隨機(jī)縱場對一維量子Ising模型動力學(xué)性質(zhì)的影響*

袁曉娟 王輝 趙邦宇 趙敬芬 明靜 耿延雷 張凱煜

(齊魯師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,濟(jì)南 250200)

量子自旋系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)是統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)理論研究的熱點(diǎn)問題.本文利用遞推關(guān)系方法,通過計(jì)算系統(tǒng)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)及譜密度,研究了縱場對一維量子Ising 模型動力學(xué)性質(zhì)的影響.對于常數(shù)縱場的情況,發(fā)現(xiàn)當(dāng)自旋耦合相互作用較弱時(shí)縱場能夠引起不同動力學(xué)行為之間的交跨效應(yīng),且驅(qū)使系統(tǒng)出現(xiàn)了多種振動模式,但較強(qiáng)的自旋耦合相互作用會掩蓋縱場的影響.對于隨機(jī)縱場的情況,分別討論了雙模型隨機(jī)縱場和高斯型隨機(jī)縱場的影響,發(fā)現(xiàn)不同隨機(jī)類型下的動力學(xué)結(jié)果有很大的差別,且高度依賴于隨機(jī)分布中參數(shù)的選取,如雙模分布的均值,高斯分布的均值和偏差等.盡管常數(shù)縱場和隨機(jī)縱場下的動力學(xué)結(jié)果不同,但可以得到一個(gè)共同的結(jié)論:當(dāng)縱場所占比重較大時(shí),系統(tǒng)的中心峰值行為將得到保持.且此結(jié)論可以推廣:系統(tǒng)哈密頓中非對易項(xiàng)的出現(xiàn)有利于中心峰值行為的保持.

1 引言

經(jīng)典或量子多體系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)一直是實(shí)驗(yàn)和理論研究的熱點(diǎn).其中,在對量子自旋系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的研究中,一維橫向Ising 模型被廣泛采用.盡管Ising 模型非常簡單,但卻顯示了非常豐富的物理性質(zhì).研究表明,該模型可以用來描述準(zhǔn)一維有序-無序鐵電體(如 C s(H1?xDx)2PO4,PbH1?xDxPO4)[1?4]、自旋玻 璃(如 L iHO0.167Y0.833F4)[5]、均聚物[6]、DNA 序列[7]、準(zhǔn)一維化合物(如BaCo2V2O8)[8]等眾多材料的性質(zhì).此外,該模型還可以捕捉某些中子散射實(shí)驗(yàn)(例如 L iHOF4材料)的重要特征[9?10].

早期,人們重點(diǎn)關(guān)注純自旋系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì),考慮自旋耦合相互作用和外加的橫向(或縱向)磁場為常數(shù)[11?14].后來,隨著對無序系統(tǒng)的關(guān)注,人們開始研究隨機(jī)外場對自旋動力學(xué)的影響.此時(shí)考慮外加的磁場不再為常數(shù)而是滿足某種概率分布的隨機(jī)數(shù),例如滿足雙模分布[15?18]、三模分布[19]、高斯分布[20,21]、雙高斯分布[22,23]等,且取得了重要的成就和進(jìn)展.近期,實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)當(dāng)外加磁場既有橫場又有縱場時(shí)可以得到一些有趣的結(jié)果.例如,在類XY 量子鐵磁體Cs2CoCl4中,非對易場(noncommuting field)的出現(xiàn)將誘導(dǎo)有序-無序相變[24];在Ising-like 光學(xué)晶格中,通過改變縱場可以引起順磁-反鐵磁相變[25].因此橫場和縱場共同作用(混合磁場)下的自旋系統(tǒng)成為近十幾年來理論研究關(guān)注的焦點(diǎn).研究結(jié)果表明混合磁場下系統(tǒng)的量子相變[26]、基態(tài)相圖[27,28]、熱力學(xué)性質(zhì)[29]、臨界行為[30,31]、熱輸運(yùn)[32]等與系統(tǒng)只有橫場(或縱場)時(shí)的結(jié)果有很大不同.

但據(jù)我們所知,截至目前人們對混合磁場下自旋系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的研究相對較少,尤其對縱場下的自旋動力學(xué)缺乏系統(tǒng)而深入的研究,其主要原因是對動力學(xué)相關(guān)物理量的計(jì)算極具挑戰(zhàn)性.本工作采用一維量子Ising 模型,考慮外加的磁場既有橫場又有縱場.鑒于以往的工作大多研究橫場對自旋動力學(xué)性質(zhì)的影響,這里重點(diǎn)關(guān)注縱場的影響.考慮常數(shù)縱場和隨機(jī)縱場兩種情況,給出系統(tǒng)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和相應(yīng)的譜密度,得出結(jié)論并推廣.

