五棱鏡面形誤差對中心入射光線的轉(zhuǎn)向角影響

溫中凱，徐明明，張慶君,*，李爽

1. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 211106 2. 中國空間技術(shù)研究院 遙感衛(wèi)星總體部，北京 100094

1 引言

五棱鏡具有使光軸恒轉(zhuǎn)90°且不產(chǎn)生鏡像的光學(xué)特性，在理論設(shè)計和工程應(yīng)用中的使用十分廣泛。國內(nèi)方面，文獻(xiàn)[1-2]利用五棱鏡進(jìn)行多光譜光學(xué)系統(tǒng)的光軸平行性標(biāo)校；文獻(xiàn)[3-4]利用五棱鏡實現(xiàn)對大口徑平面鏡的面形檢測；文獻(xiàn)[5-6]利用五棱鏡進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)的波前檢測等。國外方面，文獻(xiàn)[7]利用五棱鏡實現(xiàn)線性光學(xué)量子CNOT門的設(shè)計；文獻(xiàn)[8]利用五棱鏡實現(xiàn)對大型光學(xué)表面的原位測量；文獻(xiàn)[9]利用五棱鏡實現(xiàn)快速、高精度的表面坡度測量等。在空間光電跟瞄系統(tǒng)的多光軸平行性標(biāo)校中，常利用五棱鏡將目標(biāo)靶和CCD分別定位在平行光管的焦面和共軛焦面處，以檢測主動式發(fā)射系統(tǒng)與被動式接收系統(tǒng)的光軸平行性。而五棱鏡制造誤差的存在將破壞其垂直折轉(zhuǎn)特性，引起出射光線的轉(zhuǎn)向角偏差，從而影響多光軸平行性的檢測精度。因此，有必要對五棱鏡進(jìn)行誤差分析以便對結(jié)果進(jìn)行修正。

目前，對五棱鏡誤差分析的研究多集中在角度制造誤差、垂直度誤差和姿態(tài)誤差的影響上，對面形誤差影響的研究較少。如文獻(xiàn)[10-13]對五棱鏡角度制造誤差的研究，文獻(xiàn)[14-15]對五棱鏡垂直度誤差的研究，文獻(xiàn)[16-20]對五棱鏡姿態(tài)誤差的研究等，均未涉及對五棱鏡面形誤差影響的研究。此外，面形誤差的綜合影響十分復(fù)雜，需要提出一種降低其研究復(fù)雜度的方法。

本文在五棱鏡不規(guī)則度較小的前提下，利用最佳擬合球面的矢量高度Power適當(dāng)簡化其工作面模型，提出了一種研究五棱鏡面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角影響的新方法。在保證計算精度的前提下，降低了出射光線轉(zhuǎn)向角誤差數(shù)據(jù)的維度，推導(dǎo)出了轉(zhuǎn)向角誤差的降維計算公式。利用該公式計算主截面方向上轉(zhuǎn)向角誤差的最大相對誤差為2.14%，最大相對誤差低于1.23%的數(shù)據(jù)占全部計算數(shù)據(jù)的99%以上，且計算結(jié)果與實驗測試平均值的偏差在±0.25″以內(nèi)；計算垂直于主截面方向上轉(zhuǎn)向角誤差的最大相對誤差僅有0.31%，且計算結(jié)果與試驗測試平均值的偏差在±0.15″以內(nèi)。

2 出射光線轉(zhuǎn)向角求解

2.1 建立空間分析坐標(biāo)系

圖1 五棱鏡光路Fig.1 Light path map of pentaprism

2.2 面形誤差的判定方法

傳統(tǒng)檢測光學(xué)平面面形的方法是光學(xué)樣板法，使用光圈數(shù)N與局部光圈數(shù)ΔN來衡量面形質(zhì)量的高低。由于光圈形狀的多樣性、光圈檢查的復(fù)雜性，檢驗員只能憑借經(jīng)驗對干涉圖形進(jìn)行判斷。隨著光學(xué)表面檢測技術(shù)的發(fā)展，特別是數(shù)字型激光干涉儀的出現(xiàn)，使得光學(xué)零件表面面形誤差的精密測量得以實現(xiàn)。利用這種干涉測量設(shè)備測出的干涉圖形，使用峰谷值PV、均方根值RMS和Power作為衡量面形誤差的數(shù)字化指標(biāo)，能精確評估面形誤差。

