平面雙線性映射的伸縮率分析

李 倩， 王旭輝

(合肥工業(yè)大學 數學學院，合肥230601)

1 引 言

平面(2D)變形是圖像處理中具有多種應用程序的操作，有著廣泛的應用.例如，利用WarpGAN自動生成漫畫[1].平面變形在3D幾何參數化中也有著重要貢獻[2].

經典的平面變形方法有Free-From變形(FFD)[3]、Thin-Plate樣條(TPS)[4]和Mean-Value坐標(MVC)[5]，但它們并不能保證局部失真.因此，最近的平面變形強調控制局部失真，即保證角度的局部變形，為此引入了共形映射，可以最大程度地保留角度.因此，近年來共形映射及其近似被廣泛用于平面變形[6-9]以及參數化[10-11].但共形映射的自由度少，且很難插入四個及以上的點并保證單射性.

在此基礎上，研究者提出最小化共形失真，即構造最優(yōu)擬共形映射.例如，Lipman等[12]提出了4點插值公式(FPI)，可以最小化最大共形失真且均勻分布在整個區(qū)域；Nian等[13]提出了一種基于交替方向乘法器(ADMM)迭代算法來計算Teichmüller映射，能產生更均勻的參數化，提高精度；Goswami等[14]在多邊形之間提出一種基于O(1/ε4)的迭代算法來獲得連續(xù)的極值擬共形映射，保證了伸縮商的減?。籛eber等[15]基于Teichmüller對極值映射的全純二次微分伸縮商的刻畫，提出了一種計算零類曲面極值擬共形映射分段線性逼近的算法，具有良好的收斂性；Lui等[16]提出了擬共形迭代(QC迭代)算法來計算Teichmüller映射，其基本思想是用Beltrami系數(BCs)表示微分同胚集，尋找與Teichmüller映射相關的Beltrami系數(BC)，最后使用Linear Beltrami Solver(LBS)構造最優(yōu)擬共形映射.

本文在平面區(qū)域內通過雙線性映射[17]構造擬共形映射，針對平面凸四邊形，研究雙線性映射的伸縮率極值情況.

2 預備知識

本文考察雙線性映射的伸縮率極值情況.令z=s+it是一個復變量，其中i2=-1,s,t∈分別是z的實部和虛部，記為z的共軛.對于任意可微復變函數f(z)，它將一個復平面映射到另一個復平面上，其導函數可被定義為

定義1(擬共形映射) 假設f∶D?→是復變函數，且具有連續(xù)偏導.若f滿足Beltrami方程

(1)

且復值函數μf(z)滿足‖μf(z)‖∞<1，則稱f為擬共形映射.其中，μf(z)被稱為f的Beltrami系數.

擬共形映射的Beltrami系數μf(z)可以用來衡量共形程度.擬共形映射是一種從微小圓到微小橢圓的映射，其中橢圓的離心率即f的伸縮商是由旋轉角度arg(μf)/2的最大放大倍數1+|μf|和旋轉角度(arg(μf)-π)/2的最大縮小倍數1-|μf|給出(見圖1).因此，f(z)在z點處的伸縮商定義為

f的最大伸縮商定義為

由于當‖μf‖∈[0,1) 時，Kf關于‖μf‖成嚴格單調遞增，故討論伸縮商的最大值情況等價于討論‖μf‖的最大值情況.下面分析雙線性映射的伸縮商情況.

3 雙線性映射

給定平面上一個凸四邊形Q，其四個頂點分別為q00,q01,q10,q11∈2，且q00,q01,q10,q11為逆時針排序.將2上的向量(s,t)表示為復變量z=s+it的形式，則該四邊形的頂點qij=(xij,yij),i,j=0,1，可表示為qij=xij+iyij.定義雙線性映射如下：

F(z)=x(s,t)+iy(s,t)=q00(1-s)(1-t)+q01(1-s)t+q10s(1-t)+q11st，

(2)

其中(s,t)∈Ω=[0,1]×[0,1].該雙線性映射為單位正方形區(qū)域映射到凸四邊形區(qū)域Q上的一一映射.

由伸縮率函數的定義(1)，雙線性映射F(z)的伸縮率函數μF可表示為

從而

(3)

(4)

引理1設H(s,t),G(s,t),N(s,t),D(s,t)如公式(4)所定義，則有如下關系式

證由(4)得

定理1雙線性映射F(z)對應的γ(s,t)=|μF|2有且僅有一個駐點，且在該駐點處取極小值.

證首先記M?2是γ(s,t)的駐點集合，即

由引理1可得

所以

M={(s,t)|HGs-HsG=HGt-HtG=0,D≠0,s,t∈}.

由雙線性映射的定義(2)知

deg(H)=2, deg(G)=deg(Hs)=deg(Ht)=1，

所以deg(HGs-HsG)=deg(HGt-HtG)=2，因此M中最多存在4組解.另外，由(4)可知

(5)

可得

(6)

根據雙線性映射的定義(2)，可得

(7)

為了簡化計算，將(7)記為

Fs=A0t+A1,Ft=A0s+A2,Fs t=A0，

(8)

其中A0=q00+q11-q01-q10,A1=q10-q00,A2=q01-q00.因此，(6)式的四個解可記為

又因為D=H-iG≠0，故只保留一組解，即

(9)

因此，γ(s,t)=|μF|2有且只有一個駐點，即雙線性映射的伸縮率函數μF有且只有一個駐點.

