探索計(jì)算之美

王新勇

高中信息技術(shù)新教材注重理論與實(shí)踐的結(jié)合以及學(xué)科本身的科學(xué)性和理論性，并且以實(shí)現(xiàn)信息意識(shí)、計(jì)算思維、數(shù)字化學(xué)習(xí)與創(chuàng)新以及信息社會(huì)責(zé)任四個(gè)核心素養(yǎng)的提升為目標(biāo)。筆者以Python的round（）函數(shù)作為切入點(diǎn)，對(duì)數(shù)據(jù)與計(jì)算的關(guān)系和深層鏈接進(jìn)行探究。文章中涉及Python的語法規(guī)則均以Python3為基礎(chǔ)，代碼運(yùn)行環(huán)境為python3.8.5版本。

● 發(fā)現(xiàn)問題

1.round（）函數(shù)的概念

round（）函數(shù)為Python內(nèi)置（built-in）的函數(shù)，Python安裝完成后即具有該函數(shù)的功能，不需要再引入額外的模塊。round（）函數(shù)提供了低精度的四舍五入的功能，需要重點(diǎn)理解低精度以及四舍五入的原則。

2.round（）函數(shù)的參數(shù)

round（）函數(shù)提供了兩個(gè)參數(shù)，round（x， n），其中參數(shù)x可以是整型（int）、實(shí)型（float）或布爾型（bool）的數(shù)值，不能是字符串、列表或字典等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)類型的值。參數(shù)n是一個(gè)整數(shù)值，為可選參數(shù)，用來表示小數(shù)點(diǎn)后保留的位數(shù)，如round（1.233，2），值為1.23，即小數(shù)點(diǎn)后保留2位。參數(shù)n可以為負(fù)數(shù)，當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí)，相當(dāng)于對(duì)整數(shù)的第n位（-1，對(duì)應(yīng)個(gè)位）進(jìn)行四舍五入，如round（1123，-2），值為1100，如圖1所示。n為負(fù)整數(shù)的情況，非重點(diǎn)探究?jī)?nèi)容，不做討論。

3.round（）函數(shù)取整實(shí)驗(yàn)

基于Python的IDLE交互式Shell工具，進(jìn)行round（）函數(shù)的取整實(shí)驗(yàn)，如圖2所示。

對(duì)于round（1.3）和round（1.7），是符合四舍五入的原則的。對(duì)于round（1.5）和round（2.5），結(jié)果為什么都是2？round（3.5）和round（4.5）結(jié)果為什么都是4？這是需要思考和探究的第一個(gè)問題。

● 追本溯源

1.Python版本差異

如下頁(yè)圖3所示，round（）函數(shù)在Python3.0版本相比Python2的變化，主要內(nèi)容包括如下幾點(diǎn)：①round（）函數(shù)從Python3.0開始，對(duì)于0.5、1.5、2.5這類小數(shù)部分值為0.5的float類型數(shù)值，取整時(shí)是舍入到偶數(shù)的一邊。例如，round（2.5），值為2;round（1.5），值也是2。以1.5為例，由于1.5與1和2的距離是一樣的，都是0.5的差值，因此，在Python3.0版本開始遵循親偶數(shù)邊取整的原則，我們稱之為親偶性。②對(duì)于round（x）函數(shù)中只有一個(gè)參數(shù)x的情況，是取整操作，則返回int整型。例如，round（1.555），返回值為2，類型為int。③對(duì)于round（x，n）函數(shù)中包括兩個(gè)參數(shù)x和n的情況，返回值的類型，與參數(shù)x的類型一致，不再是Python2版本中定義的統(tǒng)一返回float類型。例如，round（1，2）返回1，類型為int;round（1.000，2），則返回1.0（等同于1.00），類型為float，如圖4所示。

2.round（）函數(shù)取整總結(jié)

根據(jù)上述Python3版本的變更分析，可以總結(jié)得出round（x）函數(shù)的特點(diǎn)為“四舍六入五親偶”。這里的四舍六入較好理解，對(duì)于五親偶，即針對(duì)0.5，1.5，2.5這類小數(shù)部分值為0.5的float類型數(shù)值，通過round（x）函數(shù)取整時(shí)，結(jié)果是舍入到偶數(shù)的一邊。對(duì)于round（1.5）和round（2.5）的返回值都為2的問題，已經(jīng)找到了答案。

● 問題拓展

通過round（）函數(shù)進(jìn)行float類型數(shù)值的保留小數(shù)位數(shù)的四舍五入實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)如下問題：兩個(gè)數(shù)值的小數(shù)部分都是0.675，保留兩位小數(shù)的四舍五入結(jié)果為什么不一樣呢（如圖5）？帶著這樣的問題，思考float類型數(shù)值在計(jì)算機(jī)中是如何表示的，進(jìn)一步探究float類型的浮動(dòng)本質(zhì)。

● 浮動(dòng)本質(zhì)

以0.4和100.4為例，通過print（）函數(shù)設(shè)置參數(shù)“%.30f”格式化輸出30位小數(shù)的方式，來觀察Python3的float數(shù)值的真實(shí)值表示，與原始值相同的部分為17位有效數(shù)字，如圖6和圖7所示。

0.4格式化輸出30位小數(shù)的數(shù)值中紅框內(nèi)的17位有效數(shù)字，小數(shù)部分占了16位，整數(shù)部分為0，占了1位。100.4格式化輸出30位小數(shù)的數(shù)值中紅框內(nèi)的17位有效數(shù)字，小數(shù)部分占了14位，整數(shù)部分為100，占了3位。Python3中float類型數(shù)值的精度為17位有效數(shù)字。如圖8所示，Python3版本基于IEEE-754中對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的定義，確定了17位有效數(shù)字來表示float類型數(shù)值。

通過float類型數(shù)值的判等運(yùn)算，也可以驗(yàn)證17位有效數(shù)字的精度控制，進(jìn)一步理解float類型數(shù)值的浮動(dòng)本質(zhì)。對(duì)于float類型的數(shù)值比較，Python只會(huì)取其前17位有效數(shù)字的值進(jìn)行比較，17位有效數(shù)字包括整數(shù)和小數(shù)部分。如下頁(yè)圖9所示，0.4與0.4000000000000001（小數(shù)部分的第16位值為1）進(jìn)行判等比較值為False，是因?yàn)?.4等價(jià)于0.4000000000000000，第16位值為0，而0.4與0.40000000000000001（小數(shù)部分第17位值為1）和0.40000000000000002（小數(shù)部分第17位值為2）判等為True，則是因?yàn)榍?7位有效數(shù)字部分的值是相同的，小數(shù)部分精度范圍外的值不參與比較運(yùn)算。

● 刨根問底

精度范圍外的數(shù)值是如何產(chǎn)生的？如下頁(yè)圖10所示，0.675小數(shù)點(diǎn)后第17位～第30位的值，是如何產(chǎn)生的？需要從float類型的十進(jìn)制數(shù)值轉(zhuǎn)二進(jìn)制的過程來探究。

1.float類型數(shù)值轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

轉(zhuǎn)換原則：乘2取整，直到小數(shù)部分值為0，則轉(zhuǎn)換完成。以數(shù)值0.125為例，轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的過程如下頁(yè)圖11所示。