淺談培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的策略

馮建青

【摘 要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)既有“數(shù)的特征”，又有“形的特點(diǎn)”。高年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏難情緒，是因?yàn)榻忸}時(shí)無(wú)法像低年級(jí)時(shí)期對(duì)題目產(chǎn)生直接判斷。這種對(duì)題目直接判斷的能力是不經(jīng)過(guò)邏輯分析的，需要學(xué)生具有直觀能力，直觀能力的養(yǎng)成不是一蹴而就的，需要在各年級(jí)的學(xué)習(xí)中重點(diǎn)

培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 幾何直觀能力 培養(yǎng)策略

關(guān)于幾何直觀，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中強(qiáng)調(diào)的是利用圖形描述和分析問(wèn)題，具體內(nèi)容如下：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要的作用。筆者認(rèn)為，幾何直觀能力強(qiáng)的學(xué)生可以對(duì)題目產(chǎn)生直接預(yù)判，這種直接判斷的能力是不經(jīng)過(guò)邏輯分析的，而幾何直觀能力是一種經(jīng)驗(yàn)的積累，應(yīng)在各年級(jí)中重點(diǎn)培養(yǎng)。本文基于筆者的課堂經(jīng)驗(yàn)，闡述了在小學(xué)各年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要性，以及培養(yǎng)幾何直觀能力的策略。

二、以形助教，發(fā)展低年級(jí)學(xué)生識(shí)圖能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生思維從直觀走向抽象的過(guò)程，學(xué)生在低年級(jí)時(shí)應(yīng)該牢牢打下把數(shù)學(xué)信息符號(hào)化、抽象化的基礎(chǔ)。在低年級(jí)的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生觀察圖片的能力。

1.用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖片

低年級(jí)學(xué)生在觀察圖片時(shí)隨意性大，識(shí)圖時(shí)沒(méi)有重點(diǎn)和方向，隨著自己的興趣來(lái)看圖，得出的看圖結(jié)果往往是片面的，容易遺漏重要的數(shù)學(xué)信息。例如，蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第三單元《表內(nèi)乘法》第1課時(shí)，學(xué)生在看教材中的相關(guān)圖時(shí)能直接看出有雞和兔兩種動(dòng)物，要是問(wèn)學(xué)生“兔有多少只”“雞有多少只”學(xué)生往往會(huì)用已有經(jīng)驗(yàn)一只一只地?cái)?shù)，如此就沒(méi)有達(dá)到教學(xué)目的了。

教師應(yīng)先讓學(xué)生充分觀察圖片，在學(xué)生第一次觀察圖片得到圖中“有2種小動(dòng)物”的前提下，還要深入識(shí)圖得到“小雞3只一堆”“小兔2只一堆”的結(jié)果，讓學(xué)生在圖中對(duì)應(yīng)位置標(biāo)記上“3只雞”“2只兔”，滲透圖片表達(dá)的“幾個(gè)幾”的含義，讓學(xué)生能夠列出算式：

雞：3+3+3+3=12（只）。

兔：2+2+2=6（只）。

學(xué)生在總結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程時(shí)，不僅是根據(jù)算式說(shuō)出有“4個(gè)3、3個(gè)2”，而且有圖片作為依托。學(xué)生通過(guò)看一看、標(biāo)一標(biāo)，才能有效地理解圖片表達(dá)的信息，在以后識(shí)圖時(shí)，能夠用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維觀察圖片。

2.用圖畫(huà)代替實(shí)物演示

愛(ài)動(dòng)、愛(ài)玩是學(xué)生的天性，低年級(jí)學(xué)生注意力持續(xù)時(shí)間短，在低年級(jí)課堂上教師經(jīng)常會(huì)借助實(shí)物演示、準(zhǔn)備教具學(xué)具，讓學(xué)生在實(shí)踐中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、在操作中發(fā)展數(shù)學(xué)思維。這樣將理論和操作相結(jié)合是以學(xué)生為主體的教學(xué)，是新課程標(biāo)準(zhǔn)所提倡的以人為本的課堂。然而許多課堂教學(xué)中，教具繁復(fù)難以在日常課堂中準(zhǔn)備，需要學(xué)生擁有幾何直觀能力，對(duì)圖片進(jìn)行簡(jiǎn)單的加工。例如，蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第四單元《表內(nèi)除法》第1課時(shí)，除了課件演示如何將8個(gè)桃子每2個(gè)一份平均分，讓學(xué)生理解平均分的概念，還要讓學(xué)生動(dòng)手在圖上每2個(gè)桃圈一份，一共圈出了4份，就是可以分給4個(gè)小朋友。

用圖畫(huà)代替實(shí)物，從具體的實(shí)物演繹到抽象的幾何標(biāo)記，是學(xué)生思維能夠達(dá)到的水平，也是發(fā)展幾何直觀能力的重要契機(jī)。教師只有重視在低年級(jí)時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，學(xué)生才能發(fā)展相應(yīng)的幾何直觀能力，為中高年級(jí)將復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、將抽象的知識(shí)形象化打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、以數(shù)解形，發(fā)展中年級(jí)學(xué)生畫(huà)圖能力

