一類含參廣義混合擬向量均衡問題解的H?lder連續(xù)性與上估計

宋建成

(西南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610041)

1 引言及預(yù)備知識

向量均衡問題是運籌學(xué)中一類重要的優(yōu)化模型，近幾十年大量優(yōu)化學(xué)者對其進行了研究.其研究對象包含向量優(yōu)化問題、向量互補問題、向量Nash平衡等問題解的存在性及穩(wěn)定性.目前，大量學(xué)者已討論了眾多向量均衡問題解的存在性，見文獻[1-2]及其參考文獻.解的穩(wěn)定性分析，或靈敏度分析，同樣是向量均衡理論研究的重要課題，主要研究各類連續(xù)性，如Lipschitz連續(xù)及H?lder連續(xù)等.Chen等[3]研究了含參廣義向量均衡問題解映射的下半連續(xù)性.陳和龔[4]在拓撲向量空間中，運用標量化方法給出了含參集值弱向量均衡問題解集映射連續(xù)性的充分性條件.Shan等[5]研究了含參廣義向量擬均衡問題解的上半 連 續(xù) 性.Anh和Khanh[6]、Li等[7-8]、Chen等[9-10]等和Ji[11]分別考慮了幾類廣義向量擬均衡的解的H?lder連續(xù).其中，Ji[11]討論了對參數(shù)為θ∈T，μ∈W的如下含參廣義混合擬向量均衡問題:

其中X、T及W均為距離空間，Y定義為線性距離空間，K?Y是給定的非空閉凸錐，且intK≠?.d(·，·)定義為距離空間中的度量.設(shè)K:X×T→2X，φ:X×X×W→2Y，ψ:X×W→2Y是三個非空集值映射.本文作為文獻[11]的后續(xù)工作，繼續(xù)研究含參廣義混合擬向量均衡問題解的H?lder連續(xù)性.余下部分將考慮對參數(shù)為θ∈Λ，μ∈W的含參廣義混合擬向量均衡問題:求，使得

構(gòu)造F(x，y，μ)=φ(x，y，μ)+ψ(y，μ)-ψ(x，μ)，E(θ)={x∈X|x∈U(x，θ)}，?(θ，μ)∈T×W.記(QVEP)的解集為S(θ，μ)，即

我們注意到若ψ(x，μ)=ψ(μ)，U(x，θ)=U(θ)，那么問題(QVEP)就退化為一般的含參廣義向量均衡問題，也可表示為，使得，μ)?Y＼-intK，?y∈U(θ).此問題由S.J.Li在文獻[8]作了研究.對，設(shè)的鄰域為.我們假設(shè)對×.下面介紹本文需要的相關(guān)定義.

定義1[12]集值映射L:T→2X在μ0被稱為l.α-H?lder連續(xù)的，如果有λ0的鄰域N(λ0)使得

?λ1λ2∈N(λ0)，L(λ1)?L(λ2)+lB(0，dα(λ1，λ2))，其中l(wèi)≥0且α＞0.

定義2[12]集值映射L:X×Λ→2X在(x0，θ0)被稱為(l1.α1，l2.α2)-H?lder連續(xù)的，如果存在x0的鄰域N(x0)及θ0的鄰域N(θ0)使得對?x1，x2∈N(x0)，?θ1，θ2∈N(θ0)，有

L(x1，θ1)?{x∈X|?z∈L(x2，θ2)，d(x，z)≤，其中l(wèi)1，l2≥0且α1，α2＞0.

定義3[13]設(shè)(Θ，d)是距離空間，Π(Θ)為該空間上所有非空有界閉子集所形成的集簇.

H(X，Y)=max{supx∈Xd(x，Y)，supy∈Yd(X，y)}，?X，Y∈Π(Θ)，

其 中d(x，Y)=infy∈Yd(x，y)，d(X，y)=infx∈Xd(x，y).則H被稱為Θ上集簇Π(Θ)的Hausdorff度量.

2 主要結(jié)論

在這一節(jié)我們給出問題(QVEP)的解集的H?lder連續(xù)性和上估計.

