基于Box-Behnken響應(yīng)面法的SPS煙囪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化

馬清勇，田阿利，趙元帥，傅梓軒，姚 鵬

(江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

0 引 言

輕量化船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)已成為目前船舶設(shè)計(jì)建造追求的目標(biāo)。鋼聚氨酯夾層板結(jié)構(gòu)因其具有重量輕、比強(qiáng)度高、比剛度大、耐疲勞性和可減少焊接施工等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于當(dāng)代軍事、航空航天、橋梁工程、能源工程、船舶與海洋工程等領(lǐng)域[1]。由于夾層板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量，相關(guān)約束較多，選取合理、高效的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對(duì)提高復(fù)合材料夾層板結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)能效有重要意義。

響應(yīng)面法是一種采用數(shù)學(xué)建模和試驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合的優(yōu)化方法，具有高效率、高精度、較少試驗(yàn)次數(shù)、顯性表述設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)值之間影響等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛的應(yīng)用[2-5]。鮑諾[2]將響應(yīng)面和優(yōu)化方法相結(jié)合，以飛機(jī)基準(zhǔn)模型作為算例，驗(yàn)證了響應(yīng)面和優(yōu)化方法相結(jié)合在結(jié)構(gòu)分析中的有效性。鄭彬[3]將工作臺(tái)作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究對(duì)象，對(duì)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)，采用優(yōu)化算法對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化，確定了最佳優(yōu)化方案。王萌[4]采用響應(yīng)面法建立了目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的非線性關(guān)系，將整車的操縱性、內(nèi)部空間、車身質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了減重的同時(shí)操縱性的改善。

本文為實(shí)現(xiàn)煙囪結(jié)構(gòu)輕量化的同時(shí)具有更優(yōu)良力學(xué)性能的目標(biāo)，基于重量相當(dāng)?shù)脑瓌t，對(duì)傳統(tǒng)鋼加筋板煙囪結(jié)構(gòu)進(jìn)行鋼聚氨酯夾層板結(jié)構(gòu)初步替代設(shè)計(jì)，采用精度高、設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)較少的Box-Behnken響應(yīng)面法開展SPS煙囪結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，以結(jié)構(gòu)位移和等效應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，結(jié)構(gòu)上下面板、芯層、支撐高度和厚度，總重量為約束條件，建立關(guān)于結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)的2階響應(yīng)面優(yōu)化模型，得到優(yōu)化后的SPS煙囪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，并利用有限元方法，對(duì)原鋼質(zhì)煙囪結(jié)構(gòu)，替代設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真計(jì)算，對(duì)優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行詳細(xì)對(duì)比，驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的有效性。優(yōu)化結(jié)果可為煙囪及船體結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)，提升結(jié)構(gòu)力學(xué)性能提供參考。

1 有限元分析

1.1 SPS煙囪設(shè)計(jì)方案與有限元模型

采用鋼/聚氨酯夾層板替換鋼加筋板結(jié)構(gòu)，示意圖如圖1所示。以158 000 DWT散貨船原鋼制煙囪為替代目標(biāo)，鋼制煙囪為加筋板架構(gòu)成，結(jié)構(gòu)由頂板、內(nèi)部加強(qiáng)支撐、外板組成，具體結(jié)構(gòu)圖和主要尺寸如圖2和表1所示。SPS煙囪結(jié)構(gòu)替代設(shè)計(jì)方案為保留鋼質(zhì)煙囪結(jié)構(gòu)的頂板結(jié)構(gòu)和內(nèi)部支撐結(jié)構(gòu)，去掉外板結(jié)構(gòu)上的角鋼，將外板結(jié)構(gòu)初步采用符合SPS結(jié)構(gòu)建造要求的鋼/聚氨酯夾層板進(jìn)行替換，夾層板尺寸為上下面板厚度均為3 mm，芯層厚度為15 mm，鋼制煙囪外板厚度為7 mm，頂板厚度為8 mm，頂板加強(qiáng)角鋼尺寸125 mm×80 mm×7 mm，支撐結(jié)構(gòu)T型材尺寸400 mm×120 mm×7 mm，具體的替換和保留結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖1 夾層板替換鋼加筋板結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the structure of the steel plate replaced by the sandwich plate

圖2 鋼質(zhì)煙囪結(jié)構(gòu)詳細(xì)尺寸圖Fig. 2 Detailed dimensions of steel chimney structure

