一種新型非對稱五自由度混聯(lián)機(jī)器人的尺度綜合

董成林 劉海濤 楊俊豪

1.中國核動力研究設(shè)計院核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)重點實驗室，成都，6100412.天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津，300354

0 引言

近年來，一類由三自由度1T2R(T表示平動，R表示轉(zhuǎn)動)位置型并聯(lián)機(jī)構(gòu)和二自由度A/C轉(zhuǎn)頭組成的高性能五自由度混聯(lián)機(jī)器人越來越受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的關(guān)注。這類機(jī)器人在靈活性、可重構(gòu)性，以及速度、精度、動態(tài)特性等方面，不同程度地繼承或彌補(bǔ)了數(shù)控機(jī)床和關(guān)節(jié)型機(jī)器人的優(yōu)點或不足，是兩種裝備技術(shù)結(jié)合的產(chǎn)物[1-2]。采用該類機(jī)器人搭建的機(jī)器人化加工裝備正逐漸成為航空航天、核能、船舶等高端制造領(lǐng)域大型結(jié)構(gòu)件現(xiàn)場短流程、高柔性、高效率制造的一種重要技術(shù)選擇[3-5]。目前，這類高性能混聯(lián)機(jī)器人的典型代表有Trciept機(jī)器人[6]、Exechon機(jī)器人[7]和TriMule機(jī)器人[8]等。

尺度綜合是實現(xiàn)機(jī)器人本體工程設(shè)計的關(guān)鍵步驟，涉及根據(jù)運(yùn)動學(xué)、靜剛度或動力學(xué)等性能評價指標(biāo)優(yōu)化機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)。長期以來，一些學(xué)者圍繞機(jī)器人機(jī)構(gòu)的尺度綜合開展了大量的研究?；谶\(yùn)動學(xué)性能的優(yōu)化設(shè)計是最為常用的方法之一。該方法一般以反映工作空間能力，以及關(guān)節(jié)與操作瞬時運(yùn)動/力傳遞特性的指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)和/或約束條件，以歸一化的尺度參數(shù)為決策向量開展設(shè)計。所涉及的傳遞特性指標(biāo)通常為采用雅可比矩陣的代數(shù)特征(行列式、條件數(shù)、奇異值等)來構(gòu)造的各種局部和全域評價指標(biāo)[9-12]。注意到僅當(dāng)位姿耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣具有齊次量綱時[13]，其代數(shù)特征才能作為正確評價機(jī)構(gòu)運(yùn)動性能的指標(biāo)。為此，一些學(xué)者先后提出可構(gòu)造并聯(lián)機(jī)構(gòu)齊次量綱雅可比矩陣的方法，如特征長度法[14]、特征點法[15]、轉(zhuǎn)動/平動最大靈敏度法[16]等。然而，特征長度法將靈活度在齊次空間中最優(yōu)的一組量綱一D-H參數(shù)作為特征長度，對雅可比矩陣作歸一化處理，但因缺乏明確的物理意義而鮮被采用。特征點法是用動平臺上若干特征點的線速度來表征操作速度，雖簡單直觀，但尚無選擇這些點的普適性準(zhǔn)則可資利用。轉(zhuǎn)動/平動最大靈敏度法物理意義明確，但在優(yōu)化設(shè)計中面臨如何選擇權(quán)重的問題。鑒于上述原因，由BALL[17]提出的虛系數(shù)發(fā)展而來的傳遞率已成為評價位姿耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)性能的主流方法。虛系數(shù)被定義為作用在動平臺的力旋量在相應(yīng)運(yùn)動旋量上所做功的歸一值，其幾何意義可以被理解為二者螺旋軸夾角的余弦。這類指標(biāo)包括傳遞因子、傳遞指標(biāo)、傳遞率、廣義傳遞指標(biāo)等。它們的共同之處是量綱一化且與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，取值越大則運(yùn)動/力傳遞特性越好，而主要區(qū)別在于歸一化方法不同，以及對驅(qū)動-約束、串聯(lián)-并聯(lián)等特征的細(xì)分。近年來，基于虛系數(shù)的各種指標(biāo)被廣泛應(yīng)用于位姿耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)優(yōu)化設(shè)計[18-22]。

