嶺估計(jì)在似大地水準(zhǔn)面精化中的應(yīng)用

楊燕燕，王曉紅

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

GPS定位技術(shù)由于具有較高精度、成本低且作業(yè)便捷的特點(diǎn)，故在測(cè)繪領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，并且隨著GPS技術(shù)逐漸成熟，利用GPS定位技術(shù)與高精度似大地水準(zhǔn)面模型，可以測(cè)定正常高[1]，實(shí)現(xiàn)對(duì)似大地水準(zhǔn)面的精化。在實(shí)際工程測(cè)量中，采用GPS技術(shù)能夠準(zhǔn)確測(cè)定地物點(diǎn)的坐標(biāo)，但其測(cè)定的高程為大地高，在實(shí)際工作中無(wú)法直接利用，需通過(guò)采用一定的方法將其轉(zhuǎn)換成具有實(shí)際意義的正常高。因此，將大地高轉(zhuǎn)換為實(shí)際所需的正常高是數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵，且高程異常擬合的精度直接影響坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度[2]。常用的GPS轉(zhuǎn)換方法有高程擬合法，它是將GPS水準(zhǔn)點(diǎn)獲得的高程異常近似看作各點(diǎn)坐標(biāo)的曲面函數(shù)，通過(guò)此擬合函數(shù)來(lái)計(jì)算其他地方的GPS點(diǎn)的高程異常，從而得到正常高[3]，高程擬合法只需要GPS測(cè)量數(shù)據(jù)和相應(yīng)的水準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)，并選擇合適的擬合模型和計(jì)算方法，簡(jiǎn)單、快捷，因此成為區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化常用的一種方法[4]。

在實(shí)際測(cè)量工作中，由于大地水準(zhǔn)面的復(fù)雜性，在進(jìn)行多項(xiàng)式擬合時(shí)，往往需要較多的擬合系數(shù)，這就會(huì)使得擬合系數(shù)之間存在嚴(yán)重的多重共線性，即設(shè)計(jì)矩陣的病態(tài)性[5]。如果多項(xiàng)式曲面擬合模型出現(xiàn)病態(tài)性問(wèn)題，將很難求解出準(zhǔn)確的參數(shù)，根據(jù)該模型得到的高程異常值也會(huì)有較大誤差。采用嶺估計(jì)的有偏估計(jì)方法可以很好地解決此類方程病態(tài)性問(wèn)題。

1區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化

似大地水準(zhǔn)面是指從地面點(diǎn)沿正常重力線量取正常高所得端點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲面，與地球橢球體、大地水準(zhǔn)面一樣，是獲取地理空間信息的重要高程基準(zhǔn)面之一[6]。大地高系統(tǒng)、正高系統(tǒng)和正常高系統(tǒng)分別以地球橢球面、大地水準(zhǔn)面和似大地水準(zhǔn)面為常用的參考基準(zhǔn)面。某點(diǎn)的大地高是該點(diǎn)沿參考橢球面的法線到參考橢球面的距離；正高是地面點(diǎn)沿通過(guò)該點(diǎn)的鉛垂線至大地水準(zhǔn)面的距離；正常高是地面點(diǎn)沿通過(guò)該點(diǎn)的垂線方向到似大地水準(zhǔn)面的距離[7]。在實(shí)際測(cè)量工程中，我國(guó)采用以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的正常高作為我國(guó)的高程系統(tǒng)，將正常高與大地高之間的差值稱作高程異常值[8]。

精化似大地水準(zhǔn)面常用的方法有重力法、GPS水準(zhǔn)擬合法等。在不考慮地球重力場(chǎng)模型和重力等數(shù)據(jù)影響的情況下，在某小區(qū)域范圍內(nèi)，利用高精度的GPS大地高和精密幾何水準(zhǔn)數(shù)據(jù)通過(guò)最小二乘方法來(lái)擬合區(qū)域似大地水準(zhǔn)面能得到良好的效果[9]。GPS水準(zhǔn)法即高程擬合法，在實(shí)際應(yīng)用中，大多采用多項(xiàng)式擬合的方法。

