面向工程應(yīng)用的應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象的有限元研究

高思遠(yuǎn)，趙旭東，李衛(wèi)民，江國海

面向工程應(yīng)用的應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象的有限元研究

高思遠(yuǎn)1，趙旭東2，李衛(wèi)民2，江國海2

（1. 錦州師范高等專科學(xué)校 機械電子工程系，遼寧 錦州 121001；2. 遼寧工業(yè)大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

首先針對應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象產(chǎn)生的原因進(jìn)行了分析與總結(jié)；對應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異在有限元求解過程中的變化規(guī)律進(jìn)行了研究。此外，對不同網(wǎng)格類型及尺寸對有限元求解精度的影響進(jìn)行了分析。隨后，對應(yīng)力奇異與應(yīng)力集中的區(qū)別進(jìn)行了討論。最后，就所研究的問題總結(jié)了工程上的處理對策。

有限元技術(shù)；應(yīng)力集中；應(yīng)力奇異；網(wǎng)格無關(guān)解校驗

在現(xiàn)代化生產(chǎn)中，由于產(chǎn)品性能的不斷提升所帶來的工程問題也日趨復(fù)雜化，為了達(dá)到預(yù)期的性能目標(biāo)，工程設(shè)計人員在產(chǎn)品還未生產(chǎn)之前就需要對產(chǎn)品的可靠性、安全性能以及經(jīng)濟價值有一個宏觀的預(yù)估。

多數(shù)產(chǎn)品在研發(fā)過程中都需要進(jìn)行靜態(tài)、動態(tài)或多物理場的校核，在靜力學(xué)分析中，常常被關(guān)注的問題莫過于要考慮產(chǎn)品在剛度、強度、穩(wěn)定性與疲勞失效等方面的問題。同時，在基于有限元技術(shù)進(jìn)行產(chǎn)品結(jié)構(gòu)靜力學(xué)校核過程中，由于產(chǎn)品自身結(jié)構(gòu)原因，求解中極易出現(xiàn)應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象，這是每一個從事產(chǎn)品開發(fā)的CAE從業(yè)人員都無法規(guī)避的技術(shù)問題。由于局部應(yīng)力集中現(xiàn)象或奇異解的出現(xiàn)，就會使計算得到的結(jié)果偏離了真實解，通常經(jīng)計算得到的應(yīng)力結(jié)果不能應(yīng)用于后續(xù)產(chǎn)品的疲勞性能評估[1]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞板孔的應(yīng)力集中及其失效問題，不同材料之間連接的應(yīng)力集中問題等進(jìn)行了相關(guān)研究[2-7]。

基于此，在國內(nèi)外研究成果基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識并了解在有限元求解過程中，產(chǎn)品應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象產(chǎn)生的原因、掌握其變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上找到解決這一問題的有效方法，將有利于提高有限元技術(shù)在工程應(yīng)用中的求解精度與可信度。

1 應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異產(chǎn)生的原因

1.1 應(yīng)力集中現(xiàn)象產(chǎn)生的原因

在產(chǎn)品設(shè)計過程中進(jìn)行剛度與強度的校核是必不可少的設(shè)計過程，產(chǎn)品剛度校核主要是關(guān)注產(chǎn)品在承受外力作用下抵抗變形的能力，而強度的校核則是關(guān)注產(chǎn)品在承受外力作用下抵抗破壞的能力。當(dāng)產(chǎn)品承受交變載荷時，產(chǎn)品是否具有良好的設(shè)計結(jié)構(gòu)和足夠的強度會對其使用壽命產(chǎn)生直接影響，因此，應(yīng)力強度的計算是靜強度和疲勞校核的基礎(chǔ)。

通常機械零部件結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變，當(dāng)零件結(jié)構(gòu)上存在孔、凹槽、凸臺或是含有缺口等特征時，由于零件在這些特征的截面處存在幾何形狀上的劇烈變化，將會導(dǎo)致這些特征的局部位置存在較高的應(yīng)力，而這些較高應(yīng)力的峰值則遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于由理論公式所求得的應(yīng)力值，出現(xiàn)這一現(xiàn)象時則認(rèn)為產(chǎn)品結(jié)構(gòu)上出現(xiàn)了應(yīng)力集中的現(xiàn)象[8]。

