復(fù)數(shù)概念教學(xué)：基于歷史，數(shù)形結(jié)合

狄邁 紀(jì)妍琳

摘要：回顧歷史，代數(shù)問題中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾是復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的動(dòng)因，而幾何意義的產(chǎn)生是復(fù)數(shù)被接受的推動(dòng)力。因此，HPM視角下的復(fù)數(shù)概念教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度建構(gòu)復(fù)數(shù)概念，理解復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)，接受“虛數(shù)不虛”的事實(shí)。在梳理史料的基礎(chǔ)上，進(jìn)行第一次教學(xué)設(shè)計(jì)：以史為鑒，理清脈絡(luò)。通過實(shí)施及研討，進(jìn)行第二次教學(xué)設(shè)計(jì)：基于學(xué)情，增刪改進(jìn)。

關(guān)鍵詞：HPM;復(fù)數(shù)概念;數(shù)形結(jié)合

復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段最后一次數(shù)系的擴(kuò)充。學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)概念時(shí)，要突破已有思維的局限，理解負(fù)數(shù)開平方的意義，從一元數(shù)的世界走向二元數(shù)的世界。歷史上，復(fù)數(shù)的出現(xiàn)、發(fā)展與應(yīng)用，均體現(xiàn)了人們?cè)谧非笳胬磉^程中的理性精神，蘊(yùn)含豐富的文化內(nèi)涵，具有較高的教育價(jià)值。

隨著HPM課例研究的深入開展，基于數(shù)學(xué)史的復(fù)數(shù)概念課例層見疊出?，F(xiàn)有課例大多利用卡丹（G.Cardano，1501—1576）的“分十”問題或邦貝利（R.Bombelli，1526—1572）應(yīng)用求根公式求解一元三次方程的事跡，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的必要性。然而，僅從代數(shù)的角度切入，不利于學(xué)生認(rèn)清復(fù)數(shù)作為二元數(shù)的本質(zhì)，真正地接受復(fù)數(shù)概念，即合法性認(rèn)識(shí)不足。部分學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)概念后，甚至認(rèn)為復(fù)數(shù)的代數(shù)表征和幾何表征是兩個(gè)不同的對(duì)象，而不是同一對(duì)象的不同表達(dá)方式，從而將兩者割裂開來。此外，也有教師僅從幾何的角度設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)概念教學(xué)。但是，忽視代數(shù)表征的設(shè)計(jì)存在引入不自然等局限，即必要性認(rèn)識(shí)不足。

回顧歷史，代數(shù)問題中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾是復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的動(dòng)因，而幾何意義的產(chǎn)生是復(fù)數(shù)被接受的推動(dòng)力。因此，HPM視角下的復(fù)數(shù)概念教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度建構(gòu)復(fù)數(shù)概念，理解復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)，接受“虛數(shù)不虛”的事實(shí)。

一、史料梳理

（一）代數(shù)意義：復(fù)數(shù)的產(chǎn)生與困境

解一元二次方程時(shí)，不可避免地會(huì)遇到負(fù)數(shù)開平方的問題。

從現(xiàn)存史料可見，3世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖、9世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家摩訶毗羅和12世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅都遇到了負(fù)數(shù)開平方的問題，他們都認(rèn)為負(fù)數(shù)是沒有平方根的，因?yàn)槠洳皇且粋€(gè)平方數(shù)。

16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡丹研究“分十”問題（將10分成兩部分，使它們的乘積等于40）時(shí)，寫下了5+-15和5--15這樣的數(shù)。盡管卡丹是歷史上第一個(gè)使用負(fù)數(shù)平方根的人，但是他拒絕承認(rèn)這種數(shù)的存在。

應(yīng)用一元三次方程求根公式過程中發(fā)現(xiàn)的矛盾使數(shù)學(xué)家不得不面對(duì)負(fù)數(shù)開平方的問題，這是復(fù)數(shù)產(chǎn)生的根本動(dòng)因。

16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家邦貝利研究方程x3=15x+4時(shí)，發(fā)現(xiàn)有三個(gè)實(shí)數(shù)解4、-2±3，但是應(yīng)用一元三次方程求根公式，卻得到了含負(fù)數(shù)開平方形式的解。面對(duì)這一矛盾，邦貝利通過將-1引入運(yùn)算來解決。

