融入課程思政元素的導數(shù)定義教學設計

劉 薇，常振海，高忠社

2020年5月《高等學校課程思政建設指導綱要》（以下簡稱《綱要》）中指出：公共基礎課程要注重在潛移默化中堅定學生理想信念、厚植愛國主義情懷、加強品德修養(yǎng)、增長知識見識、培養(yǎng)奮斗精神，提升學生綜合素質(zhì)；要以課程為基本載體，梳理課程教學內(nèi)容，深入挖掘課程中的思政元素，將之有機地融入課程的教學過程中［1］.不同學科的學者們已經(jīng)進行了有效的探索［2?7］.

“高等數(shù)學”是大學諸多專業(yè)的公共基礎課程，依據(jù)綱要的精神，如何在“高等數(shù)學”的課堂上開展好思政教學成為了每一名高校數(shù)學教師義不容辭的責任和義務，已經(jīng)有許多學者將高校思想政治教育工作融入大學數(shù)學課程教學［8?12］，把改革的各環(huán)節(jié)、各方面貫穿于教育教學全過程，實現(xiàn)知識傳授、能力培養(yǎng)與價值引領的有機統(tǒng)一，使專業(yè)教育與思政課程協(xié)調(diào)同步、相得益彰，真正實現(xiàn)在課堂教學主渠道中全員、全方位、全過程立體化育人.

通過“高等數(shù)學”課程的教學，要使學生掌握處理數(shù)學問題的思想和方法，逐步培養(yǎng)學生比較熟練的基本運算能力和自學能力、綜合運用所學知識去分析和解決問題的能力、初步抽象概括問題的能力以及一定的邏輯推理能力.而導數(shù)的定義又是“高等數(shù)學”教學中一個十分重要的內(nèi)容，它在整個課程體系中起著舉足輕重的作用，它是微分理論的核心，也是后續(xù)學習積分理論的基礎.本文針對“高等數(shù)學”中導數(shù)的定義這節(jié)教學內(nèi)容，科學設計了課程思政的教學體系，將德育元素融入到教學中.通過我國高鐵運行視頻中的兩個具體問題，提出要解決的瞬時速度和切線的斜率問題，通過講述中國高鐵輝煌成就激發(fā)學生的愛國情懷，同時在解決問題時引導學生用全面、發(fā)展、聯(lián)系的觀點看問題，無論是學習還是生活中可能每個人都會遇到許多意想不到的問題，我們在處理時都要用運動、變化、發(fā)展的觀點看問題，不能用僵化的、靜止的、不變的思維來思考問題，教學中滲透了辯證唯物主義的觀點.解決了相關問題后，又通過相關研究的歷史背景以及科學家的介紹，鼓勵學生學習科學家身上那種孜孜不倦、勤奮探索的科研精神，培養(yǎng)學生嚴謹客觀的科學態(tài)度，增強了課程的知識性、人文性、引領性和時代性.

1 教學設計思路

依照“教學理論”和“學習理論”對教學內(nèi)容進行了設計.“教學理論”能保障在教學設計時進行通盤考慮，讓教學設計符合教學上的普遍規(guī)律，讓設計者能站在更高的角度對教學任務、教學方法、教學手段、思政教育以及教學評價等進行合理的設計.“學習理論”能讓學生在刺激（如高鐵視頻）和反映（如發(fā)現(xiàn)的兩個問題）之間建立聯(lián)系，有利于學生通過情景對問題進行認知、頓悟和理解，有利于學生對知識進行再構造，從而將知識轉(zhuǎn)化為學生解決問題的能力.

1.1 教學方法：問題驅(qū)動、誘導探思教學法、類比和歸納

在教學中，主體是學生，主導是教師，主線是知識，主旨是發(fā)展思維，紐帶是問題，給學生創(chuàng)設相關的問題情境，通過適當?shù)囊龑?，使學生通過類比歸納得到導數(shù)的概念，引導學生體驗數(shù)學相關知識再發(fā)現(xiàn)的過程，知識的獲取、思維的發(fā)展以及數(shù)學的感悟都在學生的參與中得到體現(xiàn)，這樣就自然地實現(xiàn)了本節(jié)課的教學目標：掌握知識，發(fā)展能力，陶冶品德.

