淺談電磁場(chǎng)中常用的數(shù)值求解算法

范昊博

摘要：麥克斯韋將電磁之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)形式進(jìn)行了表示，從而打開了電磁學(xué)發(fā)展新的大門，經(jīng)過多年的發(fā)展，電磁場(chǎng)的相關(guān)知識(shí)在醫(yī)學(xué)成像、光纖通信技術(shù)等眾多領(lǐng)域中都得到較為廣泛的應(yīng)用。由此可見，電磁場(chǎng)在人們的生活中扮演著舉足輕重的角色，本文對(duì)電磁場(chǎng)常用的數(shù)值求解算法及各自特點(diǎn)進(jìn)行介紹分析。

關(guān)鍵詞：電磁場(chǎng);數(shù)值求解算法;特點(diǎn)

在很久以前人們就開始對(duì)電磁現(xiàn)象進(jìn)行研究，但一直沒有真正的數(shù)學(xué)模型，直到1873年麥克斯韋在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)電磁之間的關(guān)系使用數(shù)學(xué)形式進(jìn)行表示，從而使得電磁場(chǎng)理論有了數(shù)學(xué)模型，為電磁學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展打開了一扇新的大門。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)電磁的研究也越來(lái)越深入，目前在人們的日常生活中都有著電磁波的應(yīng)用，如醫(yī)學(xué)成像、光纖通信等領(lǐng)域。在使用電磁波時(shí)，由于實(shí)際環(huán)境的復(fù)雜性和多樣性，電磁波的傳播會(huì)產(chǎn)生散射等問題，變得十分復(fù)雜，因此，研究者們必須要對(duì)具體且實(shí)際的電磁波傳播特性進(jìn)行高標(biāo)準(zhǔn)求解計(jì)算，并可以實(shí)現(xiàn)通過數(shù)值仿真便可得到準(zhǔn)確有效的電磁特性。計(jì)算機(jī)等技術(shù)的快速發(fā)展為人們對(duì)實(shí)際中電磁波所涉及的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模及仿真分析提供了高效且便捷的手段，從而產(chǎn)生了計(jì)算電磁學(xué)。

計(jì)算電磁學(xué)對(duì)電磁波進(jìn)行計(jì)算時(shí)通常分為兩種方法，分別為半解析法和數(shù)值法。其中前者較為繁瑣，應(yīng)用范圍有限，很少有人對(duì)該方法進(jìn)行研究。后者則得到深入的研究并廣泛應(yīng)用在眾多的領(lǐng)域中。由于需要對(duì)麥克斯韋方程組求解，所以根據(jù)求解方式又將數(shù)值法進(jìn)一步細(xì)分，分為時(shí)域和頻域兩大類。目前在頻域使用的較為成熟的算法主要有：頻域有限差分（FDFD）方法、矩量法（MoM）、有限元法（FEM）等;而在時(shí)域中使用的較為成熟的算法主要有：時(shí)域有限元（FETD）法、時(shí)域積分（TDIE）法、邊界元法（BEM）以及時(shí)域有限差分（FDTD）法。與各算法比較而言，時(shí)域有限差分算法即FDTD算法具有簡(jiǎn)單易懂、可對(duì)寬頻帶計(jì)算等優(yōu)勢(shì)得到較為深入的研究和完善，成為最常用的電磁求解算法之一。下面對(duì)常用的電磁求解算法進(jìn)行介紹和分析。

一、頻域方法

1、頻域有限差分（FDFD）方法

該方法是一種在頻域求解電磁問題的算法，其基本求解思路是先對(duì)時(shí)域的麥克斯韋方程組進(jìn)行變換，將其變換到頻域，然后對(duì)頻域直接進(jìn)行離散化，對(duì)空間使用階梯近似方法進(jìn)行離散化，從而計(jì)算求解。此外，當(dāng)遇到對(duì)復(fù)雜目標(biāo)進(jìn)行仿真時(shí)，使用FDTD方法需要借助亞網(wǎng)格或非均勻技術(shù)。