多項(xiàng)式曲面擬合法是將小范圍GPS網(wǎng)內(nèi)的似大地水準(zhǔn)面視作不規(guī)則曲面，根據(jù)GPS實(shí)際測(cè)得的大地高和水準(zhǔn)點(diǎn)求出其高程異常值[10]，通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面進(jìn)行擬合，建立與該不規(guī)則曲面最接近的多項(xiàng)式曲面模型，根據(jù)此模型求解出待定點(diǎn)的高程異常值，然后利用GPS測(cè)得的大地高減去得到的高程異常值，即可求出待求點(diǎn)的正常高[11]。該項(xiàng)目以二次多項(xiàng)式擬合為例，介紹此數(shù)學(xué)模型以及理論基礎(chǔ)。

二次多項(xiàng)式曲面擬合法數(shù)學(xué)模型為：

F(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy

(1)

其中，F(xiàn)(x,y)表示函數(shù)模型；(x，y)為觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)；a0-a5為擬合系數(shù)。在進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合時(shí)，擬合系數(shù)有6個(gè)，因此觀測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)不少于6個(gè)。其中，當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)大于6時(shí)，可根據(jù)最小二乘法則vTpv=min求解擬合系數(shù)，假設(shè)觀測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，由(1)式可列誤差方程：

(2)

總誤差方程式為：

V=BX-L

(3)

X=(BTB)-1BTL

(4)

得到系數(shù)矩陣后，將其帶入公式(1)即可得到高程異常值。多項(xiàng)式函數(shù)理論上可以任意確定次數(shù)，理論上多項(xiàng)式的次數(shù)越高，擬合模型越接近真實(shí)曲面，但是在實(shí)際應(yīng)用中，次數(shù)不斷增高的同時(shí)，會(huì)造成法方程系數(shù)陣呈病態(tài)性，即擬合系數(shù)之間也出現(xiàn)多重共線性的情況，且系數(shù)越高，多重共線性越嚴(yán)重，從而使得高程擬合結(jié)果不準(zhǔn)確。目前，采用嶺估計(jì)的有偏估計(jì)方法可以很好地解決法方程病態(tài)性的問(wèn)題。

3嶺估計(jì)

嶺估計(jì)方法是根據(jù)最小二乘估計(jì)提出的一種改進(jìn)的有偏估計(jì)，它主要是通過(guò)確定一個(gè)很小嶺參數(shù)k來(lái)使法方程系數(shù)陣N的一小部分特征根非常接近于零，從而打破系數(shù)陣的嚴(yán)重復(fù)共線性，進(jìn)而消除或減弱數(shù)據(jù)呈病態(tài)性對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響[12]。嶺估計(jì)參數(shù)模型如式(5)：

XOR=(BTPB+kI)-1BTPL

(5)

由嶺估計(jì)的性質(zhì)可知嶺估計(jì)是在最小二乘估計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)，而其最重要的特點(diǎn)就是通過(guò)加入了嶺參數(shù)k，以此來(lái)打破系數(shù)陣B的嚴(yán)重復(fù)共線性，所以使用嶺估計(jì)最重要的就是確定嶺參數(shù)k，因此眾多學(xué)者做了大量的工作來(lái)進(jìn)行探索，提出了很多方法來(lái)確定k值，但目前為止還沒(méi)有一種公認(rèn)的好方法[13]。目前，比較常用的2種方法就是嶺跡法和雙h法。

3.1 嶺跡法

所謂嶺跡法，就是以嶺估計(jì)XOR的分量Xi(k)=(i=1,2,…t)作為嶺參數(shù)k的函數(shù)，將t條嶺跡畫出函數(shù)圖像，當(dāng)t條嶺跡都大體處于穩(wěn)定且沒(méi)有不合理的符號(hào)時(shí)，這個(gè)狀態(tài)下的值即可作為k值[14]。利用嶺跡法選擇k值的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用方便，但具有隨意性，容易造成較大誤差。

3.2 雙h法

由于嶺跡法選取k值時(shí)具有較強(qiáng)的主觀性，誤差較大，還可根據(jù)雙h法確定嶺參數(shù)k。雙h法如式(6)：

(6)

因?yàn)樵摴街杏?個(gè)可供選擇的參數(shù)h1和h2，故稱為雙h法，當(dāng)取G=I,h1=t,h2=0，上式就變?yōu)椋?/p>

(7)

4案例分析

以唐山市華北理工大學(xué)曹妃甸校區(qū)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例。華北理工大學(xué)曹妃甸校區(qū)的高程系統(tǒng)為1984國(guó)家高程基準(zhǔn)。測(cè)區(qū)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布圖如圖1所示。