1.2 應(yīng)力奇異現(xiàn)象產(chǎn)生的原因

應(yīng)力奇異主要是指由于受力件自身幾何結(jié)構(gòu)的影響，在求解應(yīng)力函數(shù)時，出現(xiàn)了應(yīng)力解發(fā)散的情況。導(dǎo)致求解過程中應(yīng)力奇異現(xiàn)象出現(xiàn)的影響因素不一，基本是由于邊界條件設(shè)置、集中載荷施加、模型光順程度以及材料的光順性等因素造成的[9]。

在實際問題中，任何一個構(gòu)件都是存在一定強度的，并不可能存在無限大的應(yīng)力值，并且零件在切削加工過程中，金屬切削刀具的切削刃上均會存在圓弧，所以沒有絕對的直角邊。由此可知，在實際結(jié)構(gòu)中應(yīng)力奇異是不存在的，而這一現(xiàn)象的產(chǎn)生只會存在于數(shù)值計算中，其出現(xiàn)的主要原因在于模型的過度簡化、實際外載的施加以及邊界條件設(shè)置等方面存在問題，導(dǎo)致求解應(yīng)力函數(shù)時出現(xiàn)了奇異解。奇異點的存在往往會導(dǎo)致有限元計算過程中解的收斂速度變慢。

應(yīng)力奇異現(xiàn)象的產(chǎn)生最本質(zhì)特征為：模型在有限元求解過程中，隨著網(wǎng)格尺寸的不斷變小，求解得到的應(yīng)力卻無限變大。由于求解模型的過度簡化，對于直角過渡位置或是當(dāng)載荷集中施加在某一點上時，在同等載荷作用下，受力面是一條沒有面積的直線，由式(1)可知，當(dāng)外載一定時，受力面積無限趨近于零，所得到的應(yīng)力是趨近于無窮大的，而導(dǎo)致這一問題的出現(xiàn)的原因在于建立有限元模型時采用了理想化模型。

2 應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異在有限元求解過程中的變化規(guī)律

2.1 分析模型的建立

因為應(yīng)力集中和應(yīng)力奇異與受力體結(jié)構(gòu)及有限元求解過程中的離散程度有直接關(guān)系。所以，現(xiàn)以某簡化的吊鉤結(jié)構(gòu)為研究對象，來探究其在有限元求解過程中位移與應(yīng)力的變化規(guī)律，以及采用不同類型的求解單元對求解精度的影響，模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。吊鉤結(jié)構(gòu)從用途上看為典型的受力件，模型中含有圓孔及大弧度曲面等幾何要素，這在求解過程中對網(wǎng)格質(zhì)量有較大要求，也便于研究不同網(wǎng)格尺寸在求解精度上的影響規(guī)律。同時，為了區(qū)分不同結(jié)構(gòu)對于有限元結(jié)果的影響，僅在掛鉤受力的關(guān)鍵位置加以區(qū)別，分為直角模型及圓角模型，如圖1所示。

圖1 用于有限元分析的模型圖

定義吊鉤材料為結(jié)構(gòu)鋼，在受力面施加一方向向下的靜載荷，大小為10 000 N，并對上端圓孔施以固定約束。分別使用不同尺寸及類型的單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格類型為四面體高/低階單元、六面體高/低階單元；網(wǎng)格大小為1～20（單位: mm，增量為1），經(jīng)靜力學(xué)求解后對比其位移以及應(yīng)力結(jié)果。

2.2 不同求解單元對直角模型應(yīng)力位置及求解精度的影響

圖2～圖4分別為網(wǎng)格尺寸為20、12、2 mm下采用六面體高階單元求得的直角模型的應(yīng)力結(jié)果。觀察求得的應(yīng)力云圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著網(wǎng)格尺寸不斷加密，最大應(yīng)力出現(xiàn)位置的不斷靠近結(jié)構(gòu)中的直角過渡位置(銳利的拐角位置)，由圖2及圖3觀察可知，最大等效應(yīng)力出現(xiàn)位置并未完全覆蓋兩層網(wǎng)格。當(dāng)網(wǎng)格劃分比較稀疏時，對于梯度變化較大的應(yīng)力不易被捕捉到，最大等效應(yīng)力值的大小及出現(xiàn)的位置是不準(zhǔn)確的。

