基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰牡叵码娎|異常檢測方法研究

段晨東， 張偉， 代杰

(長安大學(xué) 電子與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引 言

地下電纜的異常狀態(tài)運行不僅影響供電電能質(zhì)量，還會對輸電線路元器件和用電設(shè)備造成損壞，及時準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)地下電纜異常狀態(tài)尤為重要[1]。

地下電纜檢修復(fù)雜，難以及時發(fā)現(xiàn)異常。文獻(xiàn)[2]提出阻抗和FFT結(jié)合的方法，從頻率響應(yīng)的角度識別地下電纜的異常，但受線路元器件和非線性負(fù)載的影響，頻率響應(yīng)的方法抗干擾能力差。文獻(xiàn)[3]提出應(yīng)用S變換和SVM來識別存在異常的地下電纜，但該方法需要較大的數(shù)據(jù)集，且機(jī)器學(xué)習(xí)方法對信號質(zhì)量要求高，運算時間較長。

文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]提出純數(shù)據(jù)驅(qū)動的信號處理方法——隨機(jī)矩陣?yán)碚摚摲椒ň哂胁皇軘?shù)據(jù)模型限制的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]將隨機(jī)矩陣?yán)碚撘腚娏ο到y(tǒng)異常檢測領(lǐng)域。應(yīng)用隨機(jī)矩陣?yán)碚撟R別異常數(shù)據(jù)從而實現(xiàn)異常檢測，當(dāng)前文獻(xiàn)普遍采用平均譜半徑作評價指標(biāo)，且一般應(yīng)用于配電網(wǎng)仿真模型異常,分析效果較好。

考慮地下電纜監(jiān)測數(shù)據(jù)受負(fù)載和環(huán)境影響波動大，單一指標(biāo)誤判率高等問題。本文提出基于隨機(jī)矩陣?yán)碚?random matrix theory, RMT)和奇異值分解(singular value decomposition, SVD)構(gòu)造融合指標(biāo)的地下電纜異常檢測方法。工程驗證結(jié)果表明，該融合指標(biāo)與傳統(tǒng)指標(biāo)相比，受信號正常波動的干擾較小，誤判率低，具有更好的異常表征效果。

1 地下電纜異常檢測與隨機(jī)矩陣?yán)碚?/h2>

1.1 地下電纜異常識別

電力設(shè)備發(fā)生異常時，電流信號相較于電壓信號對異常更加敏感，因此選擇電流信號作為地下電纜異常識別依據(jù)。正常情況下，電流信號由供電工頻分量、非線性元件和負(fù)載引起的諧波分量以及采集設(shè)備引起的隨機(jī)噪聲分量組成，異常出現(xiàn)時，電流信號中會出現(xiàn)異常成分，式(1)和式(2)分別表示正常和異常信號數(shù)學(xué)模型。

(1)

i1(t)=i0(t)+a(t)

(2)

式中:Ak為電流峰值;k為諧波次數(shù);fr為電流基頻;φk為k次諧波的起始相位;n(t)為隨機(jī)噪聲。當(dāng)系統(tǒng)中含有異常事件a(t)時，系統(tǒng)的運行機(jī)制和原有特性將會破壞，采集的系統(tǒng)數(shù)據(jù)不滿足原有的統(tǒng)計分布規(guī)律。

1.2 隨機(jī)矩陣?yán)碚?/h3>

隨機(jī)矩陣?yán)碚摲从沉讼到y(tǒng)內(nèi)部在各種相互作用下的一種平均性質(zhì)，偏離隨機(jī)矩陣?yán)碚摲从吵鱿到y(tǒng)內(nèi)部含有異常信號引起的特殊屬性，這為異常檢測提供了理論支撐。隨機(jī)矩陣?yán)碚擉w系中相對成熟的理論有Marchenko-Pastur(M-P)定律和單環(huán)定律。

1.2.1 M-P定律

(3)

對于矩陣元素獨立同分布且滿足μ(x)=0,σ2(x)=d分布的非方陣XN×T(N

(4)

式中:d為矩陣方差;T為矩陣X的列數(shù);XH為矩陣X的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。

