數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用于小學(xué)高段問題解決中的案例研究

龔蘇梅

摘要：數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，即用直觀的形表征數(shù)的關(guān)系、用精確的數(shù)表達(dá)形的內(nèi)在特征和規(guī)律這樣一種思想方法。問題解決貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終，數(shù)學(xué)思想可較為便捷地解決問題。小學(xué)高段中遇到較多問題，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解決，因此運(yùn)用具體的案例研究小學(xué)高段問題解決中的數(shù)形結(jié)合思想。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想，問題解決，案例研究

1前言

在上世紀(jì)，美國的布魯納強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思想的重要性，認(rèn)為用數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，好處極多，可使得學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更簡單，更能鍛煉學(xué)生的總結(jié)概括能力，從而增強(qiáng)對其他學(xué)科的學(xué)習(xí)能力。0進(jìn)入21世紀(jì)之后，我國開始重視數(shù)學(xué)思想，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中，對義務(wù)教育階段的學(xué)生提出了要求，要求學(xué)生不僅掌握數(shù)學(xué)基本知識和基本技能，而且要獲得數(shù)學(xué)的基本思想和基本生活經(jīng)驗(yàn)，0在此處開始強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的重要性。數(shù)學(xué)思想直接顯現(xiàn)出來的作用是提高數(shù)學(xué)成績，還存在一些深層次的推動作用，可幫助思維發(fā)展，提高創(chuàng)新能力。有部分人存在一些疑惑，從小學(xué)、初中、高中乃至大學(xué)都在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但是這些知識在生活中又不能直接使用，是不是可以不學(xué)呢？答案是否定的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的不是在于學(xué)會了多少知識，關(guān)鍵在于是否學(xué)會了基本的數(shù)學(xué)思想。

《課標(biāo)》要求中小學(xué)教師滲透數(shù)學(xué)思想之后，關(guān)于如何滲透數(shù)學(xué)思想的研究逐步火熱，一些常見的數(shù)學(xué)思想再次回歸到大眾視野，那么數(shù)形結(jié)合思想也理所當(dāng)然的再次被人們所重視。所謂數(shù)形結(jié)合思想，即建立在數(shù)形優(yōu)勢互補(bǔ)基礎(chǔ)上，抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形的思想方法。0查閱相關(guān)文獻(xiàn)可知，對于數(shù)形結(jié)合思想的研究，大致分為如下幾類：用以數(shù)解形、以形助數(shù)、數(shù)形相依的方式進(jìn)行研究;研究整個學(xué)段教材中“數(shù)與代數(shù)、幾何與圖形、概率與統(tǒng)計(jì)、實(shí)踐與綜合”能夠體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容;利用數(shù)形結(jié)合思想實(shí)際解決數(shù)學(xué)題目等。在真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，問題解決貫穿始終，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù)之一，卻也是部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重大障礙之一。數(shù)形結(jié)合思想在問題解決中有著相當(dāng)豐富的應(yīng)用，教師若能夠利用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)學(xué)生，可以幫助學(xué)生較好的理解題意，從而快捷、簡單的解決問題;學(xué)生若能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想，則可以將這種思想靈活地運(yùn)用于解決問題中，當(dāng)學(xué)生看到一大推數(shù)字理不清楚頭緒時，數(shù)形結(jié)合思想可以引導(dǎo)學(xué)生使用圖形的方式表達(dá)題意，從而找到問題解決的關(guān)鍵，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心;當(dāng)圖形結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜時，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜的圖形結(jié)構(gòu)用已經(jīng)掌握的數(shù)、算式、代數(shù)式、方程等進(jìn)行準(zhǔn)確表達(dá)，從而提高問題解決的準(zhǔn)確性，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

通過文獻(xiàn)查詢和資料分析可知，數(shù)形結(jié)合思想有相當(dāng)重要的作用，而在已有研究中，單純研究小學(xué)高段中數(shù)形結(jié)合思想的并不多，而又以問題解決為落腳點(diǎn)的研究顯得相對更少。因此筆者基于數(shù)形結(jié)合思想對小學(xué)高段的問題解決進(jìn)行案例研究，希望為一線教師提供一些借鑒和參考，通過課堂中數(shù)學(xué)思想的滲透，提高教師的課堂教學(xué)效果、學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