圖3 SPS煙囪替換和保留結(jié)構(gòu)圖Fig. 3 SPS chimney replacement and retention structure diagram

表1 鋼質(zhì)煙囪結(jié)構(gòu)主要尺寸圖Tab. 1 Main dimensions of steel chimney structure

根據(jù)《鋼夾層板材料船舶結(jié)構(gòu)建造指南》的要求進(jìn)行建模，對(duì)煙囪的底部四邊施加固支約束，設(shè)計(jì)載荷為自重和風(fēng)載荷共同作用的組合載荷，風(fēng)載荷值由文獻(xiàn)[5]提供的公式求得，大小為238.2 kN，夾層板面板、頂板和強(qiáng)構(gòu)件都采用AH36鋼，芯層材料為聚氨酯，材料屬性和有限元模型如表2和圖4所示。

表2 夾層板材料屬性表Tab. 2 Material Properties Table of Sandwich Panel

2 基于響應(yīng)面法的SPS煙囪優(yōu)化過程

2.1 響應(yīng)面模型的構(gòu)建

依據(jù)文獻(xiàn)[6]提供的構(gòu)建響應(yīng)面模型的方法，利用響應(yīng)面2階多項(xiàng)式進(jìn)行模型的表述：

式中：y(x) 為目標(biāo)值；xi，xj為設(shè)計(jì)變量，i=1，2，……，k；a0，ai，bi，ci為待定系數(shù)。

2.1.1 設(shè)計(jì)變量的確定

考慮SPS煙囪結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式和鋼/聚氨酯夾層板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在其他因素不變時(shí)，選取夾層板的上面板厚度h1、芯層厚度h2、下面板厚度h3、支撐腹板高度h4、支撐腹板厚度h5、支撐面板厚度h6為設(shè)計(jì)變量。

2.1.2 約束條件和目標(biāo)函數(shù)

為了同時(shí)實(shí)現(xiàn)鋼制煙囪結(jié)構(gòu)輕量化和提升結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的目標(biāo)，SPS煙囪結(jié)構(gòu)的重量要小于原鋼制煙囪結(jié)構(gòu)的重量，結(jié)構(gòu)位移和等效應(yīng)力要小于原鋼制煙囪結(jié)構(gòu)最大位移和等效應(yīng)力值，設(shè)結(jié)構(gòu)位移為D（x），結(jié)構(gòu)等效應(yīng)力為S（x），單位分別為mm和MPa，結(jié)構(gòu)重量為G，單位為kg，根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)和約束條件，建立SPS煙囪結(jié)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

式中：D′(x)為替代目標(biāo)原鋼制煙囪結(jié)構(gòu)最大位移；S′(x) 為 替代目標(biāo)原鋼制煙囪結(jié)構(gòu)最大等效應(yīng)力；ht，hb分別為設(shè)計(jì)變量的上下限；ha為設(shè)計(jì)變量，a=1，2，3，4，5，6；為結(jié)構(gòu)重量的最大值。

2.1.3 構(gòu)建模型試驗(yàn)設(shè)計(jì)

有多種試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，考慮試驗(yàn)設(shè)計(jì)的經(jīng)濟(jì)性，結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析的高效率和適用性，采用Design-Export優(yōu)化分析軟件中擬合精度較高的Box-Behnken Design（BBD）[6]試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析，BBD試驗(yàn)設(shè)計(jì)中每個(gè)選取的設(shè)計(jì)變量有3個(gè)水平，分別用-1，0，+1表示，結(jié)合結(jié)構(gòu)輕量化和SPS結(jié)構(gòu)建造指南的要求，SPS煙囪設(shè)計(jì)變量的取值范圍如表3所示。

表3 設(shè)計(jì)變量取值范圍Tab. 3 Design variable value range

依據(jù)不同設(shè)計(jì)變量的范圍選取合適的試驗(yàn)樣本點(diǎn)，得出54組試驗(yàn)方案。使用Ansys對(duì)各組方案進(jìn)行有限元計(jì)算，得到SPS煙囪結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力結(jié)果，采用數(shù)學(xué)公式計(jì)算結(jié)構(gòu)重量，部分計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 夾層板煙囪的BBD設(shè)計(jì)表Tab. 4 BBD design table of sandwich panel chimney

2.2 構(gòu)建模型的檢驗(yàn)與分析

為簡(jiǎn)化計(jì)算和提高模型的穩(wěn)定性[7]，可去除影響較小的1，2階設(shè)計(jì)變量項(xiàng)，利用響應(yīng)面法，構(gòu)建D（x）和S（x）的2階響應(yīng)面優(yōu)化模型形式如下：