2 模型及方法

當(dāng)外加磁場既有橫場又有縱場時(shí)[11,33?35],一維量子Ising 模型的哈密頓量可以表示為

其中,(αx,y,z) 為格點(diǎn)i處的自旋算符,J是自旋耦合相互作用參數(shù),為縱向磁場,為橫向磁場.(1)式中1/2 是為了計(jì)算方便而選取的常數(shù),計(jì)算采用周期性邊界條件.

研究自旋動力學(xué)性質(zhì)的關(guān)鍵是求解含時(shí)自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)[36],其定義式為

得到.

眾多研究表明遞推關(guān)系方法(recursion method)是求解關(guān)聯(lián)函數(shù)C(t) 及譜密度Φ(ω) 的最有效的方法之一[38?40].該方法由Lee 首先提出,最初用于求解廣義Langevin 方程,隨后被逐漸用于研究自旋系統(tǒng)的動力學(xué).目前遞推關(guān)系方法已被廣泛應(yīng)用于研究電子氣、諧振子鏈、多粒子系統(tǒng)、簡單流體等眾多系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)[41].下面將遞推關(guān)系方法簡述如下.

其中zε+iω(ε>0) 為復(fù)數(shù).由于連分式是無窮階的,因此必須采用一種合理的截?cái)喾椒▽⑵浣財(cái)?其中高斯截?cái)啾容^適合我們的模型,截?cái)嗪笥蒩0(z) 的近似解可以得到譜密度

利用(6)式我們精確計(jì)算了前9 個(gè)基矢,隨著ν的增大,基矢越來越復(fù)雜.因此這里僅給出前兩個(gè)基矢及其相應(yīng)的內(nèi)積,如下

利用(7)式計(jì)算了前9 個(gè)連分式系數(shù)?1,?2,···,?9,進(jìn)而得到自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)及相應(yīng)的譜密度.需要說明的是,以上計(jì)算是在高溫極限下進(jìn)行的,所以動力學(xué)結(jié)果不會受到相變的影響.

3 常數(shù)縱場對動力學(xué)的影響

首先討論縱場取值為常數(shù)時(shí)系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì).為了不失一般性,令橫場1.縱場的取值可以小于1 也可以大于1,例如0,0.5,1.0,1.5 和2.0.當(dāng)縱場取值為0 時(shí),該模型蛻化為一維橫向Ising 模型[15,20].自旋耦合相互作用參數(shù)J取值為0.1,0.5,1.0 和1.5,既考慮了弱耦合(J<1)的情況又考慮了強(qiáng)耦合(J≥1)的情況.圖1 和圖2分別給出了系統(tǒng)在不同參數(shù)下的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)C(t) 及 相應(yīng)的譜密度Φ(ω).

圖1 橫場取值 =1,縱場取值=0,0.5,1.0,1.5 和2.0,(a)?(d)分別對應(yīng)自旋耦合相互作用參數(shù)J=0.1,0.5,1.0 和1.5 時(shí)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.1.Take the transverse magnetic field =1 and the longitudinal magnetic field =0,0.5,1.0,1.5 and 2.0,respectively.Spin autocorrelation functions C (t) for different values of spin interactions (e.g.,J=0.1,0.5,1.0 and 1.5) are given in (a)?(d),respectively.

圖1(a)和圖2(a)分別對應(yīng)J=0.1 時(shí)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和譜密度.此時(shí)由于自旋耦合相互作用比較弱,外加磁場的影響非常明顯.當(dāng)縱場取值為零時(shí),此時(shí)外場只有橫場,系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)(圖1(a)中紅色虛線),相應(yīng)的譜密度峰值出現(xiàn)在ω1 處.顯然,系統(tǒng)的動力學(xué)行為表現(xiàn)為自由自旋在橫場中的進(jìn)動,且進(jìn)動頻率ω,與已有結(jié)果相吻合[20,35],證明我們的計(jì)算是可行的.但隨著縱場的逐漸增強(qiáng)(如0.5,1.0),關(guān)聯(lián)函數(shù)呈余弦振蕩的振幅逐漸變小,相應(yīng)的譜密度峰出現(xiàn)右移且峰值逐漸變小,同時(shí)在ω0 處出現(xiàn)了一個(gè)小的峰.我們把譜密度同時(shí)在ω0和ω0 處出現(xiàn)峰的行為稱為雙峰行為.經(jīng)與已有結(jié)果進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)這種動力學(xué)行為只出現(xiàn)在橫場和縱場共同存在的情況下.因此隨著縱場的增強(qiáng),系統(tǒng)的動力學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)由自由自旋在橫場中的進(jìn)動到雙峰行為的交跨效應(yīng).

