一類帶有間斷波動率的永久美式看跌期權(quán)的定價公式

王 術(shù)， 袁 芳,2

(1.北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)部， 北京 100124； 2.中國光大銀行， 北京 100054)

本文致力于研究下列永久美式看跌期權(quán)的定價模型：求{V(S),ω}使得

(1)

V(ω)=K-ω

(2)

V′(ω)=-1

(3)

V(+∞)=0

(4)

式中：V=V(S)為期權(quán)；S為原生資產(chǎn)價格；σ為波動率；r為無風(fēng)險利率.

定解問題(1)～(4)，在數(shù)學(xué)上稱為自由邊界問題(free boundary problem)，其中S=ω稱為自由邊界.在金融學(xué)中，S=ω稱為最佳實施邊界.

這類期權(quán)定價模型，不僅具有重要理論意義，而且還具有明確的金融意義，因而受到人們的普遍關(guān)注.迄今，有關(guān)這類模型的研究已經(jīng)取得了一系列豐富的研究成果，參見文獻[1-20].

眾所周知，當波動率σ是一個正常數(shù)時，這類期權(quán)定價模型的研究已經(jīng)相當完善，詳見文獻[3].但是，當波動率σ是一個間斷函數(shù)時，包括期權(quán)定價公式在內(nèi)的一些問題還有待于進一步研究，詳見文獻[3]之第10章.

本文選取σ=σ(S)，是原生資產(chǎn)價格S的一個函數(shù)，具有表達式

(5)

式中：σ-與σ+為給定的正常數(shù)，且σ-≠σ+；v為一個給定的正常數(shù).

主要結(jié)果就是下列定理1～3.

定理1假設(shè)式(5)成立.定義

(6)

如果

(7)

那么自由邊界問題(1)～(4)的解(V(S),ω)具有表達式

(8)

(9)

定理2定義一個函數(shù)

f(x)=xm-px+q,x∈(0,+∞)

(10)

式中：

(11)

(12)

m=a-+1

(13)

這里a-與a+由式(6)定義.假定

a+

(14)

如果

(15)

那么自由邊界問題(1)～(4)有一個解(V(S),ω)，具有如下性質(zhì).

1) 自由邊界S=ω就是代數(shù)方程式

f(ω)=0

(16)

在區(qū)間(0,v)內(nèi)唯一解.

2) 期權(quán)函數(shù)具有表達式

(17)

式中：

(18)

(19)

進一步地，期權(quán)函數(shù)V(S)在間斷點S=v處還滿足間斷條件

V-(v-0)=V+(v+0)

(20)

V′-(v-0)=V′+(v+0)

(21)

定理3假設(shè)

a+>a-

(22)

如果

(23)

那么自由邊界問題(1)～(4)有一個解(V(S),ω)，并且(V(S),ω)具有如下性質(zhì).

1) 自由邊界S=ω就是代數(shù)方程式

f(ω)=0

(24)

在區(qū)間(0,v)內(nèi)的唯一解.

2) 期權(quán)函數(shù)具有下列表達式

(25)

式中：

(26)

(27)

進一步地，期權(quán)函數(shù)在間斷點S=v處還滿足間斷條件

V-(v-0)=V+(v+0)

(28)

V′-(v-0)=V′+(v+0)

(29)

注1當波動率σ為間斷函數(shù)時，我們將在另一篇文章中給出永久美式看漲期權(quán)定價公式.因此，本文對于永久美式看漲期權(quán)的定價公式將不做贅述.

定理1～定理3的證明將在第1～3節(jié)中給出.在第4節(jié)，將進一步闡述本文的應(yīng)用.

1 定理1的證明

該部分將考慮情況Ⅰ：

ω∈[v,+∞)

(30)

則對于所有的S∈[ω,+∞)?[v,+∞)，都有σ(S)=σ+.