由M-P定律可知，樣本協(xié)方差矩陣S的經(jīng)驗譜分布滿足如下概率密度函數(shù)：

(5)

1.2.2 單環(huán)定律

對于矩陣元素獨立同分布且滿足μ(x)=0,σ2(x)=d分布的非方陣XN×T(N

(6)

式中：U為哈爾酉矩陣。定義其矩陣積為：

(7)

式中：L為奇異值等價矩陣個數(shù)。對矩陣Z進(jìn)行歸一化處理后，矩陣有N個復(fù)數(shù)特征值，由圓環(huán)定律有，其特征值分布滿足式(8)所示概率密度函數(shù)。

(8)

圖1反映了正常和異常信號構(gòu)造高維矩陣時特征值分布的對比情況。

圖1 正常狀態(tài)與異常狀態(tài)的特征值分布

2 基于RMT_SVD的地下電纜異常檢測

對地下電纜監(jiān)測數(shù)據(jù)按時間序列構(gòu)建高維矩陣，圖2所示為ti時刻N×T高維矩陣構(gòu)建示意圖。通過隨機(jī)矩陣?yán)碚撎崛∶總€高維矩陣的特征值并統(tǒng)計其特征指標(biāo)，按時間序列構(gòu)造特征指標(biāo)矩陣。

圖2 高維矩陣構(gòu)建示意圖

應(yīng)用奇異值分解對特征值矩陣進(jìn)行降維并構(gòu)造融合指標(biāo)，流程如下。

(1) 特征指標(biāo)矩陣Pn×m(n為構(gòu)建的高維矩陣個數(shù)，m為每個矩陣特征指標(biāo)個數(shù))按式(9)進(jìn)行奇異值分解[8]。

(9)

式中：Un×n為左奇異矩陣;Vm×m為右奇異矩陣;λn×m為奇異值矩陣。

(2) 利用式(10)計算各奇異值的貢獻(xiàn)率。

(10)

式中：si為第i個奇異值。

(11)

圖3 RMT_SVD算法流程圖

3 試驗

本文基于地下電纜的分布參數(shù)模型搭建如圖4所示的10 kV/50 Hz地下電纜輸電線路。仿真總時長設(shè)置為60 s,電纜異常情況設(shè)置安排如表1所示。

圖4 仿真模型

表1 仿真設(shè)置

每0.02 s記錄一次電流數(shù)據(jù)，則樣本矩陣S∈c1×3 000。本文設(shè)定N=100，T=110采用移動分割窗口對樣本矩陣S構(gòu)造間序列高維矩陣X(i)∈c100×100(i=1,2,…)。應(yīng)用隨機(jī)矩陣?yán)碚摰腗-P定律和單環(huán)定律對矩陣X(i)特征值統(tǒng)計。

圖5為仿真過程中幾個代表時間點的高維矩陣特征值分布情況。

圖5 t=5 s、10 s、15 s、50 s M-P分布

圖5中，在t=5 s時，電纜正常運行，特征值的經(jīng)驗譜分布近似滿足M-P分布曲線；t=10 s、15 s、50 s時，電纜輸電系統(tǒng)均發(fā)生異常，此時構(gòu)造的高維矩陣特征值分布不滿足M-P分布曲線。

圖6為隨時間序列變化的高維矩陣特征值平均譜半徑統(tǒng)計圖。平均譜半徑計算公式為：

圖6 平均譜半徑統(tǒng)計圖

(12)

式中：λi為圓環(huán)定律計算得到的第i個特征值。

由式(8)計算得到圓環(huán)的內(nèi)環(huán)半徑和外環(huán)半徑分別為0.3和1。正常情況下，高維矩陣的特征值的平均譜半徑穩(wěn)定在0.63；t=10 s、15 s、50 s時，高維矩陣的特征值平均譜半徑明顯低于內(nèi)環(huán)半徑。

仿真結(jié)果驗證了隨機(jī)矩陣?yán)碚搶π盘柈惓ｎI(lǐng)域應(yīng)用的可行性，信號存在異常時，高維矩陣的性質(zhì)發(fā)生變化，特征值分布不滿足隨機(jī)矩陣?yán)碚摗?/p>