在計(jì)算時(shí)，如果數(shù)字大、方法復(fù)雜，我們要提倡學(xué)生用豎式計(jì)算。那么在數(shù)量關(guān)系越來(lái)越復(fù)雜、接受的數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中不常見(jiàn)時(shí)，我們也可以要求學(xué)生用畫(huà)圖的方法來(lái)梳理數(shù)量關(guān)系，借助簡(jiǎn)明、形象的幾何圖，延伸解題思路，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的提升。

1.從簡(jiǎn)單開(kāi)始，實(shí)現(xiàn)數(shù)向形轉(zhuǎn)化

小學(xué)生處在形象思維為主的階段，強(qiáng)迫學(xué)生掌握抽象的知識(shí)體系，只能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)敬而遠(yuǎn)之，無(wú)法讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。利用圖形幾何解析題目，能把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、把抽象的題目形象化。不同類(lèi)型的題目可以畫(huà)不同的幾何圖形，比如線(xiàn)段圖、立體圖、示意圖、路程圖、思維導(dǎo)圖。但是不能為了畫(huà)圖而畫(huà)圖，要讓學(xué)生用圖畫(huà)、符號(hào)來(lái)表達(dá)自己的意思，比如，蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第一單元《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》中，抽象的負(fù)數(shù)概念不如正數(shù)概念清晰，學(xué)生生活中接觸得比較少。在建立負(fù)數(shù)的概念時(shí)，教師可以讓學(xué)生畫(huà)一畫(huà)電梯中的樓層示意圖，地面為0，地上就是用正數(shù)表示、地下就是用負(fù)數(shù)表示。而把這個(gè)示意圖放平，那就是數(shù)學(xué)家所說(shuō)的數(shù)軸了。

學(xué)生利用有限的生活經(jīng)驗(yàn)，畫(huà)出了電梯樓層的示意圖，再在示意圖的基礎(chǔ)上加以演繹推理得到了正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念。這項(xiàng)概念是在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上演繹得來(lái)的，學(xué)生容易接受也容易理解透徹。用幾何圖形來(lái)幫助理解題目，能把抽象的知識(shí)躍然紙上，讓人一目了然，實(shí)現(xiàn)數(shù)向形的轉(zhuǎn)化。

2.向復(fù)雜過(guò)渡，透析數(shù)量關(guān)系

中年級(jí)的數(shù)學(xué)題目中的量未必龐大，但是數(shù)量之間的關(guān)系開(kāi)始復(fù)雜化了。這種復(fù)雜就像是計(jì)算數(shù)字較大的乘除法時(shí)要用豎式計(jì)算，對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，我們則需要利用線(xiàn)段圖來(lái)解析，在用線(xiàn)段圖來(lái)表示時(shí)應(yīng)做到以下兩點(diǎn)：

（1）在用線(xiàn)段圖時(shí)要讓學(xué)生厘清線(xiàn)段圖之間的關(guān)系，也就是看圖說(shuō)話(huà)、厘清題意。

像圖1這樣關(guān)系稍復(fù)雜的線(xiàn)段圖，要讓學(xué)生先看懂圖，知道“蘋(píng)果有20個(gè)，桃子有13個(gè)”，還要能說(shuō)出數(shù)量之間的關(guān)系“梨比蘋(píng)果和桃子的總數(shù)少10個(gè)”。在線(xiàn)段圖中看懂了關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系之后，再提出問(wèn)題。有的學(xué)生提出問(wèn)題“梨有多少個(gè)”，根據(jù)圖意解題可以拓寬學(xué)生的解題思路。線(xiàn)段圖等幾何圖可以幫助學(xué)生梳理數(shù)量之間的關(guān)系，對(duì)結(jié)果產(chǎn)生預(yù)判，是學(xué)生應(yīng)掌握的解題技巧。

（2）教師要加強(qiáng)中年級(jí)學(xué)生對(duì)于線(xiàn)段圖的比較，能在不同的線(xiàn)段圖中找到相同點(diǎn)。

數(shù)學(xué)是抽象的，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)既有“數(shù)的特征”，又有“形的特點(diǎn)”，教師要用幾何圖在直觀與抽象之間架起橋梁。例如，當(dāng)問(wèn)題“兩堆煤共有1440噸，第一堆煤比第二堆多120噸，問(wèn)兩堆煤原來(lái)各有多少?lài)崱焙汀皟啥衙汗灿?440噸，如果從第一堆運(yùn)送120噸到第二堆，那么兩堆煤的噸數(shù)一樣多，問(wèn)兩堆煤原來(lái)各有多少?lài)崱币黄鸪霈F(xiàn)時(shí)，學(xué)生總是厘不清思路，不知道這兩題的區(qū)別。這時(shí)需要用線(xiàn)段圖來(lái)解析，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系先梳理清楚。第一個(gè)問(wèn)題中，第一堆煤多，比第二堆多120噸;第二個(gè)問(wèn)題中，第一堆煤多，多了兩個(gè)120噸。第二個(gè)問(wèn)題中“多了兩個(gè)120噸”比較抽象，需要借助畫(huà)線(xiàn)段圖的方法幫助學(xué)生分析題意、增強(qiáng)析圖能力。