雖然復(fù)數(shù)早已誕生，但是人們對(duì)復(fù)數(shù)的意義及其合法性一直存有懷疑。

1702年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz，1664—1716）指出：“虛數(shù)是神靈循跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物?！?/p>

1777年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783）在論文中引入i=-1。但在《代數(shù)學(xué)引論》一書中，歐拉寫道：“所有可以想象的數(shù)，要么大于零，要么小于零，要么等于零，所以負(fù)數(shù)的平方根顯然不能包含在這些數(shù)中。因此，我們必須說，它們是不可能的數(shù)?！?/p>

（二）幾何意義：復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)

人們對(duì)復(fù)數(shù)的意義及其合法性的懷疑持續(xù)了將近250年，直到復(fù)數(shù)幾何意義的出現(xiàn)，人們才真正接受復(fù)數(shù)。其中，復(fù)數(shù)的圖形表示、實(shí)際應(yīng)用、理論的公理化是復(fù)數(shù)被普遍接受的三個(gè)重要環(huán)節(jié)。

英國數(shù)學(xué)家沃利斯（J.Wallis，1616—1703）嘗試給出復(fù)數(shù)的幾何解釋：對(duì)一元二次方程x2+bx+c=0（b>0，c>0），當(dāng)b2≥c時(shí)，如圖1所示，設(shè)AB長為b，C為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線，取CP=c，以P為圓心、b2為半徑作圓弧，交AB于點(diǎn)D，則線段AD、BD長度的相反數(shù)即為方程的兩個(gè)實(shí)根;類似地，當(dāng)b2

挪威土地測量員魏塞爾（C.Wessel，1745—1818）最早給出了復(fù)數(shù)的幾何圖形解釋。他建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系：橫軸以1為單位，+1的方向角為0°，-1的方向角為180°;縱軸以ε為單位，+ε的方向角為90°，-ε的方向角為-90°或270°。從而得到了（+ε）（+ε）=-1，即ε=-1。這表明他已經(jīng)給出了-1的幾何解釋。

瑞士簿記員阿甘德（J.R.Argand，1768—1822）首次用“絕對(duì)值”來表示距離，以區(qū)別線段的方向。如圖3所示，記KA為正單位向量（+1），KI為負(fù)單位向量（-1），將-1視為+1與-1的比例中項(xiàng)，它的幾何表示就是過點(diǎn)K且垂直于KA的向量KE，同理，--1的幾何意義為向量KN。因此，可以將-1看成是+1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的結(jié)果。由此，阿甘徳揭示了復(fù)數(shù)與向量之間的聯(lián)系。

復(fù)數(shù)的幾何表示最終由高斯（C.F.Gauss，1777—1855）完善。他提出了一個(gè)與復(fù)數(shù)相聯(lián)系的平面，不僅將復(fù)數(shù)表示為該平面上的點(diǎn)，而且闡述了復(fù)數(shù)加法與乘法的幾何表示。高斯指出：如果一開始不稱1、-1和i為正、負(fù)和虛單位，而稱為直、反和側(cè)單位，那么人們對(duì)這些數(shù)或許就不會(huì)產(chǎn)生種種陰暗神秘的印象。

18世紀(jì)，復(fù)數(shù)在其他領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用促進(jìn)了其自身的發(fā)展。1752年，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（dAlembert，1717—1783）將復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用于流體動(dòng)力學(xué)。1772年，瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特（J.H.Lambert，1728—1777）將復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用于地圖的制作。

復(fù)數(shù)理論的完善是由英國數(shù)學(xué)家哈密頓（R.Hamilton，1805—1865）完成的。他指出：與2+3不同，a+bi并非真正意義上的和，加號(hào)的使用只是歷史的偶然，b并不能加到a上去;復(fù)數(shù)只不過是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)而已。這揭示了復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)。進(jìn)一步可以得到：復(fù)數(shù)能夠按照一定的規(guī)則排序（如先比較實(shí)部，再比較虛部），但是無法比較大小。

綜上所述，復(fù)數(shù)出現(xiàn)于“負(fù)數(shù)開平方”的代數(shù)情境，在幾何解釋與實(shí)際應(yīng)用出現(xiàn)后被世人接受。這里特別值得一提的是，以虛數(shù)的存在為基礎(chǔ)，吉拉爾提出、高斯證明了代數(shù)基本定理（n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有n個(gè)根），進(jìn)一步推動(dòng)了人們接受虛數(shù)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）第一次設(shè)計(jì)：以史為鑒，理清脈絡(luò)