圖2 橫場取值 =1,縱場取值=0,0.5,1.0,1.5 和2.0,(a)?(d)分別對應(yīng)自旋耦合相互作用參數(shù)J=0.1,0.5,1.0 和1.5 時(shí)的譜密度.Fig.2.Take the transverse magnetic field =1 and the longitudinal magnetic field =0,0.5,1.0,1.5 and 2.0,respectively.The corresponding spectral density Φ (ω) for different values of spin interactions (e.g.,J=0.1,0.5,1.0 and 1.5) are given in(a)?(d),respectively.

圖1(b)和圖2(b)分別為J0.5 時(shí)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和譜密度.當(dāng)0 時(shí),自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)以阻尼振蕩的形式衰減,相應(yīng)的譜密度峰出現(xiàn)在ω0.5?1.0 處,此時(shí)系統(tǒng)的動力學(xué)表現(xiàn)為典型的集體模行為.但隨著縱場的增強(qiáng)(如1.0,1.5),譜密度由原來的一個(gè)峰逐漸擴(kuò)展為兩個(gè)峰.其中ω0 處的峰值隨著縱場的增強(qiáng)而增大,ω0 處的峰值則逐漸變小,且兩個(gè)峰之間的距離越來越遠(yuǎn).這表明,縱場的增強(qiáng)會使系統(tǒng)的低頻響應(yīng)(ω0 處)更加明顯,而高頻響應(yīng)(ω0 處)被削弱.當(dāng)縱場增大到2.0 時(shí),譜密度出現(xiàn)了3 個(gè)峰,如圖2(b)黑色實(shí)線所示.這表明較強(qiáng)的縱場能夠引起新的振動頻率.因此隨著縱場的增大系統(tǒng)的動力學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)由集體模行為到多峰行為的交跨效應(yīng).從以上分析可以看出,在弱耦合情況下,縱場對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的影響非常明顯,不但能夠引起不同動力學(xué)行為之間的交跨效應(yīng),而且驅(qū)使系統(tǒng)出現(xiàn)了多種振動模式.

圖1(c)和圖2(c)分別為J1.0 時(shí)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和譜密度.當(dāng)0 時(shí),關(guān)聯(lián)函數(shù)呈高斯衰減,相應(yīng)的譜密度峰出現(xiàn)在ω0 處,與已有結(jié)果吻合[20,42].當(dāng)0 時(shí),關(guān)聯(lián)函數(shù)曲線呈單調(diào)遞減,譜密度峰值依然處于ω0 處,這是非常典型的中心峰值行為.需要說明的是,由于計(jì)算中采用了近似處理,所以短時(shí)動力學(xué)行為更加準(zhǔn)確,在圖1(c)中以t<3 的結(jié)果為準(zhǔn)進(jìn)行分析.結(jié)果顯示,隨著縱場的增強(qiáng),關(guān)聯(lián)函數(shù)衰減得越來越慢,相應(yīng)的譜密度峰值越來越大,且譜線越來越向ω0 處集中,這表明縱場的增強(qiáng)可以使中心峰值行為增強(qiáng).但縱場的增強(qiáng)沒有引起動力學(xué)行為之間的交跨現(xiàn)象,這是因?yàn)檩^強(qiáng)的自旋耦合相互作用在動力學(xué)行為中占主導(dǎo)作用,掩蓋了縱場的影響.同樣,在J1.5 的情況下也得到了類似的結(jié)論,如圖1(d)和圖2(d)所示.