1.2 教學手段：多媒體、慕課堂輔助教學

通過PPT演示和慕課輔助能夠彌補傳統(tǒng)教學的不足，使得難以理解的教學概念更加直觀，使得學生能夠更好地理解無限逼近的極限思想，從而使得學生能夠較好地理解導數(shù)的本質(zhì).通過中國高鐵視頻展示講解，增強學生的愛國情懷，激發(fā)學生的科學探索精神.通過相關背景知識介紹調(diào)動學生的學習興趣.通過多媒體、慕課及黑板演示等方式來突破本節(jié)課的重點和難點.

1.3 思政教育：通過例子引出問題，體現(xiàn)思政與教學內(nèi)容的有機結合

首先，以我國高鐵的一段視頻為例，提出兩個問題：如何求變速直線運動的瞬時速度和求曲線的切線斜率.啟發(fā)學生通過探究得到這兩個問題的答案.通過中國高鐵激發(fā)學生的愛國情懷，通過問題的探究培養(yǎng)學生分析解決問題的能力和辯證唯物主義思想.接下來對所討論的這兩個問題，給出它們研究的歷史背景，早在17世紀的時候它們就由英國的數(shù)學家牛頓和德國的數(shù)學家萊布尼茨進行了研究，由這兩個問題以及解決相關問題而發(fā)展起來的數(shù)學理論稱為微分學，這是“高等數(shù)學”研究的主要內(nèi)容.由引例的結論歸納總結得到導數(shù)的定義，再回顧兩個引例得到導數(shù)的物理意義和幾何意義.最后給出了利用導數(shù)判斷函數(shù)可導以及利用定義計算導數(shù)的方法.

本教學設計的思維導圖如圖1所示.

圖1 思維導圖

2 教學過程

2.1 問題的提出

首先創(chuàng)設情境，以案例式教學方式給出現(xiàn)實生活中的一個實際問題：我國高鐵運行的一個簡短視頻.視頻中高鐵的車廂內(nèi)顯示了高鐵每個時刻的運行速度，同時也會顯示高鐵在彎道內(nèi)平穩(wěn)的運行，示意圖如圖2所示.

圖2 列車瞬時速度和彎道平穩(wěn)性實驗（乘客）

接下來給學生介紹我國鐵路發(fā)展的歷程，一代代的鐵路人經(jīng)過了不懈的努力才取得了今天高鐵輝煌的成就.中國如今擁有世界上首條新建的高寒高鐵，世界上單條運營里程最長的高鐵，世界上一次性建成里程最長的高鐵，截至2020年底，中國高速鐵路運營總里程達3.8萬公里，居世界第一.列車最高運營速度350千米/小時，居全球首位.高鐵已經(jīng)成為中國科技創(chuàng)新的標志性成果，也是中國向世界遞出的一張靚麗的名片.在視頻中同學們看到了飛馳的高鐵，一定會為我們偉大的祖國感到驕傲和自豪.通過例子激發(fā)學生的愛國情懷，同時也可以增強學生的責任感和使命感.

同時提出兩個問題：第1個就是高鐵在運行的時候，電子屏幕上時刻會顯示它的運行速度，每個時刻的速度都是不同的，這個速度是如何求出來的?第2個就是高鐵在駛入彎道的時候，為了保持高鐵的平穩(wěn)運行，設計軌道時會涉及到求曲線的切線斜率問題，那么曲線的切線斜率又該怎么求解的呢?

2.2 問題的解決

（1）變速直線運動的瞬時速度問題.把高鐵看作質(zhì)點（如圖3中直線上實心圓點），設質(zhì)點做變速直線運動，其位移函數(shù)為S=S(t)，怎樣求t0時刻的瞬時速度呢?

圖3 高鐵直線運動抽象化

為了求出t0時刻的瞬時速度，再取一個時刻t，先計算出從t0到t時間間隔內(nèi)的平均速度，平均速度就等于這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程除以所需的時間，即當所取的時間間隔很小時，從t0到t時間間隔內(nèi)的平均速度就很接近時刻t0的瞬時速度，可以用平均速度近似代替t0時刻的瞬時速度.若所取的時間間隔越小，則這個平均速度就越接近t0時的瞬時速度.讓t無限地趨近t0，若平均速度的極限存在，這個極限值就是質(zhì)點在t0時刻的瞬時速度.

（2）曲線上一點處的切線斜率問題.設曲線C為函數(shù)y=f(x)的圖像（圖4），列車在彎道的運行可看作是曲線上點M沿著曲線運動，列車在彎道處的運動方向可看作是求切線MT的斜率.