本文面向大型結(jié)構(gòu)件現(xiàn)場加工的需求，提出一種新型非對稱五自由度混聯(lián)機(jī)器人，以期為高性能機(jī)器人化加工裝備的搭建提供又一可資利用且具有工程實用價值的構(gòu)型。以其中三自由1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，在運(yùn)動學(xué)分析及借助旋量理論構(gòu)造出量綱一雅可比矩陣的基礎(chǔ)上，開展該機(jī)構(gòu)尺度綜合方法研究，旨在獲得一組使該機(jī)器人兼具優(yōu)良的運(yùn)動/力傳遞特性及大作業(yè)空間/機(jī)構(gòu)占地比，且具有近似面對稱性能的尺度參數(shù)。

1 系統(tǒng)描述

圖1示出了本文所提出新型非對稱五自由度混聯(lián)機(jī)器人的CAD模型。該機(jī)器人由三自由度1T2R位置型并聯(lián)機(jī)構(gòu)和二自由度A/C轉(zhuǎn)頭串接組成。其中，前者為R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，包含一條無約束UPS主動支鏈，和一個由一條RPR支鏈、一條RP支鏈組成的1T1R平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，且該平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的連架桿件(即轉(zhuǎn)動支架)通過一對連架R副與機(jī)架連接。其中，R、U、S分別表示轉(zhuǎn)動副、虎克鉸和球鉸，P表示主動移動副。在三個P副的驅(qū)動下，1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端動平臺可做繞連架R副的轉(zhuǎn)動，以及RP支鏈中R副的轉(zhuǎn)動和P副的平動，具備實現(xiàn)大作業(yè)空間/機(jī)構(gòu)占地比的能力。動平臺上串接的A/C轉(zhuǎn)頭則可進(jìn)一步實現(xiàn)末端執(zhí)行器的姿態(tài)能力。

圖1 新型五自由度混聯(lián)機(jī)器人CAD模型Fig.1 CAD model of the novel 5-DOF hybrid robot

上述機(jī)器人繼承并有機(jī)融合了Exechon機(jī)器人和TriMule機(jī)器人的優(yōu)點，其特色主要如下：

(1)與Exechon、TriMule機(jī)器人中的1T2R機(jī)構(gòu)相同，并聯(lián)機(jī)構(gòu)由空間支鏈和平面運(yùn)動鏈組成，故僅采用兩組占地很小的軸承座作為靜平臺即可，從而大幅減小模塊質(zhì)量、降低制造成本。此外，轉(zhuǎn)動支架上集成了連架R副，以及RPR支鏈、RP支鏈與轉(zhuǎn)動支架連接的R副，是一個二合一構(gòu)件，故可采用精密立加或精密坐標(biāo)鏜一次裝夾加工完成全部孔系加工，保證整機(jī)的裝配精度和效率。

(2)與TriMule機(jī)器人類似，可在A/C轉(zhuǎn)頭轉(zhuǎn)軸輸出端，R(RP)支鏈的三個關(guān)節(jié)上安裝圓光柵與直線光柵，故具備實現(xiàn)全閉環(huán)反饋控制的功能。同時相較于TriMule機(jī)器人，該機(jī)器人中平面并聯(lián)運(yùn)動鏈減少了一條從動支鏈，鉸鏈自由度數(shù)目更少，結(jié)構(gòu)更加簡單。

(3)相較于Exechon機(jī)器人，該機(jī)器人中空間支鏈為六自由度無約束UPS支鏈，僅承受拉壓載荷，容易實現(xiàn)輕量化設(shè)計，且裝配工藝性更好。

(4)與Exechon和TriMule機(jī)器人類似，根據(jù)其結(jié)構(gòu)緊湊、可重構(gòu)能力強(qiáng)的優(yōu)點，可搭建出形式多樣的機(jī)器人化作業(yè)單元和移動工作站。

值得指出的是，不同于Exechon和TriMule機(jī)器人，該機(jī)器人中的三自由度1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有非對稱結(jié)構(gòu)，而這一結(jié)構(gòu)特點將導(dǎo)致其工作空間受到限制，同時影響機(jī)構(gòu)受力[23-25]。因此，為了有效避免非對稱結(jié)構(gòu)對工作空間的影響，同時獲得近似面對稱的性能，必須合理設(shè)計該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)。