以史為鑒，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，可以將卡丹的“分十”問題還原為“負(fù)數(shù)開平方”的一元二次方程問題，結(jié)合邦貝利應(yīng)用求根公式求解一元三次方程的事跡，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引入虛數(shù)概念，揭示“知識(shí)之源”;基于魏塞爾、阿甘德對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的研究，讓學(xué)生從旋轉(zhuǎn)的角度經(jīng)歷復(fù)數(shù)幾何意義的產(chǎn)生過程，從幾何的角度突破認(rèn)知壁壘，認(rèn)識(shí)“虛數(shù)不虛”;基于代數(shù)基本定理，讓學(xué)生進(jìn)一步從代數(shù)的角度感受虛數(shù)引入的合理性，進(jìn)而學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與幾何表示之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，完成從實(shí)數(shù)域到復(fù)數(shù)域的數(shù)系擴(kuò)充過程;基于哈密頓對(duì)復(fù)數(shù)的公理化定義，揭示復(fù)數(shù)作為二元數(shù)的本質(zhì);基于萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家對(duì)復(fù)數(shù)的看法，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)概念從產(chǎn)生到被接受的曲折歷程，形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀，增強(qiáng)理性精神，實(shí)現(xiàn)“德育之效”。

具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.問題引入。

【問題1】 構(gòu)造四個(gè)不同的方程，使它們的解分別為自然數(shù)、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù);再構(gòu)造一個(gè)無解的方程。

【問題2】 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2=-1。

附加式地呈現(xiàn)丟番圖、摩訶毗羅等數(shù)學(xué)家對(duì)“負(fù)數(shù)開平方”問題的看法。

2.新知探索。

【問題3】 解方程x3=15x+4。

學(xué)生用計(jì)算器求解，教師代入一元三次方程求根公式求解，然后對(duì)比。

順應(yīng)式地介紹邦貝利應(yīng)用一元三次方程求根公式發(fā)現(xiàn)“負(fù)數(shù)開平方”形式的解。

【問題4】 從幾何的角度盡可能多地說出對(duì)1×（-1）=-1的理解，概括得到-1的平方根的幾何意義。

附加式地從代數(shù)基本定理的角度說明復(fù)數(shù)存在的必要性。

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的定義、代數(shù)表示、分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件。

3.新知應(yīng)用。

【練習(xí)1】 下列復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)？對(duì)于虛數(shù)，它們的實(shí)部和虛部分別是什么？（1）-0.5i;（2）-12-2i;（3）π;（4）0;（5）3;（6）2i-5。

【練習(xí)2】 當(dāng)x、y為何實(shí)數(shù)時(shí)，z=（x2-3x+2）+（y2-2y-3）i=2？

4.拓展提高。

附加式地介紹哈密頓對(duì)復(fù)數(shù)的公理化定義。

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的大小比較、復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系與區(qū)別，以深刻理解復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)。

附加式地介紹萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家對(duì)復(fù)數(shù)的看法。

5.布置作業(yè)。

【作業(yè)】 若將實(shí)軸繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，那么實(shí)軸上的數(shù)變?yōu)槭裁矗?/p>

（二）第二次設(shè)計(jì)：基于學(xué)情，增刪改進(jìn)

在教學(xué)實(shí)施及課后研討的基礎(chǔ)上，基于學(xué)生學(xué)情總結(jié)出上述教學(xué)設(shè)計(jì)的一些問題：（1）教學(xué)內(nèi)容過多，難以在一節(jié)課中完整呈現(xiàn);（2）附加式地介紹了大量的數(shù)學(xué)史，有些“為了歷史而歷史”，導(dǎo)致學(xué)生注意的分散，不利于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí);（3）無解方程的構(gòu)造是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn);（4）學(xué)生的代數(shù)基礎(chǔ)較為薄弱，對(duì)一元三次方程的求解較為陌生，導(dǎo)致未能成功激發(fā)認(rèn)知沖突;（5）學(xué)生基于1×（-1）=-1的幾何意義探討-1的平方根的幾何意義時(shí)，較難突破思維慣性，跳出一維數(shù)軸，需要教師加以引導(dǎo);（6）復(fù)數(shù)的大小比較問題涉及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，且完全解釋這一問題需要運(yùn)用有序域的概念，因此不宜在復(fù)數(shù)概念課中展開討論。