為了檢驗(yàn)優(yōu)化模型的顯著性和適應(yīng)度，是否能有效反映目標(biāo)與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，采用方差分析和模型決定系數(shù)對(duì)D（x）和S（x）進(jìn)行檢驗(yàn)，模型的方差分析如表5和表6所示。F值為優(yōu)化模型的均方與優(yōu)化模型誤差均方的比值，P值為與F值相關(guān)的重要檢驗(yàn)指標(biāo)，是檢驗(yàn)優(yōu)化模型可信度的指標(biāo)，通常小于0.05時(shí)，就表明優(yōu)化模型顯著[6]。當(dāng)采用Design-Export軟件進(jìn)行優(yōu)化分析時(shí)，構(gòu)建優(yōu)化模型的P值和F值由軟件分析得出。由分析結(jié)果可知，D（x）和S（x）的F值分別為2 565.68和49.98，且對(duì)應(yīng)的P＜0.000 1，遠(yuǎn)小于0.05，初步表明優(yōu)化模型具有良好的顯著性，之后要通過R2（決定系數(shù)）進(jìn)行進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度。R2值越趨近于1表明模型與真實(shí)情況越相符。當(dāng)變量增加后，R2值也會(huì)增加，不能準(zhǔn)確反映變量對(duì)模型的真實(shí)影響，因此需要使用（校正決定系數(shù)）進(jìn)行誤差分析。F值，R2與的公式如下：

表5 優(yōu)化模型方差檢驗(yàn)Tab. 5 Optimization model variance test

表6 模型方差數(shù)值分析Tab. 6 Numerical analysis of model variance

式中：n為樣本量；k為模型各階變量總數(shù)目也可表示為自由度；yi為試驗(yàn)值；為試驗(yàn)值的平均值；為優(yōu)化模型得到的響應(yīng)值。

表7 模型決定系數(shù)分析Tab. 7 Model determination coefficient analysis

圖5 為選取的有代表性的設(shè)計(jì)變量對(duì)煙囪結(jié)構(gòu)位移相互作用的響應(yīng)曲面圖，在其他因素不變的情況下，分析其中2個(gè)變量相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)位移的影響。由圖5（a）可知，隨著h1增加，結(jié)構(gòu)位移緩慢減小，增大h2結(jié)構(gòu)位移的變化趨勢(shì)相同，表明當(dāng)其他因素不變時(shí)，增大夾層板上面板厚度h1和芯層厚度h2，結(jié)構(gòu)的抗變形能力增強(qiáng)。由圖5（b）可知，隨著h4的增加，結(jié)構(gòu)位移顯著減小，表明支撐的高度對(duì)結(jié)構(gòu)的位移有顯著影響。

圖5 設(shè)計(jì)變量對(duì)結(jié)構(gòu)位移相互影響的響應(yīng)曲面Fig. 5 Response surface of design variables interacting with structural displacement

圖6 為設(shè)計(jì)變量對(duì)煙囪結(jié)構(gòu)應(yīng)力相互作用的響應(yīng)曲面圖，在其他因素不變的情況下，分析其中2個(gè)變量相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力的影響。由圖6（a）可知，隨著h1增大，結(jié)構(gòu)應(yīng)力緩慢減小，同樣結(jié)構(gòu)應(yīng)力隨h2的增大也緩慢減小，表明當(dāng)其他因素不變時(shí)，增大夾層板面板厚度h1，芯層厚度h2，煙囪結(jié)構(gòu)承受外力的能力增強(qiáng)，結(jié)構(gòu)等效應(yīng)力減小。由圖6（b）可知，隨支撐構(gòu)件高度h4增加，結(jié)構(gòu)等效應(yīng)力顯著減小。這是因?yàn)殡S著h4的增加，提高了整體結(jié)構(gòu)抵抗外力的能力。由等高線圖可知，曲線呈橢圓形，表明兩者相互影響較為明顯[6]。由不同設(shè)計(jì)變量對(duì)結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力影響的對(duì)比分析可知，相對(duì)于夾層板面板和芯層厚度，支撐結(jié)構(gòu)的腹板高度和面板厚度對(duì)煙囪結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力的影響較大。

圖6 設(shè)計(jì)變量對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力相互影響的響應(yīng)曲面Fig. 6 Response surface of design variables interacting with structural stress

