主觀題客觀化的思考與實踐
——以《微積分學(xué)》課程為例

韓淑霞， 吳 潔， 黃永忠

(華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢430074)

1 引 言

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)課程測試中，一般有兩種題型，一種是客觀題，包括單項選擇題、多項選擇題和判斷題等，另一種是主觀題，包括計算題、應(yīng)用題、證明題等.客觀題在在線測試平臺上可以直接使用，測試結(jié)果能夠即時反饋給學(xué)生和老師，方便學(xué)生對自己學(xué)習(xí)中的問題進行反思、方便教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況進行評判和答疑解析，促進課程的在線學(xué)習(xí).但是主觀題卻不方便應(yīng)用于在線平臺測試.在2017年高等教育出版社組織的高等數(shù)學(xué)評測系統(tǒng)的在線題庫啟動會上，國防科技大學(xué)的朱鍵民教授提出了主觀題客觀化的思想.主觀題客觀化就是將主觀題設(shè)計成客觀題的形式，讓主觀題也能像客觀題一樣進行在線測試.

斯金納的新行為主義理論[1]認(rèn)為及時反饋是強化學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，所以主觀題能否客觀化，怎樣客觀化，能否讓主觀題像客觀題一樣在在線平臺上進行測試是值得探索和實踐的問題.

關(guān)于測試題的設(shè)計相關(guān)文獻包含兩類，一類是怎么利用各類軟件技術(shù)實現(xiàn)在線測試如文獻[2-4]，另一類從教學(xué)角度對某種客觀題型的設(shè)計給出了原則性建議如[5-7]，其中鄒增家[7]給出了高等數(shù)學(xué)的單項選擇題的設(shè)計規(guī)則和設(shè)計方法.

作者[8-9]從2016年開始在微助教平臺進行了微積分大班的翻轉(zhuǎn)混合式課堂實踐，由于課堂教學(xué)在線測試的需要，做了主觀題客觀化的大量實踐.本文下面將給出主觀題客觀化的原則，并以《微積分學(xué)》課程為例給出在線測試題主觀題客觀化的四種思想方法及教學(xué)案例.

2 主觀題客觀化規(guī)則

主觀題客觀化過程中應(yīng)該遵循以下規(guī)則：

(i) 題目的正確性與科學(xué)上的可解性；

(ii) 以教學(xué)目標(biāo)為目標(biāo). 確保通過對主觀題客觀化后的測試題作答，能夠幫助學(xué)生理解相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生對相關(guān)知識點的興趣，增進學(xué)生進一步研究性學(xué)習(xí)的可能；

(iii) 搭建起課程基礎(chǔ)內(nèi)容與課堂重難點的橋梁.主觀題基本上課堂教學(xué)的重難點內(nèi)容，客觀化過程就是將重難點內(nèi)容與相關(guān)知識點的基礎(chǔ)內(nèi)容銜接起來，測試過程就是將基礎(chǔ)內(nèi)容深化到重難點內(nèi)容的思維成長過程；

(iv) 符合程序教學(xué)法原則.比如斯金納[10]提出的小步子原則、積極反應(yīng)原則、即時強化原則、自定步調(diào)原則、低錯誤率原則.

3 主觀題客觀化的四種思想方法

3.1 頂層逆向設(shè)計方法

頂層逆向設(shè)計法的具體做法：

(i) 將重難點問題利用數(shù)學(xué)分析和邏輯思維方法將其解答過程一層一層向下分解，一直分解到和學(xué)生預(yù)習(xí)的基本內(nèi)容正好接軌為止；

(ii) 從基本內(nèi)容或基本題目出發(fā)，以小步走的科學(xué)學(xué)習(xí)方法，一層一層逆勢向上，設(shè)計出體現(xiàn)基本解題過程中的每一小步和及其拓展的基礎(chǔ)命題，這樣就可以得到一組正確的基礎(chǔ)命題；

(iii) 根據(jù)往屆學(xué)生常犯的錯誤，對上述正確的基礎(chǔ)命題進行錯誤分析法，相應(yīng)得到一組錯誤的基礎(chǔ)命題. 這樣從一道重難點題目出發(fā)，就設(shè)計出一個重難點題目的正確命題模塊和錯誤命題模塊，設(shè)計方案如圖1；

圖1 重難點題目的頂層逆向設(shè)計法

(iv) 從這兩個模塊中任意抽取一個命題就可做為判斷題，抽出3-5個命題進行有機組合就可設(shè)計出多個多項選擇題或者單項選擇題，而這種組合功能可以利用一些學(xué)習(xí)軟件輔助實現(xiàn)，這些選擇題就形成了重難點題目對應(yīng)的復(fù)合測試題模塊. 具體班級的課堂上根據(jù)學(xué)生的具體情況從目標(biāo)題目模塊中進行選擇使用.