圖1 測(cè)區(qū)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)點(diǎn)位分布圖

為減小實(shí)驗(yàn)誤差，選取測(cè)區(qū)內(nèi)gps1、gps2、gps3、gps4、gps5、gps7、da17、da06、da08、da48、da51、da39這12個(gè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)作為已知點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，其余da04、da30、da32、da43、da54這5個(gè)作為檢核點(diǎn)。由于數(shù)據(jù)保密需要，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 測(cè)區(qū)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)點(diǎn)位數(shù)據(jù)

考慮到不同多項(xiàng)式對(duì)曲面擬合的影響，利用matlab軟件進(jìn)行程序設(shè)計(jì)時(shí)，將已知點(diǎn)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合和三次多項(xiàng)式擬合。在進(jìn)行精度評(píng)價(jià)時(shí)，采用最多的是內(nèi)符合精度和外符合精度。內(nèi)符合精度一般用μ表示，是根據(jù)參與擬合計(jì)算的已知點(diǎn)的高程異常值與實(shí)際得到的擬合值的差值V，以及擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)n，由公式(8)計(jì)算得到[15]。

(8)

外符合精度一般用M表示，是根據(jù)檢核點(diǎn)的實(shí)測(cè)高程異常值與擬合得到的高程異常值的差值，以及檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)m，由公式(9)計(jì)算得到。根據(jù)內(nèi)符合精度和外符合精度可以評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣[16]。

(9)

實(shí)驗(yàn)中，選取分布合理的12個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)來(lái)擬合似大地水準(zhǔn)面模型，剩余5個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。其中，二次多項(xiàng)式擬合和三次多項(xiàng)式擬合的條件數(shù)分別為6.231 4 e+21和6.232 3 e+21，說(shuō)明法方程系數(shù)陣呈嚴(yán)重病態(tài)性，則采用嶺估計(jì)的方法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，不同擬合方法的精度如表2所示。

表2 不同擬合方法精度分析/m

由表2可以看出，采用二次多項(xiàng)式擬合得到的殘差最大值為-0.634 61 m，最小殘差為0.014 65 m；三次多項(xiàng)式擬合的殘差最大值為-0.633 13 m，最小殘差值為0.013 24 m；嶺估計(jì)二次擬合中，最大殘差值為0.162 9 m，最小殘差值為0.008 7 m；采用嶺估計(jì)三次擬合方法，得到的最大殘差值為0.162 6 m，最小殘差值為0.007 6 m。多項(xiàng)式曲面擬合方法由于方法簡(jiǎn)單，其模型應(yīng)用最廣，但其精度偏低，無(wú)論是二次多項(xiàng)式擬合還是三次多項(xiàng)式擬合，其擬合效果并不理想。其中，二次多項(xiàng)式內(nèi)外符合精度分別為0.524 93 m和0.422 25 m，三次多項(xiàng)式擬合的內(nèi)外符合精度分別為0.525 10 m和0.422 39 m。采用嶺估計(jì)的方法進(jìn)行高程擬合，精度明顯得到了改善，其中嶺估計(jì)二次擬合內(nèi)外符合精度分別為0.068 11 m和0.054 78 m，嶺估計(jì)三次擬合內(nèi)外符合精度分別為0.067 63 m和0.054 41 m。

5結(jié)論

(1)在實(shí)例計(jì)算中，雖然測(cè)區(qū)內(nèi)的實(shí)測(cè)點(diǎn)數(shù)量有限，但選取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)位相對(duì)合理，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行多項(xiàng)式擬合和嶺估計(jì)可減少實(shí)驗(yàn)點(diǎn)位選取不合理帶來(lái)的誤差，但由于高程異常受多種因素影響，再加上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有限，模型誤差不可避免。

(2)由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，多項(xiàng)式擬合模型簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便，但其系數(shù)矩陣的復(fù)共線性較強(qiáng)，無(wú)論是二次多項(xiàng)式擬合還是三次多項(xiàng)式擬合，其擬合精度并不能達(dá)到實(shí)際水準(zhǔn)測(cè)量的要求。

(3)利用雙h法選取嶺參數(shù)k進(jìn)行嶺估計(jì)運(yùn)算，能夠很好改善最小二乘法下的多項(xiàng)式擬合，并且可以提高模型的內(nèi)外符合精度，且效果顯著，可達(dá)到實(shí)際測(cè)量要求的精度，實(shí)現(xiàn)對(duì)似大地水準(zhǔn)面的精化。