考慮兩劑次疫苗免疫的水痘傳播動(dòng)力學(xué)建模及穩(wěn)定性分析

高艷東，周林華

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

水痘（varicella）是由水痘帶狀皰疹病毒初次感染引起的急性傳染病。水痘是原發(fā)性感染，主要發(fā)生在嬰幼兒和學(xué)齡前兒童，人是唯一宿主，水痘患者是惟一傳染源。自發(fā)病前1-2天直至皮疹干燥結(jié)痂期均有傳染性，主要通過飛沫和直接接觸傳播，普遍易感，病后可獲得終身免疫。

基于傳染病動(dòng)力學(xué)模型的水痘傳播動(dòng)力學(xué)研究最早見Halloran等人［1］的工作，之后許多學(xué)者進(jìn)行了新的模型構(gòu)建和改進(jìn)，從而對(duì)疾病的傳播進(jìn)行預(yù)測(cè)或模擬各種控制策略［2-15］。如2003 年，Schuette［4］根據(jù)水痘在人群中傳播的特征，建立了簡(jiǎn)單的流行病模型，得到了無病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性，地方病平衡點(diǎn)的一致持久性；2007 年，Giraldo和 Palacio［5］建立了水痘暴發(fā)的確定性 SIR 模型；2010年，So?an等人［6］對(duì)斯洛文尼亞水痘-帶狀皰疹血清學(xué)和感染力進(jìn)行了橫斷面、年齡分層研究；同年，Brisson等人［7］研究了接種單、雙劑量水痘疫苗對(duì)水痘和帶狀皰疹流行病學(xué)的影響；2014 年，Edward［8］建立了水痘帶狀皰疹病毒接種后傳播動(dòng)力學(xué)的確定性數(shù)學(xué)模型，證明了無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定性，用文獻(xiàn)［9］的方法分析了無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；2017年，Costantino等三人［10］基于水痘-帶狀皰疹病毒感染人口學(xué)和傳播模型對(duì)澳大利亞帶狀皰疹發(fā)病率預(yù)測(cè)；鄭慶鳴等人［11］建立了時(shí)滯離散SEIR模型，運(yùn)用時(shí)滯離散SEIR模型預(yù)測(cè)水痘暴發(fā)疫情發(fā)病數(shù)，以評(píng)估疫情控制措施的實(shí)際應(yīng)用效果；Corberán-Vallet等人［12］利用離散時(shí)間貝葉斯隨機(jī)區(qū)間模型的水痘動(dòng)力學(xué)建模，以了解西班牙巴倫西亞社區(qū)的水痘傳播；Marziano等人［13］提出了模擬1991年至2015年期間日間接觸模式變化對(duì)法國水痘傳播動(dòng)態(tài)的影響；倪莉紅等人［14］預(yù)測(cè)不同免疫策略對(duì)水痘發(fā)病的影響，為制定有效的水痘免疫策略提供參考。對(duì)易感人群進(jìn)行免疫接種是防治傳染病的一種有效方法，周林華等人［16］建立了具有疫苗免疫策略的傳染病SIV模型并分析了模型無病平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的全局（局部）穩(wěn)定性；董文文等人［17］建立了包含人群疫苗接種的羊—人耦合布魯氏菌病傳播動(dòng)力學(xué)模型，得到了平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的結(jié)論。

由于接種一劑水痘疫苗后，人群的免疫反應(yīng)不一致，只有部分人能獲得較高水平的免疫能力，部分人群只能激發(fā)有限免疫水平，繼而會(huì)在一定時(shí)間之后失去疫苗的保護(hù)能力，因而這部分人可以考慮進(jìn)行第二次免疫接種（Second dose）.關(guān)于兩劑次水痘疫苗免疫的影響還不是十分清楚，因此本文主要根據(jù)水痘傳播建立考慮兩劑次疫苗免疫策略的水痘傳染病動(dòng)力學(xué)模型。

1 兩劑次疫苗免疫策略水痘傳播動(dòng)力學(xué)模型建立

建立了包含免疫策略的水痘傳染病動(dòng)力學(xué)模型，總?cè)丝诜譃橐韵伦尤后w：S為易感人群，I為感染人群，R為具備永久免疫力人群，V為接種疫苗人群。

圖1 水痘傳播示意圖

假設(shè)Λ為常數(shù)輸入率，β為易感者被感染者傳染的雙線性發(fā)生率，μ為自然死亡率，γ為恢復(fù)率，θ1為易感人群接種第一次疫苗接種率，σ為接種第一次疫苗后失去免疫能力的轉(zhuǎn)化率，θ2為接種第一次疫苗后第二次疫苗的接種率。由于大部分人對(duì)接種水痘疫苗的意愿不是很強(qiáng)烈，水痘疫苗接種之后的免疫能力是隨著時(shí)間的推移逐漸變?nèi)醯模⒉皇怯谰妹庖叩?，所以給有意愿接種一次疫苗的人進(jìn)行第二次疫苗接種，假設(shè)連續(xù)接受第一支和第二支疫苗的人獲得永久免疫，否則將會(huì)再次轉(zhuǎn)為易感者。根據(jù)疾病的性質(zhì)，受感染的人恢復(fù)后也是永久免疫的?；谝陨线^程，兩劑次疫苗免疫策略水痘傳播動(dòng)力學(xué)模型為：