圖2 網(wǎng)格尺寸為20 mm條件下的應(yīng)力

圖3 網(wǎng)格尺寸為12 mm條件下的應(yīng)力

圖4 網(wǎng)格尺寸為2 mm條件下的應(yīng)力

圖5所示，為采用不同單元類型與尺寸求得的直角模型應(yīng)力解的變化規(guī)律，由于直角模型在受力關(guān)鍵位置含有銳利的直邊，在外載及邊界條件不變的情況下，隨著網(wǎng)格的不斷加密，應(yīng)力解逐漸變大，出現(xiàn)發(fā)散趨勢，當(dāng)網(wǎng)格尺寸細(xì)化到小于4 mm時，應(yīng)力值出現(xiàn)了陡增，應(yīng)力解出現(xiàn)了明顯的發(fā)散現(xiàn)象。同時觀察求解結(jié)果也可以發(fā)現(xiàn)在同等網(wǎng)格尺寸下，采用高階單元所求解的應(yīng)力值普遍高于低階單元的求解結(jié)果，但是當(dāng)網(wǎng)格細(xì)化到一定程度，高階單元的發(fā)散趨勢更為明顯。

2.3 不同求解單元對直角模型位移求解精度影響

如圖6所示，是采用不同單元類型與尺寸求得的直角模型的位移解的變化規(guī)律，從圖中的變化規(guī)律可以看出采用高階單元求得的位移解，在求解過程中位移受網(wǎng)格尺寸變化的影響不明顯，具有良好的穩(wěn)定性。當(dāng)使用低階單元進(jìn)行求解時，無論是四面體單元還是六面體單元，受網(wǎng)格尺寸變化的影響較大，隨著網(wǎng)格尺寸的不斷加密，位移解逐漸趨于真實解。同時，當(dāng)采用六面體低階單元進(jìn)行求解且網(wǎng)格劃分的極為粗糙時，所求的位移解出現(xiàn)了較大程度的震蕩，證明所求得的位移解存在較大誤差。

圖5 直角模型不同單元類型及網(wǎng)格尺寸下的應(yīng)力解

圖6 直角模型不同單元類型及網(wǎng)格尺寸下的位移解

2.4 不同求解單元對圓直角模型應(yīng)力位置及求解精度的影響

圖7～圖9分別為網(wǎng)格尺寸為19、5、1 mm下采用六面體高階單元求得的圓角模型的應(yīng)力結(jié)果。不論網(wǎng)格劃分的粗細(xì)與否，最大應(yīng)力的出現(xiàn)位置基本都在圓角附近。觀察圖7可知，由于網(wǎng)格劃分的過于粗糙，最大等效應(yīng)力并未均勻覆蓋兩層網(wǎng)格。因此，對于圓角結(jié)構(gòu)當(dāng)網(wǎng)格劃分比較稀疏時，最大等效應(yīng)力數(shù)值及出現(xiàn)的位置可靠度略低。但隨著網(wǎng)格尺寸的不斷加密，最大等效應(yīng)力基本出現(xiàn)在圓角上，且數(shù)值相差不大。由圖10觀察可知，當(dāng)網(wǎng)格尺寸細(xì)密到一定程度，最大等效應(yīng)力解出現(xiàn)的位置及數(shù)值大小基本不再出現(xiàn)變化，表示最大等效應(yīng)力數(shù)值的區(qū)域所覆蓋的網(wǎng)格層數(shù)在不斷增加，證明結(jié)果具有更高的可信度。

如圖11所示，是采用不同單元類型與尺寸求得的圓角模型應(yīng)力解的變化規(guī)律。

圖7 網(wǎng)格尺寸為19 mm條件下的應(yīng)力

圖8 網(wǎng)格尺寸為5 mm條件下的應(yīng)力

圖9 網(wǎng)格尺寸為1 mm條件下的應(yīng)力

圖10 網(wǎng)格尺寸為1 mm時的最大應(yīng)力處局部放大圖

可以看出，四面體高階單元與六面體高階單元所求結(jié)果較為吻合，整體趨勢均不存在大幅度變化，應(yīng)力解穩(wěn)定，圓角結(jié)構(gòu)具有良好收斂性。當(dāng)網(wǎng)格尺寸細(xì)化到8 mm以下時，所求應(yīng)力解幾乎不變，收斂于66 MPa左右，高階單元的求解精度均明顯高于低階單元。當(dāng)采用四面體低階單元進(jìn)行求解時，由于網(wǎng)格劃分過于粗糙，所求應(yīng)力解出現(xiàn)了較大幅度變化，具有明顯的求解誤差。

