法均可得到較好的重建結(jié)果。

5 結(jié) 論

本文針對傳統(tǒng)正則化算法過平滑化導(dǎo)致圖像分辨率較低的問題,提出一種優(yōu)化迭代算法。該算法對場域內(nèi)中心區(qū)域、多物體及小物體介質(zhì)成像的分辨能力明顯提高,同時(shí)具有較快的成像速度,既滿足了系統(tǒng)對于精度的要求,也具有良好的實(shí)時(shí)性。仿真及靜態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文使用的算法相較于其他算法得到的重建圖像精度更高,尤其是在小物體目標(biāo)檢測中效果明顯,為ECT圖像重建問題提供一種可行的方法。