當(dāng)前航天應(yīng)用中使用的五棱鏡各工作面不規(guī)則度很小，即有ΔN≈2|PV-Power|≈0，而Power≠0。根據(jù)工程經(jīng)驗，該情況下可用最佳擬合球面的矢高Power表示工作面面形和理想平面波前的光焦度偏差，代替PV與RMS作為衡量面形誤差的數(shù)字化指標(biāo)，從而將工作面適當(dāng)簡化成球面以分析其對出射光線轉(zhuǎn)向角的影響。

2.3 求解出射光線轉(zhuǎn)向角

如圖2所示，在圖1基礎(chǔ)上給五棱鏡各工作面添加用Power定義的面形誤差，設(shè)添加面形誤差后的五棱鏡各工作面為PS(S=1,2,3,4)，PS與光線的交點為AS(ASX,ASY,ASZ,)，PS在點AS處的單位法向量為NS，此時各光線的單位方向向量分別為R1(x1,y1,z1) ～R5(x5,y5,z5)。

圖2中L為干涉儀檢測區(qū)域口徑，|r|為該檢測區(qū)域曲率半徑。Power的符號與干涉儀的檢測方式有關(guān)，本文設(shè)定Power>0時，工作面凹向介質(zhì)，Power<0時，工作面凸向空氣，且令r與Power同號，則由幾何關(guān)系可得

圖2 面形誤差分析模型Fig.2 Surface error analysis model

(1)

(2)

(3)

式中：φ2=φ3=φ4=-φ1=1。

在實際應(yīng)用中，入射點A1(A1X,A1Y,A1Z)較易測量的參數(shù)是A1Y和A1Z，則A1X的計算公式為：

A1X=O1X+sgn(r1)·

(4)

根據(jù)空間解析幾何[21]、折射定律與反射定律[22-23]以及式(1)～(4)推導(dǎo)可得出射光線求解公式如下：

(5)

光線在五棱鏡主截面即XOY方向的轉(zhuǎn)向角為

(6)

角度符號定義為：逆著Z軸的方向在五棱鏡主截面方向上觀察，入射光線在180°以內(nèi)轉(zhuǎn)向出射光線，順指針轉(zhuǎn)動為正，逆時針轉(zhuǎn)動為負(fù)。

光線在垂直于五棱鏡主截面方向上的轉(zhuǎn)向角為

θZ=arcsinz5-arcsinz1

(7)

角度符號定義為：以XOY面為底，并設(shè)Z軸正方向為上，在垂直于五棱鏡主截面方向上觀察，入射光線在180°以內(nèi)轉(zhuǎn)向出射光線，向上轉(zhuǎn)動為正，向下轉(zhuǎn)動為負(fù)。

設(shè)五棱鏡面形誤差所造成出射光線在主截面方向上的轉(zhuǎn)向角誤差為ΔθXOY，在垂直于主截面方向上的轉(zhuǎn)向角誤差為ΔθZ，則有

(8)

3 轉(zhuǎn)向角誤差的降維分析

3.1 五棱鏡初始參數(shù)設(shè)置

3.2 五棱鏡典型應(yīng)用場景分析

五棱鏡常用來對光線進(jìn)行垂直折轉(zhuǎn)，其典型應(yīng)用場景之一便是光線以一定入射角從入射面中心區(qū)域入射。本文用入射角I和入射方向ω兩個變量來定義入射光線的單位方向向量。如圖3所示，紅色矢量是入射光線的單位方向向量，藍(lán)色矢量是其在YOZ面上的投影，兩矢量所構(gòu)成的平面與XOY面間的二面角便是ω，其符號定義為：右手握住X軸，大拇指指向X軸正向，那么四指的指向就是ω的旋轉(zhuǎn)方向。

圖3 入射向量示意Fig.3 Schematic diagram of incident vector

由式(5)～(8)可知，五棱鏡出射光線轉(zhuǎn)向角誤差受入射角I、入射方向ω和4個工作面Power的共同作用。本文以0.01°為間隔將I從0°取到5°，以1°為間隔將ω從0°取到360°，以0.001λ為間隔分別將Power1～Power4從-0.5λ取到0.5λ，共約1.8×1017個組合，每個組合分別計算ΔθXOY和ΔθZ，共約3.6×1017項7維數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)形式如下：

(9)