2 位置逆解分析及量綱一雅可比矩陣構(gòu)造

2.1 坐標(biāo)系建立

為了便于描述，現(xiàn)將UPS支鏈記為支鏈1，將轉(zhuǎn)動支架與RP支鏈(RPR支鏈)構(gòu)成的UP運(yùn)動鏈(UPR運(yùn)動鏈)記為支鏈2(3)。據(jù)此，令點Bi為支鏈i連架U副的中心，點A1、A2和A3分別表示支鏈1中S副中心、支鏈2軸線與動平臺平面交點，以及支鏈3中R副中心，點B和A則分別為B2B3和A2A3的中點。其中，點Bi和Ai分別構(gòu)成等腰三角形ΔB1B2B3和ΔA1A2A3，如圖2所示。此外，又令sj,i表示支鏈i中第j個單自由度關(guān)節(jié)軸線的方向矢量，它們滿足如下關(guān)系:

圖2 R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic diagram of the R(RPR&RP)&UPSparallel mechanism

(1)

為了不失一般性，在點B和動平臺參考點P(A/C轉(zhuǎn)頭兩轉(zhuǎn)軸交點)上分別建立固定參考系B-xyz和連體參考系P-uvw，且滿足y⊥B2B3、z⊥ΔB1B2B3，v⊥A2A3、w⊥ΔA1A2A3。注意到UP支鏈為恰約束支鏈，故系B-xyz首先繞s1,2軸轉(zhuǎn)動θ1,2，然后繞s2,2軸轉(zhuǎn)動θ2,2+γu即可得到參考連體系P-uvw。據(jù)此，參考連體系P-uvw相對于參考連體系B-xyz的姿態(tài)矩陣可用關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1,2和θ2,2表示為

R=Rot(s1,2,θ1,2)Rot(s2,2,θ2,2+γu)=[uvw]=

(2)

其中，c=cos，s=sin；γu為支鏈2相對于動平臺的方位角，即支鏈軸線與動平臺平面法相的夾角，如圖2所示；u、v、w分別為參考系P-uvw三個正交軸的單位矢量。

2.2 位置逆解分析

位置逆解分析是R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)量綱一雅可比矩陣構(gòu)造、性能分析及優(yōu)化設(shè)計的重要基礎(chǔ)，涉及已知機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)，末端參考點P的位矢，求解各支鏈的桿長。

如圖2所示，在參考系B-xyz下，動平臺參考點P的位矢rP=(xP，yP，zP)T可表示為

rP=bi+q3,is3,i-ci

(3)

bi=bi(cosφi,sinφi,0)Tci=ai-ew

ai=Rai0ai0=a(cosφi,sinφi,0)T

b1=byb2=b3=bx

q3,i=BiAibi=BBi

a=AAie=AP

根據(jù)機(jī)構(gòu)中運(yùn)動副軸線的布置，存在

(4)

(5)

λ1=xP-bxλ2=yPsinθ1,2-zPcosθ1,2

λ3=acosγu-esinγu

據(jù)此，可求解得到

(6)

在此基礎(chǔ)上，可構(gòu)造出姿態(tài)矩陣R，進(jìn)而確定

(7)

2.3 量綱一雅可比矩陣構(gòu)造

雅可比矩陣表征了關(guān)節(jié)空間與操作空間之間的瞬時運(yùn)動/力傳遞特性，故雅可比矩陣的構(gòu)造是機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)性能評價和優(yōu)化設(shè)計的必要前提。

注意到UPS支鏈為六自由度主動支鏈，它僅對動平臺提供一個沿軸向的驅(qū)動力旋量ξWa,1。而連架R副與平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成的R(RPR&RP)平面混聯(lián)運(yùn)動鏈除提供兩個分別沿支鏈2和3軸向的驅(qū)動力旋量ξWa,2和ξWa,3之外，還提供機(jī)構(gòu)所需的整個約束力旋量系。如圖3所示，根據(jù)約束力子空間與許動運(yùn)動子空間互為零化子空間的原理，該約束力旋量系可分解為：①由UP支鏈提供的約束力旋量ξWc,1用于限制動平臺在面內(nèi)沿n1,2方向的平動；②由平面混聯(lián)運(yùn)動鏈中兩條支鏈共同提供的約束力ξWc,2和ξWc,3，前者用于限制動平臺沿s2,2方向的平動，后者用于限制動平臺繞n3,2=s1,2×s2,2方向的轉(zhuǎn)動。