比如《微積分學(xué)》課程在極限四則運算和復(fù)合運算部分，有一道這樣的重難點題目：

圖2 重難點題目的析錯設(shè)計方法

將上面(i)～(vii)進行組合，可以設(shè)計多個復(fù)合型測試題，比如結(jié)合(v)和(vii)，可以設(shè)計下面的單項選擇題：

(A) 1/2 (B) 2 (C) 9/2 (D) 7

結(jié)合(ii)，(iii)，(vi)，(vii)設(shè)計下面的多項選擇題：

題目內(nèi)容：下面選項正確的是( ).

3.2 析錯設(shè)計法

對于某一個知識點，依據(jù)平時學(xué)生作業(yè)中所犯的各種錯誤析取出來，用每一種錯誤的解法就會得到錯誤命題，這就是析錯設(shè)計法，如圖2. 將錯誤命題作為選擇題的干擾項，可以設(shè)計出更多的單項選擇題或者多項選擇題. 析錯法設(shè)計法的好處在于精準(zhǔn)擊中學(xué)生所犯錯誤，教師只需要畫龍點睛做一些解釋就會做到藥到病除，比起傳統(tǒng)課堂上教師費破了口舌講解的效果要好.

比如在第二型曲線積分這部分內(nèi)容的計算題目，在掌握了二重積分的基礎(chǔ)上學(xué)生計算常犯的有兩種類型的方向錯誤：

錯誤1：忽略二型曲線積分的積分曲線的方向；

錯誤2：使用格林公式時忽視封閉曲線的正向(逆時針方向為正)條件.

針對上面兩種錯誤類型，相應(yīng)的題目可以設(shè)計出三種的錯誤解法，第一種犯錯誤1，第二種犯錯誤2，第三種犯錯誤1和錯誤2. 正確解法答案唯一. 這四種解答的答案作為選擇支得到的單項選擇題. 作者采用這種析錯設(shè)計法在微助教平臺上在測試了一道第二型曲線積分的題目，并將測試題目的內(nèi)容以及兩個微積分大課堂的學(xué)生答題情況截屏如圖3所示.

圖3 第二型曲線積分的一道選擇題及學(xué)生答題情況

(A) -4π+e2-1 (B) 4π+e2-1

(C) 4π-e2+1 (D) -4π-e2+1

微助教平臺在測試完成后，立刻將學(xué)生答題情況顯示如圖3的直方圖，完全區(qū)分了學(xué)生所犯三種錯誤的情況. 忽視了格林公式的封閉曲線方向的答案為(A)選項，弄錯了曲線積分中曲線的方向的答案為選項(C)，兩個方向都錯誤的對應(yīng)答案是選項(D)，選項(B)是正確答案，錯誤率占到了約1/3，正確率約2/3. 每個答錯學(xué)生根據(jù)在線測試平臺的反饋就明白了自己所犯錯誤，達到了最初設(shè)計此測試題的教學(xué)目的.

3.3 強化書寫步驟方法

在《微積分學(xué)》的課程教學(xué)中，不管是學(xué)生的作業(yè)還是學(xué)生的考試卷，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答過程出現(xiàn)邏輯混亂的問題. 其實一個題目的解答書寫過程恰好體現(xiàn)了答題者的思維邏輯是否嚴(yán)密有序，數(shù)學(xué)分析是否正確清楚，而且好的數(shù)學(xué)表達也會為學(xué)生后期進行專業(yè)課的學(xué)習(xí)和科學(xué)研究打下良好的基礎(chǔ)，所以在數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中，無論怎么強調(diào)書寫過程的正確性也不過分. 其次書寫過程的步驟恰巧體現(xiàn)了教學(xué)中需要強調(diào)的教學(xué)內(nèi)容，也可將每個步驟所對應(yīng)的小知識點分離出來單獨強化，所以可將同類型重難點題目的同一步驟剝離出來點單獨考察，有助于整體上更好地掌握這個知識點. 在分解重難點題目的解答步驟時仍然需要強調(diào)小步子原則，不怕步驟多，一定要分解到和學(xué)生學(xué)過的基本公式、定理或者方法技巧相聯(lián)通，讓學(xué)生在解答強調(diào)書寫步驟法的測試題時能體會出數(shù)學(xué)思維的邏輯過程和數(shù)學(xué)分析的方法，達到培養(yǎng)學(xué)生形成正確邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)表達的效果. 強化書寫步驟法的測試題設(shè)計方法如圖4.

圖4 重難點題目的強化書寫步驟設(shè)計方法

這里以球面坐標(biāo)系下三重積分的計算題目入手來探討這部分題目的設(shè)計.