式中：Power1～Power4分別用Pr1～Pr4表示。顯然6個變量對轉(zhuǎn)向角誤差的影響不是獨立的，而是存在相互影響關(guān)系，分析該類7維數(shù)據(jù)將占用巨大的計算資源。為解決該問題，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維從而去除各變量間的相互關(guān)聯(lián)。對計算數(shù)據(jù)分析后發(fā)現(xiàn)，若適當(dāng)舍棄部分計算精度，便可拆解4個面Power的關(guān)聯(lián)性，從而得到以下近似：

(10)

式中：ΔθSXOY和ΔθSZ分別為只有PS存在面形誤差而其他面為理想平面時主截面方向和垂直于主截面方向的轉(zhuǎn)向角誤差，S=1,2,3,4。式(10)的計算精度如表1所示。

表1 式(10)計算精度統(tǒng)計表

式(10)和表1表明，將五棱鏡面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角誤差的綜合影響轉(zhuǎn)換為各工作面單獨對轉(zhuǎn)向角誤差的影響是完全可行的，即可將每一個7維數(shù)據(jù)的計算轉(zhuǎn)換成4個4維數(shù)據(jù)的計算。

通過對不同入射角I下ΔθSXOY和ΔθSZ的圖像進(jìn)行對比后發(fā)現(xiàn)，無論入射角I為何值，對應(yīng)的ΔθSXOY和ΔθSZ均擁有相同的形狀和相同的變化趨勢，且不同入射角I對應(yīng)的ΔθSXOY和ΔθSZ存在明顯的倍數(shù)關(guān)系，故本文合理假設(shè)：當(dāng)入射角I變?yōu)镵I，而其他參數(shù)保持不變時，ΔθSXOY和ΔθSZ近似變?yōu)镵ΔθSXOY和KΔθSZ。如I=1°和I=3°時，各工作面Power和光線入射方向ω影響下的轉(zhuǎn)向角誤差的數(shù)值變化分別如圖4和圖5所示。根據(jù)計算，當(dāng)光線從入射面中心入射時，P1的面形誤差幾乎不產(chǎn)生任何轉(zhuǎn)向角誤差，故圖4和圖5中省略了有關(guān)P1的數(shù)據(jù)。

圖4 I = 1°時轉(zhuǎn)向角誤差數(shù)值變化趨勢Fig.4 Numerical variation trend of steering angle error when I=1°

圖5 I = 3°時轉(zhuǎn)向角誤差數(shù)值變化趨勢Fig.5 Numerical variation trend of steering angle error when I=3°

通過計算可得該假設(shè)方法在I= 3°作為對比基準(zhǔn)時的計算精度如表2所示。

表2 近似方法計算精度統(tǒng)計

由表2可知該方法完全可行，即可通過舍棄部分計算精度將7維數(shù)據(jù)中入射角I的影響除去，結(jié)合式(10)便可將6個非獨立隨機變量影響下的7維數(shù)據(jù)的計算分析問題轉(zhuǎn)換為各工作面Power和光線入射方向ω影響下的3維數(shù)據(jù)的計算分析問題。

由圖4和圖5知，當(dāng)PowerS(S=1,2,3,4)分別為定值時，轉(zhuǎn)向角誤差與ω近似成正弦或余弦關(guān)系，近似計算如下：

(11)

式中：幅值A(chǔ)SXOY和ASZ分別由該PowerS下ΔθSXOY和ΔθSZ波峰或波谷處的取值確定，且式(11)的計算精度如表3所示。

表3 式(11)計算精度統(tǒng)計

當(dāng)ω為定值時，轉(zhuǎn)向角誤差與PowerS(S=1,2,3,4)近似成線性關(guān)系，且近似計算如下：

(12)

式中：斜率KSXOY和KSZ分別由該ω下ΔθSXOY和ΔθSZ在PowerS= ±0.5λ處的取值確定，式(12)的計算精度如表4所示。

由表3和表4可知，3維數(shù)據(jù)可進(jìn)一步去除Power和ω的相互影響，從而完全去除影響出射光線轉(zhuǎn)向角誤差的6個非獨立隨機變量間的相互關(guān)聯(lián)。由式(10)～(12)以及表2中的近似方法可得ΔθXOY和ΔθZ的降維計算公式為:

表4 式(12)計算精度統(tǒng)計

(13)