在中高年級(jí)中，由于數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜化，學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行預(yù)判越來(lái)越難，借助幾何圖形剖析題意，是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)技巧。在中年級(jí)應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的畫(huà)圖能力，簡(jiǎn)單的題目學(xué)生能在腦海中直接列出幾何圖，復(fù)雜的題目能落于紙上，再抽絲剝繭進(jìn)行解答。

四、數(shù)形互助，發(fā)展高年級(jí)學(xué)生析圖能力

“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微?！贝鷶?shù)知識(shí)容易計(jì)算，但缺乏形象性;幾何知識(shí)具體且形象，能夠便于理解。

1.用幾何圖梳理思路，在幾何圖中明確數(shù)量關(guān)系

蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)便開(kāi)啟了代數(shù)的新領(lǐng)域，許多教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生難以掌握這個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)。這論證了代數(shù)的抽象性，學(xué)生應(yīng)結(jié)合幾何圖的形象性，從而將代數(shù)向幾何轉(zhuǎn)化。從幾何中抽取數(shù)量關(guān)系，靈活地將代數(shù)與幾何互相轉(zhuǎn)換能加深學(xué)生對(duì)題目的理解。高年級(jí)學(xué)生能依托幾何，靈活進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，在低中年級(jí)識(shí)圖、畫(huà)圖的基礎(chǔ)上水到渠成的養(yǎng)成析圖能力。

例如，在蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第五單元《分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算》中，有問(wèn)題“六年級(jí)一班有48人，其中2— 3喜歡跳舞，3— 4喜歡唱歌，沒(méi)有人既不喜歡跳舞又不喜歡唱歌。既喜歡跳舞又喜歡唱歌的有多少人？”題中總?cè)藬?shù)已知，學(xué)生要學(xué)會(huì)從分?jǐn)?shù)的角度出發(fā)找到分?jǐn)?shù)的“單位1”，喜歡跳舞的人占了全班的2— 3，喜歡唱歌的人占了全班的3— 4。根據(jù)這一理解，喜歡唱歌和跳舞的分?jǐn)?shù)“單位1”都是全班人數(shù)，即把全班人數(shù)看作“1”。于是可以將代數(shù)向線(xiàn)段圖轉(zhuǎn)換，全班可以分為喜歡跳舞的人和喜歡唱歌的人，但是有一部分重合了，這部分便是題目中所求的“既喜歡跳舞又喜歡唱歌的人”。對(duì)線(xiàn)段圖再次進(jìn)行分析，如果把喜歡跳舞和唱歌的人都合起來(lái)，總?cè)藬?shù)是大于全班人數(shù)的，得出第二個(gè)線(xiàn)段圖。利用線(xiàn)段圖可以清晰地看出關(guān)系式，2— 3+3— 4>1，多出的部分便是“既喜歡跳舞又喜歡唱歌的人數(shù)”。（詳見(jiàn)圖2）

2.借助幾何圖形理解，用幾何圖形記憶概念

在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第八單元的綜合活動(dòng)課程中，學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、分析和得出結(jié)論，積累寶貴的研究經(jīng)驗(yàn)。最后在得出結(jié)論時(shí)，能從語(yǔ)言表達(dá)向字母表達(dá)轉(zhuǎn)換，賦予字母意義。字母便作為一種概念，印在了學(xué)生的腦海中。

像這樣根據(jù)題目畫(huà)出幾何草圖，再根據(jù)幾何圖剖析數(shù)量關(guān)系式，是高年級(jí)常用的解題技巧，也是為學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)更抽象的代數(shù)知識(shí)打下基礎(chǔ)。學(xué)生通過(guò)識(shí)圖、畫(huà)圖、析圖，能充分理解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，展開(kāi)直觀思維的羽翼。有了良好的幾何直觀思維能力，學(xué)生在將來(lái)的學(xué)習(xí)中一定能夠有目標(biāo)、有順序地思考問(wèn)題。

數(shù)學(xué)學(xué)科毫無(wú)疑問(wèn)是一門(mén)抽象的學(xué)科。學(xué)生從入學(xué)開(kāi)始便在學(xué)習(xí)把知識(shí)符號(hào)化，將形象的事物抽象化。幾何直觀能力是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的數(shù)學(xué)能力和解題技巧。在提倡學(xué)生為主體的課堂教學(xué)中，教師要把幾何直觀能力滲透在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，把培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力作為一種課堂意識(shí)，在小學(xué)各階段加以培養(yǎng)。