圖11 圓角模型不同單元類型及網(wǎng)格尺寸下的應(yīng)力解

2.5 不同求解單元對直角模型位移求解精度影響

如圖12所示，圓角模型的位移解的變化規(guī)律與直角模型基本一致，但當(dāng)采用高階單元求解時位移解更為穩(wěn)定，基本收斂于0.173 mm。

圖12 圓角模型不同單元類型及網(wǎng)格尺寸下的位移解

2.6 不同求解單元對兩類模型最大位移位置及求解精度的比較

觀察圖13的吊鉤位移云圖可知，無論是直角模型亦或是圓角模型，也無論網(wǎng)格尺寸劃分的疏密與否，最大位移出現(xiàn)的位置相一致，均在掛鉤受力面左側(cè)遠(yuǎn)離固定約束位置的邊緣處，位移解的數(shù)值大小變化幅度不大，基本相同，同時觀察云圖還可以看出，圓角結(jié)構(gòu)相較于直角結(jié)構(gòu)具有更高的剛度。此外，即使是直角模型中應(yīng)力解存在應(yīng)力奇異現(xiàn)象，但是其位移解與網(wǎng)格粗細(xì)程度無關(guān)，即使網(wǎng)格劃分的較為粗糙，也可以獲得具有一定可信度的位移解。因此，在工程中如果僅需要校核結(jié)構(gòu)的剛度，可以采用較為稀疏的網(wǎng)格劃分方法，在提高計算效率的基礎(chǔ)上同樣可以得到精確解。

圖13 吊鉤位移解

3 應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異區(qū)別

應(yīng)力奇異現(xiàn)象只會存在于數(shù)值計算中，這是有限元求解應(yīng)力問題時固有的缺陷與不足，也是應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象在來源上的最本質(zhì)區(qū)別。應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象具有一定聯(lián)系，但在一定情況下應(yīng)力集中并不完全等同于應(yīng)力奇異。這一現(xiàn)象可借由板孔實驗進(jìn)行研究。

采用結(jié)構(gòu)為一端固定，另一端施加拉力的鋼板進(jìn)行研究，當(dāng)網(wǎng)格尺寸為6 mm時，所求的的應(yīng)力如圖14所示；當(dāng)網(wǎng)格尺寸為0.6 mm時，所求的的應(yīng)力如圖15所示。

圖14 網(wǎng)格尺寸為6 mm時的應(yīng)力解

由求得的等效應(yīng)力云圖可知，在圓孔豎直方向的邊緣位置應(yīng)力值較大，存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，對模型進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，經(jīng)二次求解后由計算結(jié)果云圖可以看出，最大應(yīng)力出現(xiàn)位置并未發(fā)生變化，表示最大等效應(yīng)力數(shù)值的區(qū)域所覆蓋的網(wǎng)格層數(shù)增加且求得的應(yīng)力解也并未出現(xiàn)急劇上升，隨著網(wǎng)格的加密，應(yīng)力值越來越趨于穩(wěn)定并且接近真實值，經(jīng)計算前后兩次求解應(yīng)力誤差為0.028%。因此，由上面的分析結(jié)果可以看出，板孔結(jié)構(gòu)存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，但圓孔處的應(yīng)力值并不隨著模型網(wǎng)格的細(xì)化而發(fā)散，即所求得的應(yīng)力解不存在應(yīng)力奇異。例如圓孔附近的應(yīng)力解是收斂解，所以應(yīng)力集中出現(xiàn)位置不一定是應(yīng)力奇異，但應(yīng)力奇異現(xiàn)象出現(xiàn)的位置一定存在應(yīng)力集中，這是二者的另一重要區(qū)別。