式中：Power以λ為單位，I和ω均以度為單位，且降維公式的計算精度如表5所示。

表5 降維公式計算精度統(tǒng)計表

由表5可知，降維公式的計算誤差和最大相對誤差均較小，且進(jìn)一步分析可知，應(yīng)用降維公式計算ΔθXOY的最大相對誤差低于1.23%的數(shù)據(jù)占全部計算數(shù)據(jù)的99%以上。此外，由式(13)可知，只需五棱鏡各工作面的Power值配置合理，便可減小甚至消除五棱鏡面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角的影響。

4 試驗測試與結(jié)果

如圖6所示，將五棱鏡固定在高精度調(diào)整平臺上并放置在干涉儀前，干涉儀發(fā)出的632.8 nm波段的平行光束一部分經(jīng)五棱鏡入射面反射，另一部分經(jīng)五棱鏡到達(dá)經(jīng)緯儀。保持五棱鏡固定，將入射面反射像的干涉條紋調(diào)整至一個條紋以內(nèi)，用經(jīng)緯儀瞄準(zhǔn)干涉儀光軸，將此時經(jīng)緯儀的讀數(shù)清零，保持經(jīng)緯儀不動，用其瞄準(zhǔn)經(jīng)五棱鏡折轉(zhuǎn)后的光束光軸，并記錄讀數(shù)，該讀數(shù)為干涉儀正入射時的轉(zhuǎn)角，可通過該值計算五棱鏡角度制造誤差的影響。轉(zhuǎn)動高精度調(diào)整平臺，即可測試平行光束的光軸變化。此外，在五棱鏡入射面前放置一個可移動并且可以調(diào)節(jié)口徑大小的小孔光闌，從而確保平行光束從入射面中心入射。對入射光線的每一種入射角I和光線入射方向ω下的五棱鏡均重復(fù)進(jìn)行100次測試，對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)修正以去除五棱鏡角度制造誤差的影響，并取平均值作為最終測試結(jié)果。

圖6 試驗裝置Fig.6 Experimental devices

將降維公式的計算結(jié)果與最終測試結(jié)果的偏差絕對值整理成表6和表7，由于0～180°與180°～360°之間的數(shù)據(jù)存在對稱相似現(xiàn)象，故表中省略了180°～360°的數(shù)據(jù)，且表中第一列為入射方向ω的數(shù)據(jù)，表中第一行為入射角I的數(shù)據(jù)，表中其余部分為相應(yīng)轉(zhuǎn)向角誤差ΔθXOY和ΔθZ的偏差絕對值數(shù)據(jù)。

將表6和表7的試驗結(jié)果與降維計算公式的計算結(jié)果對比后發(fā)現(xiàn)：主截面方向和垂直于主截面方向上轉(zhuǎn)向角誤差的試驗測試平均值與降維公式計算值的偏差分別在±0.25″和±0.15″以內(nèi)，這是完全可以接受的。

表6 降維公式計算結(jié)果與主截面方向測試結(jié)果偏差

表7 降維公式計算結(jié)果與垂直于主截面方向測試結(jié)果偏差

5 結(jié)論

針對五棱鏡面形誤差造成出射光線轉(zhuǎn)向角誤差的問題，本文通過適當(dāng)簡化模型，將影響出射光線轉(zhuǎn)向角誤差的因素限定在了6個非獨立隨機變量的共同作用上，并通過降維分析去除了6個變量間的相互關(guān)聯(lián)，推導(dǎo)出了降維后的出射光線轉(zhuǎn)向角誤差計算公式，并得出以下結(jié)論：

1)保證光線從入射面中心區(qū)域入射可消除五棱鏡入射面面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角的影響。

2)光線入射角越大，面形誤差造成的出射光線轉(zhuǎn)向角誤差越大，故光線垂直于入射面入射可降低五棱鏡面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角的影響。

3)五棱鏡精度越高，面形誤差造成的轉(zhuǎn)向角誤差越小，但成本也越高。由降維公式分析可知，對主截面方向轉(zhuǎn)向角精度要求較高的情況，只需選用0.881 8·Pr2+1.611 5·Pr3+0.423 2·Pr4最小的五棱鏡便可減小面形誤差的影響，從而用低精度五棱鏡實現(xiàn)高精度五棱鏡的效果；對垂直于主截面方向轉(zhuǎn)向角精度要求較高的情況，只需選用0.748 8·Pr2+1.369 2·Pr3+0.423 2·Pr4最小的五棱鏡便可減小面形誤差的影響，從而用低精度五棱鏡實現(xiàn)高精度五棱鏡的效果。