2案例研究

數(shù)形結(jié)合思想在各學(xué)段、年級均有所涉及，而在小學(xué)高段，數(shù)形結(jié)合思想是使用頻率最高的學(xué)段之一。在小學(xué)高段讓學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，讓學(xué)生可以創(chuàng)造性地解決問題，還可以改變學(xué)生的思維方式，提升思維能力，讓學(xué)生更夠準(zhǔn)確的把握數(shù)學(xué)關(guān)系和規(guī)律，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。那么究竟怎么給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生明確數(shù)形結(jié)合的意義和價值，運(yùn)用具體的案例進(jìn)行分析是最好的方式。因此本文運(yùn)用具體的案例分析實(shí)際問題中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，本文中筆者將數(shù)形結(jié)合思想中以形助數(shù)、以數(shù)解形這兩種具體形式進(jìn)行案例分析。

2.1以形助數(shù)解決問題

進(jìn)入小學(xué)高段，需要解決的問題有更高的難度，要求學(xué)生有更高水平的思維能力。雖然小學(xué)高段的學(xué)生較小學(xué)低段學(xué)生而言，思維有所進(jìn)步，但還是比較受局限，因此要讓學(xué)生掌握一些思想方法，有助于更快捷、準(zhǔn)確的解決問題。其中數(shù)學(xué)結(jié)合思想是眾多的數(shù)學(xué)思想之一，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想使得數(shù)的特征與形的特征可以相互轉(zhuǎn)化，開闊學(xué)生的思路，為學(xué)生解決問題提供新方式。

在實(shí)際解決問題的過程中，當(dāng)題目中數(shù)量關(guān)系過于復(fù)雜時，可以利用形進(jìn)行直觀的解決問題;當(dāng)形過于簡單，可以使用數(shù)來明確數(shù)量關(guān)系。0當(dāng)實(shí)際問題過于抽象時，可用畫圖方式進(jìn)行直觀展示。下面給出一個具體的案例，此案例能夠較好的體現(xiàn)以形助數(shù)。

教師讓學(xué)生自行思考、嘗試，學(xué)生中肯定會有通分的方式進(jìn)行計(jì)算，也有按照從左到右以此計(jì)算的，有相當(dāng)一部分學(xué)生是不能解答出正確的答案。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)字特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)每后一個分?jǐn)?shù)是前一個分?jǐn)?shù)的一半，看到、等，思考構(gòu)造出1，考慮畫圖的方式了。教師引導(dǎo)學(xué)生從左往右依次計(jì)算，部分計(jì)算。

對這幾個式子進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律。

師生發(fā)現(xiàn)似乎幾個數(shù)相加的和等于一減去最后一個數(shù)，這個結(jié)論是否成立，繼續(xù)再驗(yàn)證一個。

綜上可得出，幾個數(shù)相加的和等于一減去最后一個數(shù)。

本案例能夠較好的體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，也可以體現(xiàn)歸納法的思想。

以形助數(shù)對于學(xué)生解決實(shí)際問題有重要的價值和意義。在這里需要我們思考的地方在于若想使用以數(shù)助形，必須思考數(shù)量關(guān)系，找尋到合適的圖形來表達(dá)數(shù)量關(guān)系，而找尋恰當(dāng)?shù)膱D形對學(xué)生有一定的挑戰(zhàn)，但是這正是鍛煉學(xué)生思維的好機(jī)會。所以教師在教學(xué)中，不僅僅重視對數(shù)形結(jié)合思想的滲透，讓學(xué)生能夠耐心地觀察數(shù)量關(guān)系，探索內(nèi)在的規(guī)律，從而選擇適宜的圖形來表達(dá)數(shù)量關(guān)系。同時，教師還要為學(xué)生提供足夠多的歷練機(jī)會，使學(xué)生能夠見識足夠多的圖形結(jié)構(gòu)，掌握常見的以數(shù)助形策略，積累更多的經(jīng)驗(yàn)，逐步提升應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的自覺性。