4 工程應(yīng)用

本文采用8 kV交聯(lián)聚乙烯(XLPE)地下電纜監(jiān)測A相電流數(shù)據(jù)[9]，監(jiān)測點示意圖如圖7所示。電流頻率60 Hz，采樣頻率3 840 Hz。

圖7 試驗數(shù)據(jù)監(jiān)測點示意圖

4.1 特征指標(biāo)

應(yīng)用隨機(jī)矩陣?yán)碚摰膯苇h(huán)定律對矩陣X∈cN×T進(jìn)行特征值計算，λi(i=1,2,…,N)為矩陣的N個特征值，利用表2所示的公式構(gòu)造了6個特征指標(biāo)，式中max(·)、min(·)、mid(·)分別表示最大值、最小值和中位數(shù)。

表2 特征指標(biāo)構(gòu)造公式

ti時刻特征指標(biāo)向量p(i)∈c1×6(i=1,2,…,n)，將計算得到的特征指標(biāo)向量按時間順序構(gòu)成多指標(biāo)矩陣Pn×6，即：

P=[p(1),p(2),…,p(i)]

(13)

應(yīng)用SVD對矩陣P進(jìn)行降維，選擇累計貢獻(xiàn)率達(dá)到90%的前幾個特征指標(biāo)構(gòu)造新的特征指標(biāo)矩陣，求取新的特征指標(biāo)的平均值作為融合指標(biāo)。

4.2 結(jié)果分析

如圖8所示為某一時間段A相電流波形。為了得到近似滿足隨機(jī)分布的相對平穩(wěn)的數(shù)據(jù)集，每50個周期記錄一次電流數(shù)據(jù)用于構(gòu)建矩陣?；趩苇h(huán)定律的特征值構(gòu)造表2列出的6個特征指標(biāo)，6個特征指標(biāo)隨時間變化趨勢如圖9所示。其中，指標(biāo)p1為隨機(jī)矩陣?yán)碚摮Ｓ弥笜?biāo)平均光譜半徑，將指標(biāo)p1和SVD處理后獲得的融合指標(biāo)的變化與電流有效值在圖10中進(jìn)行對比。

圖8 電流監(jiān)測信號

圖9 特征指標(biāo)趨勢圖

圖10 指標(biāo)對比圖

圖9中，6個指標(biāo)幅值波動較大，無法用于區(qū)別正常狀態(tài)和異常狀態(tài)。由圖10可以看出，受負(fù)載和輸電線路影響，地下電纜在正常運行時電流有效值并不是保持不變，其有效值在3.5 A附近波動，在電流異常點其有效值高達(dá)3.9 A。此時，平均光譜半徑遠(yuǎn)低于內(nèi)環(huán)半徑，可以判斷電纜在此時存在異常，但受電流波動影響，在電纜正常運行時也會出現(xiàn)平均譜半徑低于內(nèi)環(huán)半徑的現(xiàn)象，造成誤判。本文構(gòu)造的融合指標(biāo)在異常點的幅值異常突出，在正常狀態(tài)下構(gòu)造的矩陣的融合特征值具有較好的穩(wěn)定性，相較于平均譜半徑具有更好的異常表征效果。

5 結(jié)束語

用仿真電流采樣點構(gòu)建高維矩陣發(fā)現(xiàn)隨機(jī)矩陣?yán)碚搶δM信號的異常點具有較好的識別效果。

地下電纜在運行過程中，電流會受負(fù)載影響出現(xiàn)一定范圍內(nèi)的正常波動，隨機(jī)矩陣的傳統(tǒng)單一指標(biāo)對電流的波動較為敏感，容易出現(xiàn)誤判的情況。本文提出的RMT_SVD理論利用奇異值分解構(gòu)建隨機(jī)矩陣的融合指標(biāo)用于識別地下電纜電流異常信號，研究結(jié)果表明，該融合指標(biāo)在實際監(jiān)測中抗干擾能力較強(qiáng)，具有更好的異常識別效果。