在[v,+∞)上尋找定解問題(1)～(4)的解.根據(jù)常微分方程理論，需要先找到2個線性無關(guān)的特解.

在式(1)中，選取V=Sα，可得

對于所有S∈[v,+∞)成立.于是，得出

該一元二次方程有2個實數(shù)根

α=1，α=-a+

(31)

式中：

(32)

可得一般解

V(S)=AS+BS-a+

(33)

式中A、B為待定的常數(shù).

使用邊界條件式(4)得

這意味著

A=0

(34)

使用自由邊界條件(2)得

K-ω=V(ω)=Aω+Bω-a+

該式及式(34)表明

Bω-a+=K-ω

(35)

使用邊界條件式(3)得

該式及式(34)表明

-a+Bω-a+-1=-1

(36)

使用式(36)得

代入式(35)得

于是

合并同類項得出

移項并開方得出

化簡得出

(37)

使用式(36)(37)計算

開方得

化簡得

(38)

則自由邊界問題(1)～(4)有解(V,ω)：

(39)

且

(40)

如果滿足條件(30)，即

(41)

這表明，如果

(42)

則自由邊界問題(1)～(4)有解(V,ω):

(43)

(44)

定理1得證.

2 定理2的證明

該部分考慮下列2種情況：

1)S∈[v,+∞)； 2)S∈[ω,v).

1)S∈[v,+∞).

這種情況中，尋找方程(1)的解.

使用式(5)，有

σ(S)=σ+,S∈[v,+∞)

根據(jù)常微分方程理論，需要找到2個線性無關(guān)解.

在方程式(1)中，選取V=Sα，可得

對于所有的S∈[v,+∞)成立.于是，得出

關(guān)于α的一元二次方程有2個實數(shù)根

α=1,α=-a+

V+(S)=A+S+B+S-a+

(45)

對于所有S∈[v,+∞)成立.使用上式和邊界條件式(4)，計算得出

因此，得到

A+=0

(46)

2)S∈[ω,v).

這種情況下，尋找方程式(1)的解.根據(jù)式(5)，有

σ(S)=σ-,S∈[ω,v)

根據(jù)常微分方程理論，需要找到2個線性無關(guān)解.

在方程式(1)中，選取V=Sα，可得

對于所有S∈[ω,v)成立.于是得出

關(guān)于α的一元二次方程有2個實數(shù)根

α=1,α=-a-

V-(S)=A-S+B-S-a-

(47)

式中a-如式(6)定義.

現(xiàn)在計算ω、A-、B-、B+.

應(yīng)用式(20)(45)及式(47)，計算

再使用式(46)得出

A-v+B-v-a-=B+v-a+

(48)

應(yīng)用式(21)(45)及式(47)，計算

再使用式(46)得出

A--a-B-v-a--1=-a+B+v-a+-1

(49)

應(yīng)用自由邊界條件式(2)，可得

0={V(S)-[K-S]}|V(S)=V-(S),S=ω=
{V-(S)-[K-S]}|S=ω=
V-(ω)-[K-ω]=
(A-ω+B-ω-a-)-(K-ω)

這表明

A-ω+B-ω-a-=K-ω

(50)

應(yīng)用邊界條件式(3)，可得

這表明

A--a-B-ω-a--1=-1

(51)

給出

化簡得出

(52)

使用式(51)(52)計算

解出

(53)

在式(48)兩邊同乘以a+v-1之后，再加上式(49)，得出

a+v-1[A-v+B-v-a-]+(A--a-B-v-a--1)=0

合并同類項得出

(1+a+)A-+(a+v-a--1-a-v-a--1)B-=0

整理得出

(1+a+)v1+a-A-+(a+-a-)B-=0

(54)

把式(52)(53)代入式(48)，得出

解得

(55)

把式(52)(53)代入式(54)計算

式中p、q、m如式(11)～(13)所示.由于

因此，上述計算表明

f(ω)=ωm-pω+q=0

(56)