圖15 網(wǎng)格尺寸為0.6 mm時的應(yīng)力解

4 應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異處理方法

4.1 保證計算過程中前處理符合求解要求

在有限元計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力時，其計算結(jié)果與網(wǎng)格的密度及劃分質(zhì)量有較大聯(lián)系。在求解時首要的就是在保證材料本構(gòu)模型正確的基礎(chǔ)上，確保有限元分析的前處理過程中網(wǎng)格劃分的數(shù)量及質(zhì)量滿足基本的求解要求。

一般的，在網(wǎng)格劃分過程中，應(yīng)保證模型的網(wǎng)格劃分層數(shù)沿模型厚度方向最少劃分出3層單元。此外，通過改善網(wǎng)格的相關(guān)中心、平滑度以及臨近單元過渡等設(shè)置，可以使網(wǎng)格劃分質(zhì)量得到有效改善。對于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)或大曲率型面的分析模型，使用帶有中間節(jié)點的高階單元同樣有助于提升網(wǎng)格劃分質(zhì)量，同時由前面的分析可知，采用高階單元也有助于提高求解精度。當(dāng)網(wǎng)格劃分完成以后，對網(wǎng)格劃分質(zhì)量進(jìn)行評估時，對于靜力學(xué)求解而言，一般選擇平均網(wǎng)格質(zhì)量及平均扭曲度兩個準(zhǔn)則作為網(wǎng)格劃分后質(zhì)量的評估。根據(jù)工程經(jīng)驗當(dāng)平均網(wǎng)格質(zhì)量數(shù)值A(chǔ)verage>0.75，扭曲度Average<0.5時，即認(rèn)為網(wǎng)格劃分質(zhì)量達(dá)到了求解標(biāo)準(zhǔn)。

4.2 應(yīng)力集中現(xiàn)象的處理

4.2.1 通過結(jié)構(gòu)改進(jìn)來弱化應(yīng)力集中現(xiàn)象

由前面的分析可知，應(yīng)力集中主要是與零部件結(jié)構(gòu)及材料性質(zhì)有關(guān)，通過合理改進(jìn)零件或裝配體的結(jié)構(gòu)可以有效改善應(yīng)力集中現(xiàn)象。例如：可以在模型設(shè)計過程中增大結(jié)構(gòu)中的圓角、增加圓弧槽或是通過改變具體結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)模型中力的傳遞路徑的改變，將應(yīng)力集中區(qū)域的應(yīng)力有效分散；若零部件結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，含有多處應(yīng)力集中位置，在設(shè)計過程中，應(yīng)盡量采用合理的結(jié)構(gòu)來疏遠(yuǎn)應(yīng)力集中過于密集的區(qū)域，目的是為了避免應(yīng)力集中區(qū)域彼此間因為距離過近而出現(xiàn)應(yīng)力疊加的現(xiàn)象，而防止應(yīng)力陡升現(xiàn)象的出現(xiàn)；此外，對于結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的局部應(yīng)力較高的現(xiàn)象，在零件設(shè)計過程中對于局部位置增加加強筋及肋板，對于改善局部位置的應(yīng)力集中現(xiàn)象以及提升整體剛度均有一定幫助。

4.2.2 不同材料對應(yīng)力集中的處理方法

通常零件在靜載荷作用下，不同材料對于應(yīng)力集中問題的考慮是不同的。對于塑性材料來說，由于材料本身的靜力學(xué)特點，材料在承受外部載荷以后，由于劃痕、局部的幾何缺陷或是細(xì)微圓角等局部細(xì)小的幾何結(jié)構(gòu)所引起的應(yīng)力集中問題，在實際應(yīng)用中，會因為所在位置的局部細(xì)微的塑性形變而得到緩解。此時，在靜力學(xué)校核過程中就可以忽略應(yīng)力集中對零部件性能的影響。