由此，對(duì)上述教學(xué)設(shè)計(jì)作出如下改進(jìn)：（1）將要求構(gòu)造方程的問題1以及要求解一元二次方程的問題2修改為要求解一元二次方程的問題以及思考方程為什么沒有實(shí)根的問題，從而利于學(xué)生理解沒有實(shí)根和無解的區(qū)別，引出“負(fù)數(shù)不能開平方”想法;（2）刪去有關(guān)一元三次方程的問題3，直接在回顧數(shù)系擴(kuò)充過程的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)史的角度介紹負(fù)數(shù)開平方的必要性，解釋虛數(shù)的定義;（3）將研究虛數(shù)幾何意義的問題4分解為若干子問題，為學(xué)生搭建“腳手架”;并且利用短視頻呈現(xiàn)19世紀(jì)英國小說《平面國》的片段，啟發(fā)學(xué)生突破思維慣性，跳出一維數(shù)軸，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)推廣的一般方法;（4）新增通過觀察一元二次方程虛根的形式，抽象出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示的活動(dòng);（5）在“拓展提高”環(huán)節(jié)，刪去復(fù)數(shù)的大小比較、復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系與區(qū)別等內(nèi)容，強(qiáng)化對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義價(jià)值的思考;（6）總的來看，降低課堂容量，將一些附加式介紹的數(shù)學(xué)史改為重構(gòu)式融入。

具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.問題引入。

【問題1】 （1）在整數(shù)范圍內(nèi)解方程2x2-3x+1=0、2x2-3=0;（2）在有理數(shù)范圍內(nèi)解方程2x2-3x+1=0、2x2-3=0;（3）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程2x2-3=0、x2=-1。

引導(dǎo)學(xué)生回顧從小學(xué)至今的數(shù)系擴(kuò)充過程。

【問題2】 為什么Δ<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)根？

2.新知探索。

從數(shù)學(xué)史的角度，簡要介紹負(fù)數(shù)開平方的必要性（包括邦貝利研究一元三次方程求根公式發(fā)現(xiàn)“負(fù)數(shù)開平方”形式的解），解釋i的定義（包括歐拉取“imaginary”的首字母來表示虛數(shù)，意為想象的數(shù)）。

【問題3】 研究x2=-1的幾何意義。

（1）在數(shù)軸上，數(shù)的加減運(yùn)算可以視為平移變換，那么乘法運(yùn)算對(duì)應(yīng)什么變換？

（2）觀看19世紀(jì)英國小說《平面國》片段的短視頻（主要內(nèi)容如圖4所示），你受到了什么啟發(fā)？

來自平面國的正方形，在一次探索旅行中，遇到了一位自稱來自三維世界的訪客。奇怪的是，他看上去是一個(gè)尺寸不斷變化的圓形。這個(gè)圓形稱自己為“球體”，實(shí)際上，正方形看到平面上忽大忽小的圓形是球體在上下移動(dòng)。但是，就好比一維的人無法想象脫離直線的運(yùn)動(dòng)，正方形也不能理解“向上，而非向北”這個(gè)概念。球體說不清，只好付諸行動(dòng)，將正方形揭起來，脫離了平面國，進(jìn)入了空間。

（3）1×2=2、1×（-1）=-1、（-1）×（-1）=1的幾何意義是什么？

（4）基于1×（-1）=-1的幾何意義，如何理解x2=-1中x的幾何意義？

【問題4】 觀察一元二次方程虛根的形式，你能定義復(fù)數(shù)嗎？

3.新知應(yīng)用。

同第一次教學(xué)設(shè)計(jì)，略。

4.拓展提高。

從代數(shù)基本定理的角度說明復(fù)數(shù)存在的必要性。

介紹哈密頓對(duì)復(fù)數(shù)的公理化定義。

介紹萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家對(duì)復(fù)數(shù)的看法。

【問題5】 數(shù)學(xué)家們力圖找到復(fù)數(shù)的幾何意義，為什么一定要讓i有意義？

5.布置作業(yè)。

【作業(yè)】 復(fù)數(shù)能否比較大??？

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