以上結(jié)果表明,無論是弱耦合情況還是強(qiáng)耦合情況,縱場的增強(qiáng)可以使系統(tǒng)動力學(xué)行為中的低頻響應(yīng)(中心峰值行為)得到更好的保持,相應(yīng)地使高頻響應(yīng)(集體模行為)減弱.其物理機(jī)制可以從系統(tǒng)哈密頓中的非對易項(xiàng)進(jìn)行分析.之前我們的結(jié)果顯示,次近鄰相互作用的出現(xiàn)能∑夠增強(qiáng)系統(tǒng)的中心峰值行為[43,44],這與縱場的影響結(jié)果類似.經(jīng)進(jìn)一步分析,發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)哈密頓中出現(xiàn)非對易項(xiàng)時(shí)(與橫場項(xiàng)非對易),自旋耦合相互作用將被加強(qiáng),在與橫場競爭中占有優(yōu)勢,從而系統(tǒng)的中心峰值行為得到保持,相應(yīng)地集體模行為被削弱.因此可以在系統(tǒng)哈密頓中加入非對易項(xiàng)來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì),比如D-M 相互作用[45,46]、晶格場作用[47]、雜質(zhì)[48]、鏈間自旋耦合相互作用或四自旋相互作用[49]等.

4 雙模型隨機(jī)縱場對動力學(xué)的影響

通過上面的結(jié)果可以看出,在弱耦合情況下縱場對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的影響比較明顯,所以這里重點(diǎn)分析弱耦合情況下隨機(jī)縱場的影響,比如取自旋耦合相互作用參數(shù)J0.5.首先考慮隨機(jī)縱場滿足雙模分布的情況,這是一種典型的離散型分布,表達(dá)式為

其中B1和B2為均值.該分布的物理含義為,縱場取值為B1(B2)的概率為p(1?p).為了不失一般性,仍令橫場1,均值B1和B2的取值可以大于也可以小于.比如取B11.3 和B20.7,則隨著p的增加縱場的取值從小于橫場的情況變?yōu)榇笥跈M場的情況.圖3 給出了兩種均值取值情況下的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和相應(yīng)的譜密度.圖3(a)和圖3(b) 為B11.3 和B20.7 時(shí)的結(jié)果,圖3(c)和圖3 (d)為B11.8 和B20.2 時(shí)的結(jié)果.

圖3 隨機(jī)縱場滿足雙模分布時(shí)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和譜密度 (a),(b)對應(yīng) B1=1.3 和 B2=0.7 時(shí)的結(jié)果;(c),(d)為 B1=1.8 和B2=0.2 時(shí)的結(jié)果Fig.3.Spin autocorrelation functions and the corresponding spectral densities for bimodal-type random longitudinal magnetic field.The results for B1=1.3 and B2=0.7 are given in (a) and (b),and the results for B1=1.8 and B2=0.2 are given in (c) and(d),respectively.

從圖3(a)和圖3(b)可以看出,當(dāng)p0 時(shí),系統(tǒng)的動力學(xué)行為表現(xiàn)為典型的雙峰行為,此時(shí)ω0和ω0 處的兩個(gè)峰大小幾乎相同,如圖3(b)紅色虛線所示.隨著p的增大,ω0 處的峰逐漸增大,而ω0 處的峰逐漸變小,且兩個(gè)峰之間的距離逐漸變大.這表明隨著縱場所占比重的增大,系統(tǒng)的低頻響應(yīng)增強(qiáng),相應(yīng)地高頻響應(yīng)減弱,這與縱場取值為常數(shù)時(shí)得到的結(jié)論一致.當(dāng)雙模分布的均值取值為B11.8 和B20.2 時(shí),雙模分布的不對稱性增強(qiáng).圖3(c)和圖3(d)顯示隨著p的增大系統(tǒng)的動力學(xué)出現(xiàn)了由集體模行為到雙峰行為的交跨效應(yīng).這表明雙模分布的不對稱性越明顯(B1和B2的取值差別越大),越容易引起不同動力學(xué)行為之間的交跨現(xiàn)象.從以上分析可以看出,對于雙模隨機(jī)縱場,系統(tǒng)的動力學(xué)高度依賴于隨機(jī)分布的均值,且不對稱的雙模分布更容易引起新的振動模式.

5 高斯型隨機(jī)縱場對動力學(xué)的影響

現(xiàn)在討論隨機(jī)縱場滿足高斯分布的情況,這是一種典型的連續(xù)型分布,表達(dá)式為

其中,Bx為均值,σ為偏差.橫場取值仍為1,縱場均值Bx的取值可以小于1 也可以大于1,比如取0,0.5,1.0,1.5 和2.0.為了更好地顯示動力學(xué)行為的演變過程,偏差的取值從一個(gè)較小值(如0.3)變?yōu)檩^大值(如1.8).計(jì)算中參數(shù)的選取有很多種,這里僅給出具有典型代表作用的一些結(jié)果.由于關(guān)聯(lián)函數(shù)和譜密度呈現(xiàn)的動力學(xué)結(jié)果一致,因此這里僅給出譜密度結(jié)果,如圖4 所示.