當(dāng)零部件內(nèi)部組織均勻，但為脆性材料時，此時就應(yīng)考慮應(yīng)力集中現(xiàn)象對零部件性能的影響，主要原因在于脆性材料不會像塑性材料通過局部的塑性形變來降低局部應(yīng)力，一旦在脆性材料中出現(xiàn)了應(yīng)力集中現(xiàn)象，在局部高應(yīng)力區(qū)內(nèi)極易產(chǎn)生裂紋等缺陷，在外力作用下會迅速降低產(chǎn)品的可靠性，縮短其使用壽命；當(dāng)零部件是由鑄鐵等內(nèi)部組織非均勻的脆性材料鑄造而成時，受冶金作用的影響其結(jié)構(gòu)內(nèi)部的晶粒通常較為粗大，且具有較大的不均勻性，同時還有鑄造產(chǎn)生的相應(yīng)缺陷。這兩者均是引起構(gòu)件出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象的重要因素。但鑄件為了便于脫模，其結(jié)構(gòu)上均含有鑄造圓角，對于鑄件來說因結(jié)構(gòu)外形驟變引起的應(yīng)力集中現(xiàn)象反而不明顯。因此，靜載荷作用時鑄件可不考慮應(yīng)力集中現(xiàn)象的影響；若構(gòu)件承受動載荷，無論組成材料是塑性材料還是脆性材料，均應(yīng)考慮應(yīng)力集中現(xiàn)象對結(jié)構(gòu)的影響。相對應(yīng)的，應(yīng)力集中對構(gòu)件的疲勞壽命具有重要影響，通過以上分析可以得出，無論構(gòu)件由上述哪一種材料構(gòu)成，在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞可靠性分析時，都必須考慮到應(yīng)力集中現(xiàn)象對于疲勞壽命的影響。

4.2.3 復(fù)雜模型出現(xiàn)應(yīng)力集中的處理方法

在對于產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)結(jié)構(gòu)校核時，通常單個零件或是裝配體結(jié)構(gòu)復(fù)雜的情況下，單單憑借經(jīng)驗是很難準(zhǔn)確估計出結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力集中位置，這時有限元技術(shù)就可較好地解決這一問題。校核產(chǎn)品的剛度與強度過程中可以首先對有限元的分析模型進(jìn)行較為粗糙的網(wǎng)格劃分，即試算，在網(wǎng)格劃分質(zhì)量滿足基本的靜力學(xué)要求時，這樣可以較為迅速的鎖定應(yīng)力集中位置，同時對于遠(yuǎn)離應(yīng)力集中區(qū)域部分的結(jié)果是具有較高可靠度的。而對于結(jié)果中應(yīng)力集中區(qū)域，可以采用局部網(wǎng)格加密二次計算的方法求得應(yīng)力集中位置較為準(zhǔn)確的應(yīng)力解。常采用的二次計算方法主要有利用“影響球”功能進(jìn)行局部加密或是子模型技術(shù)進(jìn)行局部位置的網(wǎng)格精細(xì)化劃分，用以得到較為準(zhǔn)確的收斂解。

4.3 應(yīng)力奇異現(xiàn)象的處理

應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象相伴且共生，通過前面的分析可知，存在奇異解的有限元模型，在奇異解位置一定會有應(yīng)力集中現(xiàn)象。想要消除奇異解，其本質(zhì)還是應(yīng)該首先解決模型中的應(yīng)力集中問題。由于求解過程中模型的過度簡化，所引入的任何一處尖角位置，都可能會導(dǎo)致計算過程中出現(xiàn)奇異解。因此，計算過程中能夠合理簡化圓角結(jié)構(gòu)就顯得尤為重要。此外，在計算過程中根據(jù)零件或裝配體實際工況，合理添加約束和載荷也是避免奇異解出現(xiàn)的重要因素。通常靜力學(xué)分析中，在固定約束位置易出現(xiàn)應(yīng)力奇異解，因此需要工程人員合理分析實際工況適當(dāng)使用固定約束。

在對于奇異解的處理問題上，對于非關(guān)鍵位置可以采用局部比例尺涂白進(jìn)行處理；當(dāng)分析模型的過度簡化，致使模型中存在銳利的尖角或直角邊且分析模型過于龐大時，可采用子模型分析技術(shù)，進(jìn)行模型的二次創(chuàng)建，求出較為精確的收斂解；總而言之，對于應(yīng)力奇異問題的處理辦法，最為行之有效的措施就是在模型出現(xiàn)奇異的直邊位置添加圓角或圓弧過渡面。