定理1假設(shè)在的鄰域內(nèi)(QVEP)問題的解存在，進一步假設(shè)如下的條件成立:

②對每一(θ，μ)∈，在E(θ)×K(E(θ)，θ)內(nèi)，φ(·，·，μ)是具緊值下半連續(xù)的，ψ(·，μ)在U(E(θ)，θ)內(nèi)是具緊值連續(xù)的；

則對任何(θ，μ)∈，S(θ，μ)是E(θ)的緊子集.

證明由于E(θ)是緊的，只需刻畫在E(θ)中S(θ，μ)是閉的.取任何序列{xn}?S(θ，μ)，xn→x0，由于xn∈E(θ)及E(θ)的緊性，則有x0∈E(θ).事實上，我們假設(shè)x0?S(θ，μ)，則?y0∈U(x0，θ)，使得z0∈F(x0，y0，μ)∩(-intK).

因為U(·，θ)在x0是下半連續(xù)的，對y0及{xn}，存在yn∈U(xn，θ)使得yn→y0.φ(·，·，μ)是具緊值上半連續(xù)及ψ(·，μ)是具緊值連續(xù)的，則對z0∈F(x0，y0，μ)，存在zn∈F(xn，yn，μ)∩(Y＼-intK)使得zn→z0.當n足夠大時，zn∈-intK.由于xn∈S2(θ，μ)，有zn∈F(xn，yn，μ)?Y＼-intK，這與zn∈-intK矛盾.因此x0∈S2(θ，μ)，即S(θ，μ)是閉的，該命題得證.

定理2假設(shè)在內(nèi)，(QVEP)問題的解存在并且滿足定理1的條件，并且進一步假設(shè)如下的條件成立:

①U(·，·)在內(nèi)是(l1.α1，l2.α2)-H?lder連續(xù)的；

③?(λ，μ)∈，?x∈E(λ)，F(xiàn)(x，·，μ)在是n.δ-H?lder連續(xù)的；

④存在常數(shù)α＞0，β＞0，使得?(θ，μ)∈，?y∈Δ2(θ，μ):=)＼S(θ，μ)，∈S(θ，μ)滿足；

⑤β=α1δ，α＞.

進一步假設(shè)β＞θ.則S(·，·)滿足H?lder連續(xù)的條件，即?(θ1，μ1)、(θ2，μ2)∈，有

證明由定理1可知，對任何×，S(θ，μ)是E(θ)的緊子集.如果S(θ1，μ2)≠S(θ2，μ2)，且S(θ1，μ2)?S(θ2，μ2)與S(θ2，μ2)?S(θ1，μ2).那么對所有x(θ2，μ2)∈S(θ2，μ2)＼S(θ1，μ2)，我們由(4)的假設(shè)可得使得

由于U(·，·)是(l1.α1，l2.α2)-H?lder連續(xù)的，則存在使得

再由U(·，·)的H?lder連續(xù)性可知，存在使得

由F的H?lder連續(xù)性及(3)、(4)式，我們得

由條件(5)的假設(shè)可得

根據(jù)x(θ2，μ2)∈S1(θ2，μ2)＼S1(θ1，μ2)的任意性及距離d(·，·)的定義，我們有

結(jié)合(5)和(6)，可得

如 果S(θ1，μ2)?S(θ2，μ2)或S(θ2，μ2)?S(θ1，μ2)，我們假設(shè)S(θ1，μ2)?S(θ2，μ2)，由d(·，·)的定義得.因此(7)式也成立.若S(θ1，μ2)=S(θ2，μ2)，顯然(7)式是成立的.

另 一 方面，假設(shè)S(θ1，μ1)≠S(θ1，μ2)，且S(θ1，μ1)?S(θ1，μ2)與S(θ1，μ2)?S(θ1，μ1).那么對任何x(θ1，μ1)∈S(θ1，μ1)＼S(θ1，μ2)，我們根據(jù)上面類似的證明思路，可得

由于β=α1δ，我們可得dβ(x(θ1，μ1)，x(θ1，μ2))≤.

根據(jù)x(θ1，μ1)∈S(θ1，μ1)＼S(θ1，μ2)的任意性，我們有

則由距離d(·，·)的定義，得

類似的，我們可以得

由(8)和(9)可得，

綜合(7)和(10)，由Hausdorff度量的定義可得(1)式成立.定理得證.

定理3假設(shè)滿足定理2的條件，設(shè)對某些ε1＞且，則，且β＞θ，則

因此，該定理得證.