再計算γ(s,t)的Hessian矩陣行列式值為

代入(4)，(5)，(8)式和駐點，可化簡為

(10)

(11)

令A1=q10-q00,A2=q01-q00,A3=q11-q10，則A0=A3-A2.將A1,A2,A3記為

A1=ρ1eiθ1,A2=ρ2eiθ2,A3=ρ3eiθ3，

(12)

其中ρ0,ρ1,ρ2,ρ3是向量A0,A1,A2,A3的模長，θ1,θ2,θ3∈[0,π]為A1,A2,A3的輻角.則

(13)

(14)

從而，(11)式化為

故該駐點是極值點.又

所以在該駐點處取得極小值.

例1給定一個平面凸四邊形Q1，其頂點分別為q00(0,0),q01(0,1),q10(2,0),q11(1,2)，則從Ω到Q1的雙線性映射為

F(z)=2s(1-t)+i(1-s)t+(1+2i)st，

顯然，Fs=2-(1-i)t,Ft=i-(1-i)s,Fs t=-1+i，其中A0=-1+i,A1=2,A2=i.

又因為

D=H-iG=9+12s+5s2-6t+5t2≠0，

定理2雙線性映射F(z)的伸縮率函數μF的最大值發(fā)生在區(qū)域Ω的頂點處.

證若γ(s,t)=|μF|2最大值在區(qū)域Ω=[0,1]×[0,1]內部取得，由于γ(s,t)在除極點外充分光滑，那么γ(s,t)一定存在另一個駐點，使得最大值發(fā)生在Ω內部，與定理1矛盾.所以，γ(s,t)的最大值只能在邊界上取得.下面考察γ(s,t)在邊界s=0,s=1,t=0,t=1上的取值情形.由(4)和(8)式，可得

下面只考察γ(s,t)在s=0上的取值情況，其余三條邊界類似.令

顯然上式的分母在區(qū)間內[0,1]不為零.對T0(t)求導，可得

由于T0(t)的一階導數的分母恒大于0，故只需討論其分子.令g(t)為上式的分子部分，即

設g(t)=0，可得駐點

由(12)知

因此

又

當θ3>θ2時且q′00位于四邊形內部時，SΔq00q01q10>SΔq′00q01q10，即t>1(見圖2(a)(b))；當θ3>θ2時且q′00位于四邊形外部時，q′00的位置在q00與q10之間，仍有SΔq00q01q10>SΔq′00q01q10，即t>1(見圖2(c)(d))；當θ3<θ2時，ρ2ρ3sin(θ3-θ2)<0，即t<0.

(i) 當θ3>θ2時，函數g(t)開口向下，對稱軸t>1，那么在[0,1]間至多只有一個駐點t1.

若t1在[0,1]內，此時在[0,t1]上g(t)<0，在[t1,1]上g(t)>0，則T0(t)在[0,t1]上單調遞減，[t1,1]上單調遞增.又t1是駐點，取得極小值，故T0(t)的最大值在t=0或t=1處取得，即在頂點處取得最大值.

若t1不在[0,1]內，此時g(t)在[0,1]上恒大于0或者恒小于0，則T0(t)在[0,1]上單調.再考慮f(0)與f(1)的大小，有

故T0(t)在[0,1]上單調遞增.又t1是駐點，取得極小值，故T0(t)的最大值在t=1處取得，即在頂點處取得最大值.

(ii) 當θ3≤θ2時，函數f(t)開口向上，對稱軸t<0，那么在[0，1]間至多只有一個駐點t2.

若t2在[0,1]內，此時在[0,t2]上g(t)<0，在[t2,1]上g(t)>0，則T0(t)在[0,t2]上單調遞減，[t2,1]上單調遞增.又t2是駐點，取得極小值，故T0(t)的最大值在t=0或t=1處取得，即在頂點處取得最大值.

若t2不在[0,1]內，此時g(t)恒大于0或者恒小于0，,則T0(t)在[0,1]上單調.再考慮f(0)與f(1)的大小，有

所以T0(t)在[0,1]上單調遞增.又t2是駐點，取得極小值，故T0(t)的最大值在t=1處取得，即在頂點處取得最大值.

故|μF|2的最大值發(fā)生在頂點處，即雙線性映射的伸縮率函數μF的最大值發(fā)生在頂點處.

例2由例1，從單位正方形Ω到Q1的雙線性映射為

F(z)=2s(1-t)+i(1-s)t+(1+2i)st，

其伸縮率函數為

則

可以得到伸縮率函數圖像(見圖4)，且清楚看出μQ1的最大值發(fā)生在頂點處.

例3給定一個平面凸四邊形Q2，其頂點分別為q00(0,0),q01(0,3),q10(2,0)，q11(3,2).那么，從Ω到Q2的雙線性映射為G(z)=2s(1-t)+3i(1-s)t+(3+2i)st，其伸縮率函數為

4 結 論

本文討論了在平面區(qū)域上基于雙線性函數的擬共形映射的最大值發(fā)生情況.首先定義單位正方形區(qū)域到凸四邊形區(qū)域之間的雙線性函數，然后在此基礎上求出擬共形映射的伸縮率函數μF，最終通過定理1和定理2給出了擬共形映射的最大值發(fā)生在平面凸四邊形的頂點處的結論.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.