圖4 隨機(jī)縱場滿足高斯分布時(shí)的譜密度 (a)?(d)分別對應(yīng) σ =0.3, 0.8, 1.0, 1.8 時(shí)的結(jié)果.Fig.4.Spectral densities for Gaussian-type random longitudinal magnetic field.The results for σ =0.3, 0.8, 1.0 and 1.8 are given in (a)?(d),respectively.

圖4(a)對應(yīng)σ0.3 時(shí)的結(jié)果.當(dāng)均值較小時(shí)(Bx0)系統(tǒng)表現(xiàn)為典型的集體模行為,隨著均值的逐漸增大,譜密度逐漸擴(kuò)展為兩個(gè)峰(如Bx1.0 和1.5),因此系統(tǒng)經(jīng)歷了一個(gè)由集體模行為到雙峰行為的交跨效應(yīng).顯然這種效應(yīng)是由于均值變化所引起.隨著偏差的增大(如σ0.8 和1.3),系統(tǒng)的集體模行為消失,同時(shí)雙峰行為也隨著Bx的增大而逐漸演變?yōu)橹行姆逯敌袨?這表明,隨機(jī)縱場偏差的增大使得系統(tǒng)的中心峰值行為得到保持,相應(yīng)地集體模行為被削弱.繼續(xù)增大偏差(如σ1.8),系統(tǒng)僅表現(xiàn)為中心峰值行為,如圖4(d)所示.已有結(jié)果顯示,當(dāng)高斯型隨機(jī)橫場的偏差較大時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)為無序行為[20].這表明隨機(jī)縱場對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的影響與隨機(jī)橫場的影響有很大的差別.

將圖3 和圖4 進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)對于不同類型的隨機(jī)縱場,其動力學(xué)結(jié)果有很大的差別,高斯型隨機(jī)縱場下的動力學(xué)結(jié)果更加豐富.但我們可以得到一個(gè)共同的結(jié)論,那就是當(dāng)縱場所占的比重較大時(shí),系統(tǒng)的中心峰值行為將得到保持,這與縱場取值為常數(shù)時(shí)的結(jié)論一致.

6 結(jié)論

本文利用遞推關(guān)系方法研究了常數(shù)縱場和隨機(jī)縱場對Ising 模型動力學(xué)性質(zhì)的影響.研究發(fā)現(xiàn)在常數(shù)縱場下,當(dāng)自旋耦合相互作用較弱時(shí)縱場的影響較明顯,不但能夠引起不同動力學(xué)行為之間的交跨效應(yīng),而且能夠驅(qū)使系統(tǒng)出現(xiàn)多種振動模式;但較強(qiáng)的自旋耦合相互作用會掩蓋縱場的影響.在隨機(jī)縱場下,發(fā)現(xiàn)不同類型的隨機(jī)縱場對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的影響有很大的差別,且高度依賴于隨機(jī)分布中參數(shù)的選取.對于雙模型隨機(jī)縱場,發(fā)現(xiàn)不對稱的雙模分布更容易引起新的振動模式.對于高斯型隨機(jī)縱場,發(fā)現(xiàn)當(dāng)高斯分布的偏差較小時(shí),隨著均值的增大系統(tǒng)經(jīng)歷了不同動力學(xué)行為之間的交跨效應(yīng),但當(dāng)偏差較大時(shí),系統(tǒng)僅表現(xiàn)為中心峰值行為.

盡管常數(shù)縱場和隨機(jī)縱場下的動力學(xué)結(jié)果有很大差別,但可以得到一個(gè)共同的結(jié)論:當(dāng)縱場所占比重較大時(shí),系統(tǒng)的中心峰值行為將得到保持.經(jīng)進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),此結(jié)論可以推廣為:系統(tǒng)哈密頓中非對易項(xiàng)的出現(xiàn)有利于中心峰值行為的保持.因此可以在系統(tǒng)哈密頓中加入非對易項(xiàng)來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì),比如次近鄰相互作用、D-M 相互作用、雜質(zhì)、鏈間自旋耦合相互作用或四自旋相互作用等.這為將來研究自旋系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)提供了新的方向.