從例2的解答可分為四個步驟：重積分的對稱性質(zhì)，怎么利用對稱性將積分轉(zhuǎn)化為適合球面坐標(biāo)系下的積分；怎樣將三重積分轉(zhuǎn)化為球面坐標(biāo)系下的三次積分，如何計算三次積分. 在解決球面坐標(biāo)系下的三重積分計算之前，先讓學(xué)生逐一掌握四個基本的知識點，然后再來強調(diào)三重積分的步驟書寫. 只需要將四個步驟按順序組成一個閱讀題，或者將學(xué)生常犯的錯誤加入某一步驟，然后按順序(不能用梅花序)得到一個選擇題，最好設(shè)計成多選題. 在微助教上，作者曾將最后一步的計算結(jié)果改成錯誤結(jié)論得到一個多選題，現(xiàn)將微助教上的測試題以及兩個大班學(xué)生的測試結(jié)果截屏如圖5.

圖5 球面坐標(biāo)積分的一個計算題及解答情況

從圖5中的微助教反饋的直方圖可以看出，學(xué)生經(jīng)過前期基本知識點的訓(xùn)練，對此類題目的解答過程已經(jīng)熟悉，但其中一個班對于球面坐標(biāo)系下重積分化為累次積分還有所欠缺，所以這個班就需要在球面坐標(biāo)系下重積分化為累次積分方面多加練習(xí)，另一個班只需對個別同學(xué)提出建議即可.

3.4 一題多解設(shè)計法

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析和多角度邏輯思維能力方面，一題多解有無可挑剔的優(yōu)越性. 一題多解通常在方法總結(jié)、以及不同方法之間的關(guān)聯(lián)等起到不可替代的作用. 但一題多解應(yīng)該是主觀題客觀化中最難的一種情形，計算題有一題多解，證明題也有一題多解，怎么針對一題多解設(shè)計客觀題呢？首先將題目的各種解法(包括錯誤解法)依次整理出來不同的思路以及不同的結(jié)論，從思路和結(jié)論中挑選出3～5種為選擇支即可得到選擇題. 此時每個選擇支盡可能體現(xiàn)不同的解題思路，這樣得到的選擇題不一定有完整的解題或證明過程，但充分體現(xiàn)了一題多解的解題思路. 一題多解設(shè)計法歸納為圖6.

圖6 一題多解測試題設(shè)計方法

下面給出一道證明題和一道計算題的一題多解的客觀題設(shè)計方法.

例3設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0)，試證在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ滿足2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(ξ). 則下面證明思路正確的是( ) .

(A) 做輔助函數(shù)F(x)=f(x),G(x)=x2,利用柯西中值定理可得結(jié)論

(B) 構(gòu)造F(x)=x2[f(b)-f(a)]-(b2-a2)f(x),可由羅爾定理證明結(jié)論

這道題的正確答案為(A)、(B)、(D)，而(C)是一種錯誤解答. 這里三種正確解法(A)、(B)、(D)分別給出了用柯西中值定理、羅爾定理及拉格朗日定理證明同一道題的思路，從而反映出三個中值定理在一定條件下是等價的，而(C)這個錯誤選項也體現(xiàn)了學(xué)生對微分中值定理中的中值理解不到位常犯的一種錯誤. 所以這道證明題的客觀化設(shè)計充分體現(xiàn)了微分中值定理的總結(jié)和其相互關(guān)聯(lián)，也是一種思考和總結(jié).

例4求xy′=x-y的通解.

此題可用三種不同思路，一種是化為一階線性非齊次方程，另外兩種是分別以x，y為自變量可分離變量的方程求解，這三種解題思路和正確答案作為四個選擇支就設(shè)計了如下一道多項選擇題.

題目內(nèi)容 對于方程xy′=x-y,下列說法正確的是( ).

4 結(jié) 論

主觀題客觀化問題是很多課程，尤其是理工類課程開展混合式教學(xué)中一個棘手的問題. 如果解決了主觀題客觀化問題，就等于消滅了這些課程開展混合式教學(xué)的攔路虎. 本文以《微積分學(xué)》課程為例創(chuàng)造性地提出了四種主觀題客觀化方法，并進行了舉例說明，這些思路和方法同樣適用于其它理工類課程. 如果主觀題客觀化問題解決好了，理工類課程的課程考試就可以加大客觀題所占的比例，甚至完全采用客觀題線上考試，這樣也可以減少主觀題在人為批改時所產(chǎn)生的誤差，也減輕了教師批改試卷的工作量. 主觀題客觀化主要是用于線上線下的混合式教學(xué)中，這些思想方法對這方面的教學(xué)改革一定也會起到不可估量的重要作用. 同時會提升高校教師的教學(xué)技能和教學(xué)研究，進一步促進學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、邏輯思維、數(shù)學(xué)分析等方面的能力.

主觀題客觀化方面，目前還有一些不足之處，還需要大量的客觀實踐和實驗研究去比較此方法與傳統(tǒng)課堂講授方法誰更有效，還需進一步給出主觀題客觀化方法是否能夠在在線平臺上完全取代或者部分取代傳統(tǒng)課堂的重難點講授的結(jié)論.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.