圖4 列車彎道平穩(wěn)性實驗抽象化

為求切線MT的斜率，記曲線C上點M(x0,f(x0))，在曲線C上再取一點N(x,f(x))，作割線MN，其斜率為

當點N沿曲線C無限接近于點M.割線MN的極限位置就是曲線C在點M處的切線.當點N沿曲線C無限接近于點M時，則有x→x0，對割線MN的斜率取極限，若極限存在，則該極限值就是切線MT的斜率.

從上面的兩個例子我們可以看到，當間隔取得足夠小，平均速度的極限就是瞬時速度，割線斜率的極限就是切線斜率.世界上沒有僵化的一成不變的事物，整個世界是一個變化發(fā)展的世界，我們對待問題的看法，處理問題的方法也應該是變化的、發(fā)展的，生活中的喜怒哀樂都是暫時的，只要你能正確的面對，科學的處理，一切都會向著好的方向發(fā)展.

2.3 問題的歷史背景

其實討論的這兩個問題，早在17世紀，就由英國的數(shù)學家牛頓和德國的數(shù)學家萊布尼茨進行了研究.由這兩個問題以及解決相關問題而發(fā)展起來的數(shù)學理論稱為微分學.接著為同學們介紹兩位偉大的數(shù)學家牛頓和萊布尼茨.

17世紀下半葉，英國的數(shù)學家牛頓為解決運動問題，創(chuàng)立了這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學理論，牛頓稱之為“流數(shù)術”，實際上就是微積分理論.牛頓用它處理了一些具體的問題，如求積問題、瞬時速度問題以及函數(shù)的極大值和極小值問題等.同時德國的數(shù)學家萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進了微積分的概念，得出了相應的運算法則，從幾何方面發(fā)現(xiàn)了微積分.萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑和方法與牛頓是不同的，牛頓在微積分的應用上更多的結合了運動學，造詣較萊布尼茨高一等，但萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓，既簡潔又準確地揭示了微積分的實質(zhì)，強有力的促進了微積分的發(fā)展.因此，牛頓和萊布尼茨被公認為是微積分的創(chuàng)立者和奠基人.

通過介紹激發(fā)學生的學習興趣，讓學生了解數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的相關歷史，培養(yǎng)學生刻苦鉆研及勇攀科學高峰的責任感和使命感，同時也提高了學生的人文素養(yǎng).

2.4 導數(shù)的定義

拋開這兩個例子的具體意義，抓住這兩個問題的共性，就可以得到導數(shù)的概念.設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若

極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并稱此極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)，記作或f′(x0).

在引例1中，瞬時速度所得結果就可寫為s′(t0)，其物理意義為質(zhì)點在t0時刻的瞬時速度.在引例2中，切線的斜率所得結果就可寫為f′(x0)，其幾何意義為曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率.

根據(jù)導數(shù)的定義

如何判斷函數(shù)在一點是否可導呢？通過求差商的極限，若極限存在則函數(shù)可導，若極限不存在則函數(shù)不可導.因此，導數(shù)的定義式既可用于判定又可用于計算.

例 求函數(shù)f(x)=x3在點x=1處的導數(shù).

板書解題過程，并引導學生總結歸納求函數(shù)在一點處導數(shù)的步驟.

2.5 學習小結

通過視頻，本節(jié)課引出了兩個問題，通過探索由平均速度得到瞬時速度，由割線斜率得到切線斜率，從而使得兩個問題得到了解決，并且歸納抽象出了導數(shù)的概念，得到了導數(shù)的物理意義和幾何意義.最后利用導數(shù)定義給出了判斷函數(shù)可導以及計算導數(shù)的方法.

3 結語

本文是深度挖掘課程思政教育功能的具體案例，結合導數(shù)定義在課堂三個恰當?shù)墓?jié)點處不著痕跡地引入思政元素.第一處是中國高鐵行駛的視頻，引入該例子達到兩個目的：一是引出我國現(xiàn)階段的靚麗名片——中國高鐵，潛移默化地激發(fā)學生的愛國情懷；二是引出和導數(shù)概念相關的兩個問題，有力地幫助學生了解導數(shù)的實際背景以及幾何意義和物理意義.第二處是在解決相關問題時運用了運動、變化、發(fā)展的唯物主義觀點，平均速度取極限得到瞬時速度，割線斜率取極限得到切線斜率，引導學生用發(fā)展的觀點看問題，堅持與時俱進，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神.第三處是微積分發(fā)展的相關歷史以及科學家的介紹，目的是培養(yǎng)學生刻苦鉆研和勤奮向上的科研精神和學習態(tài)度.從而在知識學習上、思想方法上以及情感教育上達到有機的融合，達到課程初始設計的目的，特別是引入課程思政的目的.