4.4 網(wǎng)格無關(guān)解校驗

在有限元計算過程中，當(dāng)單元內(nèi)部不滿足平衡方程，或是單元與單元交界面上的應(yīng)力存在不連續(xù)性，又或者在力的界面上不滿足外載施加的邊界條件，以上3種情況在有限元求解過程中都會帶來離散誤差。在有限元求解過程中當(dāng)模型本構(gòu)、單元類型、邊界條件與外載的施加均不變的情況下，有限元技術(shù)所求的應(yīng)力解與網(wǎng)格的尺寸是具有極其密切的聯(lián)系的。

4.4.1 有限元求解產(chǎn)生誤差的原因

有限元計算結(jié)果存在一定的誤差，誤差的本質(zhì)是有限單元分析的計算結(jié)果與數(shù)學(xué)模型精確解間的不一致性。有限元計算過程將連續(xù)體離散成帶有公共節(jié)點的單元形式進(jìn)行逼近，這就意味著只要采用有限元技術(shù)進(jìn)行求解就會帶來離散化誤差。當(dāng)有限元模型中的單元趨近于無窮小則可近似的認(rèn)為，模型等同于原來的連續(xù)體而消除離散化誤差，然而在實際計算中這一過程是不可能實現(xiàn)的。有限單元解法會受到網(wǎng)格數(shù)量、每個網(wǎng)格上的節(jié)點數(shù)量、單元形狀函數(shù)的性質(zhì)、等參數(shù)單元所用的積分規(guī)則以及特殊單元其它公式化細(xì)節(jié)的影響。而離散誤差的大小取決于模型離散方程的截斷誤差（舍入誤差）的有效數(shù)字位數(shù)。通常截斷誤差在應(yīng)用求解算法之前就已經(jīng)存在于所采用的單元和結(jié)構(gòu)矩陣之中。正常在相同的網(wǎng)格步長之下，截斷誤差的階數(shù)越高（有效數(shù)字位數(shù)越多），相對應(yīng)的離散誤差就會越小。對于相同的離散方式，單元數(shù)量越多，對應(yīng)的離散誤差也會越小。模型劃分出足夠細(xì)化的網(wǎng)格，就可以確定出“真實的”收斂率。網(wǎng)格的細(xì)化需要有度，在計算過程中顯然不可能采用單元尺寸趨近于0的單元步長，因為這會帶來離散方程數(shù)目的激增，致使計算量過大，由于方程求解次數(shù)的激增，會導(dǎo)致數(shù)值解埋沒于舍入誤差之中。

4.4.2 消除有限元求解誤差的方法

在實際應(yīng)用中，網(wǎng)格細(xì)化的程度應(yīng)該是在工程允許的誤差范圍內(nèi)，模型經(jīng)網(wǎng)格細(xì)化操作后所求得的結(jié)果，與前一次相比幾乎不再發(fā)生變化，這樣所獲得的解就是網(wǎng)格無關(guān)解。這一方法有助于縮小離散誤差得到較為精確地結(jié)果，同時也有助于校驗所求解中是否存在奇異解。

相對應(yīng)的，對于一個科學(xué)且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠邢拊治?，就必須校驗所求得的靜力學(xué)結(jié)果與網(wǎng)格的疏密程度是無關(guān)的。目前，獲得網(wǎng)格無關(guān)的解是國際學(xué)術(shù)界接受數(shù)值模擬類論文的基本要求，并且在粗分網(wǎng)格與精細(xì)化劃分的網(wǎng)格條件下，前后兩次求解誤差應(yīng)保持在3%的誤差范圍以內(nèi)，或者需要更小誤差來滿足工程需求。由前面對于直角與圓角模型的分析可以看出，不同類型的求解單元對求解精度存在一定影響，因此還可以校驗計算結(jié)果在不同網(wǎng)格類型下的無關(guān)性。

5 結(jié)論

應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異現(xiàn)象是靜力學(xué)求解中常見的工程問題，奇異解的出現(xiàn)對產(chǎn)品強度及疲勞壽命的校核均會產(chǎn)生較大影響，通過上述系列研究得到如下結(jié)論：

(1)應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異在來源上有本質(zhì)區(qū)別，應(yīng)力集中現(xiàn)象存在現(xiàn)實的結(jié)構(gòu)當(dāng)中，而應(yīng)力奇異現(xiàn)象僅存在于數(shù)值計算之中；存在應(yīng)力集中的位置不一定存在奇異解，但是存在奇異解的位置一定存在應(yīng)力集中。并且在有限元計算過程中，對于應(yīng)力奇異解，網(wǎng)格劃分的越細(xì)，應(yīng)力結(jié)果越大，趨于發(fā)散。