假設(shè)

a+

(57)

事實上，如果式(57)成立，使用式(11)，可得

p<0

(58)

應(yīng)用式(10)(58)得

f′(x)=mxm-1-p>0,x∈(0,+∞)

(59)

這表明，函數(shù)f′(x)在(0,+∞)內(nèi)嚴格單調(diào)增加，進一步，還有

該式及式(57)表明

f(0)=q<0

(60)

綜合式(59)(60)，可以斷言：代數(shù)方程

f(x)=0

(61)

在(0,v)上有唯一解，當且僅當

f(v)=vm-pv+q>0

(62)

另一方面，使用式(11)～(13)計算

這表明

(63)

使用式(57)，又可斷言：f(v)>0當且僅當

綜合該不等式及式(61)(62)，斷言：

在式(14)～(15)條件下，代數(shù)方程f(x)=0

在(0,v)是有唯一解.定理2得證.

3 定理3的證明

類似于定理1.2的計算，得到下列結(jié)論1和結(jié)論2.

結(jié)論1當S∈[v,+∞)時，期權(quán)函數(shù)

V+(S)=A+S+B+S-a+

式中A+與B+為待定常數(shù).

結(jié)論2當S∈[ω,v)時，期權(quán)函數(shù)

V-(S)=A-S+B-S-a-

式中A-與B-為待定常數(shù).

同樣，類似于定理1.2的計算，使用邊界條件(2)～(4)以及間斷條件(28)～(29)得出

把A-與B-表達式代入式(54)，類似于定理1.2的計算得出

即

f(ω)=ωm-pω+q=0

式中p、q、m定義如式(11)～(13)所示.

上述諸結(jié)論，都是在最佳實施邊界S=ω∈(0,v)的假設(shè)下推導(dǎo)完成的.

事實上，使用式(22)，有

a+>a-

(64)

事實上，如果式(64)成立，則使用式(11)(12)得

p>0，q>0

(65)

再使用式(10)，對于所有的x∈(0,+∞)，計算

f′(x)=mxm-1-p

(66)

另一方面，還有

f(0)=q>0

(67)

式中q如式(12)所示.

進一步，使用式(10)～(13)和式(64)，計算

應(yīng)用該式及式(23)得

f(v)<0

(68)

應(yīng)用式(66)，可以找到唯一的正根X，使得

f′(X)=0

(69)

式中

(70)

使用式(66)(69)得出

f′(x)=mxm-1-p<0,x∈(0,X)
f′(x)=mxm-1-p>0,x∈(X,+∞)

表明f(x)在(0,X)內(nèi)嚴格單調(diào)增加.這意味著，f(x)在x=X處取到(0,+∞)內(nèi)的最小值，即

(71)

使用式(11)～(13)，計算

應(yīng)用式(23)，并且使用上述不等式，可得

Xm-1-vm-1>0

于是得出

X>v

(72)

f(x)在(0,X)內(nèi)嚴格單調(diào)減少，且使用式(72)可以斷言，f(x)在(0,v)?(0,X)內(nèi)也嚴格單調(diào)減少.進一步，還有

f(0)=q>0,f(v)<0

應(yīng)用數(shù)學(xué)分析技巧，代數(shù)方程f(x)=0在(0,v)內(nèi)有唯一解x=ω∈(0,v).因此定理3得證.

4 結(jié)論

1) 使用待定系數(shù)法，求解Black-Scholes方程解的2個分支.

2) 把Black-Scholes方程解的2個分支進行拼接. 在拼接處，需要滿足包括解的連續(xù)性在內(nèi)的一些間斷條件.

3) 當波動率σ是間斷函數(shù)時，找到了一個永久美式看跌期權(quán)的定價公式. 這個公式豐富了期權(quán)定價理論. 它不僅給投資者提供了規(guī)避金融風(fēng)險的理論，也為管理者制定金融政策提供了重要參考.