圖3 R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參考位形Fig.3 Reference configuration of the R(RPR&RP)&UPSparallel mechanism

因此，根據(jù)驅(qū)動/約束力旋量在從動關(guān)節(jié)上不做功的原理，可構(gòu)造出動平臺關(guān)于點P的運(yùn)動旋量ξt=(δT,εT)T與驅(qū)動關(guān)節(jié)變分之間的雅可比矩陣映射矩陣：

(8)

注意到R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為一位姿耦合機(jī)構(gòu)，故ξt的6個Plücker坐標(biāo)中僅有三個是獨(dú)立的。因該機(jī)構(gòu)為位置型1T2R機(jī)構(gòu)[2, 26]，不妨取δ為主坐標(biāo)、ε為副坐標(biāo)，則按主副坐標(biāo)對W分塊后，可將式(8)改寫為

(9)

式中，Waf(Wcf)、Waτ(Wcτ)分別為由Wa(Wc)的線性部、角性部構(gòu)成的3×3矩陣。

由上式可解出

(10)

3 運(yùn)動學(xué)性能分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)性能主要體現(xiàn)在任務(wù)空間/機(jī)構(gòu)占地比，以及運(yùn)動/力傳遞特性兩個方面，它們可用于構(gòu)造尺度綜合中的目標(biāo)函數(shù)和/或約束條件。本節(jié)提出一種凝練R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)及求解任務(wù)空間參數(shù)的方法，并定義可定量描述運(yùn)動/力傳遞特性及其面對稱程度的指標(biāo)，進(jìn)而揭示尺度參數(shù)對運(yùn)動學(xué)性能的影響規(guī)律，旨在為尺度綜合提供理論指導(dǎo)。

3.1 尺度參數(shù)凝練與任務(wù)空間定義

考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)一般集中在可達(dá)空間中心附近區(qū)域工作，因此首先定義三條支鏈達(dá)到各自行程一半的位形為參考位形，如圖3所示，則

(11)

式中，q3,imax、q3,imin為支鏈i的最大、最小桿長。

為了獲得近似面對稱或軸對稱的性能，限定三條支鏈的最大/最小桿長相等(即q3,imax=qmax，q3,imin=qmin)，且在參考位形下支鏈3的方位角與支鏈2的方位角γu相等。據(jù)此，不難發(fā)現(xiàn)在參考位形下，v-w坐標(biāo)平面與y-z坐標(biāo)平面重合，如圖3所示。此外，記q3,imean=q、支鏈1的方位角為γv。

現(xiàn)不妨選取支鏈行程Δq=qmax-qmin，行程與最小桿長之比μ=Δq/qmin，動平臺半徑a，以及參考位形下的支鏈方位角γu和γv為獨(dú)立的尺度參數(shù)，則根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系，可將其他參數(shù)表示為上述參數(shù)的函數(shù)：

(12)

考慮到R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)空間為一非規(guī)則幾何體，現(xiàn)定義其中的一內(nèi)接圓柱體作為任務(wù)空間，記為WT。如圖3所示，WT的半徑和高分別為R和h，距離靜平臺平面高度為H，其軸線與z軸的距離為d，且WT底面的中點對應(yīng)于所定義的參考位形。現(xiàn)提出一種確定上述參數(shù)的數(shù)值方法。首先，根據(jù)參考位形的定義可確定

(13)

其中，ψ=arccos((qcosγu-qcosγv)/by)表示平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動平面與靜平臺平面的夾角。其次，若by≥bx(或γv≥γu)，且令WT上平面與支鏈最小桿長約束邊界曲面相切，則H取決于支鏈2的最小桿長，滿足

H=

(14)

在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步由式(13)確定出h。最后，因R取決于支鏈最大桿長約束，故在q3,i=qmax所約束曲面與z=H+h平面的交線上搜索到點(0，-d，H+h)T的最小距離，該值即為WT的半徑R。

3.2 運(yùn)動學(xué)性能指標(biāo)

任務(wù)空間/機(jī)構(gòu)占地比是位置型1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的重要運(yùn)動學(xué)性能指標(biāo)之一，它反映了用占地較小的機(jī)器人模塊實現(xiàn)大范圍作用的能力。在此，定義R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的任務(wù)空間/機(jī)構(gòu)占地比為