2.2 以數(shù)解形解決問題

數(shù)形結(jié)合思想涉及到多方面，不僅僅包括以形助數(shù)，還存在以數(shù)解形。所謂以數(shù)解形，就是看到圖形的結(jié)構(gòu)特征，可以找到恰當(dāng)?shù)臄?shù)字表達(dá)方式，使得圖形的特征可以數(shù)字化。在實(shí)際的學(xué)習(xí)生活中，遇到以數(shù)解形的并不多，因此易被師生所忽視。但是正是由于其稀少性，則教師更應(yīng)該抓住這種少有的機(jī)會鍛煉學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。面對小學(xué)生實(shí)際的知識儲備情況和思維發(fā)展水平，應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生用已經(jīng)掌握的數(shù)、算式、代數(shù)式、方程等來表示相關(guān)圖形的特征，使列寫出來的表達(dá)式子能夠恰當(dāng)?shù)慕鉀Q相關(guān)問題。下文給出兩個具體案例，案例能夠較好的體現(xiàn)以數(shù)解性。

案例：找長方形個數(shù)，并給出相應(yīng)規(guī)律。

根據(jù)圖形找出長方形的個數(shù)，得出規(guī)律：直接看到n個小長方形，

長方形個數(shù)=（1+2+······+n）個。

以上就是以數(shù)解形的典型案例，這個案例難度并不大，實(shí)際還存在一些稍微復(fù)雜的案例，那么在本文中，筆者對一個稍顯復(fù)雜的案例進(jìn)行展示。

案例：找長方形個數(shù)，并給出相應(yīng)規(guī)律。

在完成題目之后，師生共同總結(jié)出計(jì)算此類圖形長方形的個數(shù)規(guī)律為：長方形個數(shù)=（長邊線段數(shù)量×寬邊線段數(shù)量）個。

以數(shù)解形的方法能夠準(zhǔn)確表征圖形特征，也有利于開拓學(xué)生的解題思路。在教育教學(xué)中，教師應(yīng)該為學(xué)生挑選恰當(dāng)?shù)睦?，讓學(xué)生感知以數(shù)解形的方式方法。在講解和探索基礎(chǔ)知識過程中，教師應(yīng)該從多方面尋找數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的素材，給學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想的機(jī)會，幫助學(xué)生開闊眼界，拓寬知識面，讓學(xué)生積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識，例如遇到判斷一個角是否為直角、兩邊是否相等、圖形的周長是多少等類似問題時，讓學(xué)生明確不僅僅可以直接進(jìn)行測量，還可以通過計(jì)算得出相應(yīng)結(jié)論。0除了教授應(yīng)該掌握的知識外，教師可以根據(jù)學(xué)生掌握知識的實(shí)際水平，適當(dāng)拓展一些幾何與圖形的問題，以此增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的體驗(yàn)，例如去探索一些平面圖形邊的長度關(guān)系，角、周長、面積的大小關(guān)系。

3結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思想在問題解決中起著重要作用，不僅可以以數(shù)解形，也可以以形助數(shù)。數(shù)形結(jié)合思想是一種有效的數(shù)學(xué)思想，可以發(fā)展學(xué)生的思維能力。在小學(xué)高段的教育教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生探索基礎(chǔ)知識和解決實(shí)際問題時，要深度挖掘數(shù)與形的本質(zhì)關(guān)系，讓學(xué)生意識到可以利用直觀的形表征數(shù)的關(guān)系，也可以用精準(zhǔn)的數(shù)表達(dá)形的內(nèi)在特征和規(guī)律。0在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，會多次見識到數(shù)形結(jié)合的典型例子，學(xué)生需多加積累，進(jìn)行歸納總結(jié)，在頭腦中形成數(shù)形結(jié)合的概念，在實(shí)際解決問題時，形成自覺利用數(shù)形結(jié)合思想的習(xí)慣。

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