(2)高階單元相比于低階單元，計算結(jié)果具有更高的可信度，四面體低階單元計算結(jié)果可信度最低，在模型網(wǎng)格劃分較為粗糙時，具有較大的誤差。

(3)位移解受模型網(wǎng)格劃分疏密程度影響較小，即使是采用較為粗糙的網(wǎng)格進(jìn)行計算，也可較為準(zhǔn)確的估計出模型的位移解。

(4)改善模型中應(yīng)力集中的較好方法是增加大弧度圓角結(jié)構(gòu)，對于解決應(yīng)力奇異的最行之有效的方法也是合理的添加圓角結(jié)構(gòu)。

(5)在有限元計算過程中，當(dāng)出現(xiàn)奇異解時，除合理修改結(jié)構(gòu)和劃分網(wǎng)格外，對于本構(gòu)模型、邊界條件及外載、初始條件的檢查也非常必要。

(6)在有限元分析中，子模型技術(shù)對于獲得復(fù)雜結(jié)構(gòu)較為精確的應(yīng)力解具有突出優(yōu)勢，并且對于合格的數(shù)值模擬分析，應(yīng)進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)解校驗。

[1] 徐麗, 高嵩, Nigel Barltrop. 存在奇異點的結(jié)構(gòu)疲勞評估簡單方法[J]. 船舶工程, 2013, 35(6): 9-14.

[2] Abdelhak Khechai, Abdelouahab Tati, Abdelhamid Guettala. Finite element analysis of stress concentrations and failure criteria in composite plates with circular holes[J]. Frontiers of Mechanical Engineering, 2014, 9(3): 281-294.

[3] Alireza Fallahi Arezoodar, Ali Baladi. The Effects of Materials Properties & Angle Junction on Stress Concentration at Interface of Dissimilar Materials[J]. Advanced Materials Research, 2012(1518): 887-892.

[4] Murer S, Leguillon D Static and fatigue failure of quasi-brittle materials at a V-notch using a Dugdale model[J]. European Journal of Mechanics - A/Solids, 2009, 29(2): 109-118.

[5] 張進(jìn), 吳健, 王緯波, 等. 45鋼橢圓孔板應(yīng)力集中的應(yīng)變率效應(yīng)[J]. 機械強度, 2020, 42(3): 694-699.

[6] 唐洪祥, 管毓輝. 孔口應(yīng)力集中問題的Cosserat連續(xù)體有限元分析[J]. 東南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 2013, 43(4): 849-855.

[7] 張永銳. 三維切口板應(yīng)力奇異性分析[D]. 合肥: 合肥工業(yè)大學(xué), 2017.

[8] 譚林. 薄板孔邊應(yīng)力集中的尺度效應(yīng)研究[D]. 重慶: 重慶大學(xué), 2015.

[9] 周炬, 蘇金英. ANSYS Workbench 有限元分析實例詳解 (靜力學(xué)) [M]. 北京:人民郵電出版社, 2017.

Finite Element Study of Stress Concentration and Stress Singular Phenomenon for Engineering Applications

GAO Si-yuan1, ZHAO Xu-dong2, LI Wei-min2, JIANG Guo-hai2

（1. Department of Mechanical and Electronic Engineering, Jinzhou Normal College, Jinzhou 121001, China;2. College of Mechanical Engineering and Automation, Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001, China）

The causes of stress concentration and stress singularity are analyzed and summarized. The changes of stress concentration and stress singularity in the process of finite element solution are studied. In addition, the influence of different mesh types and sizes on the finite element solution accuracy is analyzed.. Then the difference between stress singularity and stress concentration is discussed. Finally, the engineering solutions to the problems are summarized.

finite element technology; stress concentration; stress singularity; grid-independent solution test

10.15916/j.issn1674-3261.2021.05.001

TH164

A

1674-3261(2021)05-0281-07

2020-10-27

遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(CYYJY-201802)

高思遠(yuǎn)(1982-)，男，遼寧錦州人，講師，碩士。

責(zé)任編輯：陳 明