3 SPS煙囪優(yōu)化結(jié)果分析

3.1 SPS煙囪優(yōu)化結(jié)果

由上述優(yōu)化模型和分析方法對(duì)SPS煙囪結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化后，依據(jù)結(jié)構(gòu)輕量化和力學(xué)性能改變的需求，得到SPS煙囪結(jié)構(gòu)在較好滿足優(yōu)化目標(biāo)時(shí)各設(shè)計(jì)變量的值如表8所示，將由優(yōu)化模型分析得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行仿真計(jì)算的值與優(yōu)化模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)構(gòu)位移的仿真值與預(yù)測(cè)值誤差為0.91%，等效應(yīng)力的仿真值與預(yù)測(cè)值的誤差為2.77%，因此建立的優(yōu)化模型能夠?qū)PS煙囪結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。

表8 仿真計(jì)算值與優(yōu)化模型預(yù)測(cè)值對(duì)比Tab. 8 Comparison of simulation calculated value and predicted value of optimized model

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

將原鋼制煙囪，SPS替代煙囪、進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的SPS煙囪、進(jìn)行尺寸調(diào)整的適用SPS煙囪的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。由表9可知，與原鋼制煙囪相比，SPS替代煙囪位移增加2.75%，應(yīng)力降低5.79%，重量減輕2.61%，SPS優(yōu)化煙囪位移減少18.25%，應(yīng)力降低30.98%，重量減輕12.39%，考慮板厚的加工工藝，對(duì)SPS優(yōu)化煙囪得到的各變量的尺寸進(jìn)行合理調(diào)整，調(diào)整后的SPS適用煙囪位移減少19.50%，應(yīng)力降低31.96%，煙囪減重13.16%。優(yōu)化后的2種煙囪與SPS替代煙囪相比，位移分別減少20.44%和21.65%，應(yīng)力分別降低26.74%和27.77%，重量分別減輕10.04%和10.83%。

表9 4種煙囪結(jié)構(gòu)結(jié)果對(duì)比Tab. 9 Comparison of four chimney structure results

圖7 為4種煙囪結(jié)構(gòu)的有限元分析結(jié)果云圖，取支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，頂板和外板結(jié)構(gòu)的分析方法相同。由圖7可知，4種煙囪結(jié)構(gòu)的最大等效應(yīng)力出現(xiàn)的位置基本相同，均出現(xiàn)在支撐結(jié)構(gòu)頂部與側(cè)部連接T型材處，支撐結(jié)構(gòu)最大位移出現(xiàn)的位置也基本相同，出現(xiàn)在側(cè)部中心線的中部附近，進(jìn)行優(yōu)化后應(yīng)力和位移都有顯著減小，表明結(jié)構(gòu)優(yōu)化能夠在實(shí)現(xiàn)煙囪結(jié)構(gòu)輕量化時(shí)，有效地提高煙囪結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。

圖7 4種煙囪支撐結(jié)構(gòu)計(jì)算云圖Fig. 7 Compute cloud of four chimney support structures

4 結(jié) 語

采用Design-expert中的BBD進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，運(yùn)用Ansys有限元分析軟件對(duì)原鋼制煙囪，SPS替代煙囪及試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行仿真分析，得到原鋼制煙囪和全部SPS煙囪結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力。采用響應(yīng)面法將試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析結(jié)果進(jìn)行擬合，得到不同設(shè)計(jì)變量：夾層板上面板厚度，芯層厚度，下面板厚度，支撐高度和厚度下的結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力的2階響應(yīng)面方程，對(duì)比分析結(jié)果得到如下結(jié)論：

1）在選取的6個(gè)設(shè)計(jì)變量中，支撐結(jié)構(gòu)高度和厚度對(duì)SPS煙囪結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力的影響較大，對(duì)支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化能夠顯著減小SPS煙囪結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力。

2）對(duì)原鋼制煙囪進(jìn)行SPS結(jié)構(gòu)替代設(shè)計(jì)，將SPS替代設(shè)計(jì)煙囪進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，得到優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)。結(jié)果表明：與SPS替代煙囪相比，優(yōu)化和進(jìn)行結(jié)構(gòu)尺寸適用性調(diào)整后的SPS煙囪位移分別減少20.44%和21.65%，應(yīng)力分別降低26.74%和27.77%，重量分別減輕10.04%和10.83%，表明優(yōu)化結(jié)果有效，優(yōu)化方法在煙囪結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析中具有適用性。