接種兩次疫苗之后，由于變量R在方程S',I',V'中未出現(xiàn)，可以單獨(dú)先考慮S',I',V'三個(gè)方程的結(jié)果，得到S,I,V的變化之后再來分析R的變化，即模型（1）可以簡(jiǎn)化為：

2 模型（4）的穩(wěn)定性分析

定理3.1當(dāng)Rv<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0=(S0,0,V0)全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)Rv>1時(shí)，E0不穩(wěn)定。

證明：線性化系統(tǒng)（4）為：

由于 a1a2-a3>0，(a1a2-a3)a3>0。故A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，零解漸近穩(wěn)定。

所以Rv>1時(shí)，系統(tǒng)（4）地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值模擬與討論

取 Λ =200，β =0.4 × 10-2，μ =0.41，θ1=0.7，σ =0.18，γ =0.6，θ2=0.8，模型（4）的初值 如 下 ：S(0)=1400，I(0)=20，V(0)=500。計(jì)算得Rv=0.7770<1。由圖2可知，I(t)隨時(shí)間變化最終趨于0，S(t)，V(t)隨時(shí)間變化最終都會(huì)穩(wěn)定于各自的平衡點(diǎn)。

圖2 Rv<1時(shí)，各變量人數(shù)隨時(shí)間變化趨勢(shì)圖

取 Λ =700，β =0.6 × 10-2，μ =0.9，θ1=0.7，σ =0.18，γ =0.9，θ2=0.8，計(jì)算得 Rv=1.5221>1。由圖3可知，取不同的初值，各倉室人數(shù)隨時(shí)間變化最終都會(huì)穩(wěn)定于各自的平衡點(diǎn)。

圖3 Rv>1時(shí)，取不同初值，各變量人數(shù)隨時(shí)間變化趨勢(shì)圖

比較圖4中疫苗接種情況不難發(fā)現(xiàn)接種次數(shù)適當(dāng)增多，對(duì)疫情控制越好。按照第二節(jié)的假設(shè)，連續(xù)接受第一支和第二支疫苗的人獲得永久免疫，所以最多只需接種兩次疫苗，這說明二次疫苗接種可以更好的減少水痘感染人數(shù)。

圖4 疫苗接種次數(shù)對(duì)水痘疫情的影響

在圖5中，假設(shè)一次疫苗接種率為定值，通過改變?chǔ)?和σ的值觀察I的變化，從圖中可以觀察到，隨著θ2值的增大I的曲線呈下降趨勢(shì)。說明加大二次疫苗接種率可以減少水痘的感染數(shù)量。比較圖5中的兩個(gè)圖發(fā)現(xiàn)減小σ的值，I的值明顯降低，這說明減小疫苗失效率可以更好的減少水痘的感染數(shù)量。通過圖像的對(duì)比，可知加大二次疫苗的接種率和減小疫苗失效率可以更好減少水痘人群的感染數(shù)量。

圖5 改變?chǔ)?和σ的值對(duì)I的影響

基本再生數(shù)中的參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)的影響，基本再生數(shù)的表達(dá)式如下：

圖6中分析了θ2和σ對(duì)基本再生數(shù)Rv的影響，考慮參數(shù)的敏感性，首先固定其他參數(shù)不變，只看這兩個(gè)變量對(duì)基本再生數(shù)的影響。當(dāng)σ=0時(shí)，θ2的值大于A點(diǎn)的值時(shí)Rv<1；當(dāng)σ=1時(shí)，θ2的值大于B的值時(shí)Rv<1，疾病可以控制。說明當(dāng)疫苗有效率低時(shí)，增大二次疫苗接種率，Rv的值才會(huì)越小，疾病的控制效果越好。當(dāng)疫苗有效率高時(shí)，可以適當(dāng)降低第二次疫苗接種率，以減小疾病控制的成本。

圖6 θ2與σ對(duì)基本再生數(shù)Rv的影響

4 結(jié)論

本文建立了包含免疫策略的水痘傳染病動(dòng)力學(xué)模型，模型中考慮兩次疫苗接種策略。經(jīng)過分析，利用下一代矩陣的方法得到模型的基本再生數(shù)。當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，模型存在無病平衡點(diǎn)且無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，模型存在無病平衡點(diǎn)和地方性平衡點(diǎn)，而無病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定。在數(shù)值仿真中，對(duì)比了疫苗接種次數(shù)對(duì)患病人數(shù)的影響。結(jié)果表明，接種兩次疫苗對(duì)水痘疫情控制比較好。通過對(duì)模型中的參數(shù)的敏感度分析可知，說明當(dāng)疫苗有效率低時(shí)，增大二次疫苗接種率，Rv的值才會(huì)越小，疾病的控制效果越好。當(dāng)疫苗有效率高時(shí)，可以適當(dāng)降低第二次疫苗接種率，以減小疾病控制的成本。