(15)

式中，S為ΔB1B2B3的外接圓面積。

運(yùn)動/力傳遞特性取決于機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，是并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計必須重點考慮的性能。通常以量綱一雅可比矩陣J條件數(shù)的倒數(shù)作為評價機(jī)構(gòu)運(yùn)動/力傳遞特性的指標(biāo)，即

(16)

式中，σmax(J)、σmin(J)分別為J的最大和最小奇異值。

此外，為了反映機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)性能的面對稱程度，又定義如下指標(biāo)：

(17)

式中，κ+、κ-分別表示在y-z坐標(biāo)平面右側(cè)WT中某一給定點，以及該點關(guān)于y-z平面對稱點所對應(yīng)位形下的局部運(yùn)動/力傳遞特性。

3.3 尺度參數(shù)對運(yùn)動學(xué)性能影響規(guī)律

圖和隨γu 和γv的變化規(guī)律Fig.4 Variations of λW and versus γu and γv

4 尺度綜合

(18)

在此，xj,min和xj,max表示xj的下界和上界，D={x|c(x)≤0}表示在滿足約束條件下決策向量x的可行域。

采用2-范數(shù)定義偏差函數(shù)并引入權(quán)重，進(jìn)而可將問題(18)改寫為

(19)

式中，wi為度量第i個目標(biāo)重要程度的權(quán)重，且滿足w1+w2=1。

圖5 F隨γu和γv的變化規(guī)律Fig.5 Variations of F versus γu and γv

表1 R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)設(shè)計結(jié)果

表2 任務(wù)空間參數(shù)

圖6 κ在WT中的分布規(guī)律Fig.6 Distribution of κ within WT

在同尺度參數(shù)下，現(xiàn)將R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動/力傳遞特性與TriMule機(jī)器人中R(2-RPR&RP)&UPS機(jī)構(gòu)(圖7a)、Exechon機(jī)器人中R(2-RPR)&SPR機(jī)構(gòu)(圖7b)進(jìn)行對比。二者的運(yùn)動學(xué)建模及量綱一雅可比矩陣構(gòu)造分別參見文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[27]。

(a)R(2-RPR&RP)&UPS

(b)R(2-RPR)&SPR圖7 R(2-RPR&RP)&UPS與R(2-RPR)&SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.7 Schematic diagram of the R(2-RPR&RP)&UPSand R(2-RPR)&SPR parallel mechanism

(a)R(2-RPR&RP)&UPS

(b)R(2-RPR)&SPR圖8 R(2-RPR&RP)&UPS與R(2-RPR)&SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動/力傳遞特性分布規(guī)律Fig.8 Motion/force transmissibility distributions of theR(2-RPR&RP)&UPS and R(2-RPR)&SPRparallel mechanism

表3 全域運(yùn)動/力傳遞特性對比

考慮到上述對比分析局限于給定的任務(wù)空間WT，故圖9進(jìn)一步示出了三種并聯(lián)機(jī)構(gòu)在可達(dá)工作空間中x-z和y-z坐標(biāo)平面上的運(yùn)動/力傳遞特性分布規(guī)律。由圖可見，三種機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間接近，且力/運(yùn)動傳遞特性基本相當(dāng)。上述對比分析結(jié)果有效驗證了本文所提出尺度綜合方法的有效性，同時為該新型混聯(lián)機(jī)器人的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

(a)新型機(jī)器人：R(RPR&RP)&UPS

(b)TriMule機(jī)器人：R(2-RPR&RP)&UPS

(c)Exechon機(jī)器人：R(2-RPR)&SPR圖9 三種并聯(lián)機(jī)構(gòu)在可達(dá)工作空間中的運(yùn)動/力傳遞特性對比Fig.9 Comparison of the motion/force transmissibilityof three parallel mechanisms in the reachable workspace

5 結(jié)論

(1)提出了一種新型非對稱五自由度混聯(lián)機(jī)器人，其中的三自由度1T2R位置型并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含一條無約束UPS主動支鏈，和一個由一條RPR支鏈、一條RP支鏈組成的1T1R平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，且該平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的連架桿件通過一對連架R副與機(jī)架連接。這一特殊構(gòu)型使得該機(jī)器人有機(jī)融合了Exechon和TriMule機(jī)器人的優(yōu)點。