2、有限元法（FEM）

該方法是以變分法為基礎(chǔ)來(lái)對(duì)電磁問題進(jìn)行求解的，它的基本思想是先通過把計(jì)算空間進(jìn)行不規(guī)則劃分，將空間變?yōu)橛邢薅嗟木W(wǎng)格單元，然后借助插值函數(shù)和微分方程的思想將所劃分的空間網(wǎng)格單元作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)來(lái)運(yùn)算求解，便得到電磁問題的解。該方法劃分網(wǎng)格靈活，可以對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和環(huán)境進(jìn)行精確的仿真，應(yīng)用范圍較為廣泛，但當(dāng)涉及形狀復(fù)雜物體的電磁問題求解時(shí)，為了保證計(jì)算精度，使用有限元法必須要將空間網(wǎng)格劃分的足夠細(xì)，這樣會(huì)在模擬仿真時(shí)使得計(jì)算量和內(nèi)存占用率大大提升，花費(fèi)較多的仿真時(shí)間。另外，使用FEM只能對(duì)有限空間進(jìn)行求解，無(wú)法對(duì)無(wú)限空間求解。

3、矩量法（MoM）

該方法對(duì)電磁問題求解的基本思想是先通過基函數(shù)和測(cè)試函數(shù)將原本的積分方程變換成矩陣方程，然后使用共軛梯度法迭代求解。矩量法一般在高階或與其他方法混合的算法中得到應(yīng)用研究。

二、時(shí)域方法

1、時(shí)域有限元（FETD）方法

該方法對(duì)電磁問題求解時(shí)有兩種方式，一種基于矢量波動(dòng)方程，另一種是基于麥克斯韋方程組。在對(duì)電磁問題計(jì)算時(shí)，F(xiàn)ETD方法空間部分會(huì)采用與有限元相同的方式，而時(shí)間部分使用顯式或隱式進(jìn)行差分。因?yàn)樵趯?duì)空間部分計(jì)算時(shí)，F(xiàn)ETD算法采用了與FEM一樣的計(jì)算方法，因此其可以靈活選擇網(wǎng)格單元，仿真較為精確，但是遇到復(fù)雜形狀，不規(guī)則的網(wǎng)格也會(huì)使該算法分析困難。

2、時(shí)域積分（TDIE）方法

該算法是以時(shí)域積分方程為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算的，其空間部分進(jìn)行離散，采用的方式與矩量法一樣，時(shí)間部分使用顯式或隱式進(jìn)行差分。該方法其實(shí)可以看成是以矩量法為基礎(chǔ)。時(shí)域積分方法雖然具有在計(jì)算時(shí)所計(jì)算的空間小，無(wú)色散誤差，精度高等優(yōu)點(diǎn)，但也存在產(chǎn)生稀疏矩陣，不穩(wěn)定或計(jì)算效率低等問題。

3、邊界元法（BEM）

該方法同樣也是采用了有限元法的網(wǎng)格劃分思想，但它并不是對(duì)整個(gè)計(jì)算空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，而是只對(duì)計(jì)算空間的邊界進(jìn)行網(wǎng)格劃分，所以與FEM相比，該算法所處理的網(wǎng)格單元數(shù)量更少，計(jì)算效率更高。另外，邊界元法還可以對(duì)無(wú)限域進(jìn)行求解，目前研究人員已經(jīng)將BEM和FEM兩種算法進(jìn)行耦合，使兩者在數(shù)值仿真中能夠互補(bǔ)。

4、時(shí)域有限差分（FDTD）法

該算法是由K.S.YEE提出的，其在求解電磁問題時(shí)的基本思想是先將麥克斯韋方程組差分離散化，然后對(duì)離散化后的方程求解，最后用求得的解代替原本方程的解。時(shí)域有限差分算法憑借其計(jì)算效率高，計(jì)算時(shí)占用內(nèi)存少，并且可以進(jìn)行并行運(yùn)算等特點(diǎn)在許多領(lǐng)域中都得到應(yīng)用，而且該算法提出后不斷發(fā)展、完善，是目前最常用的電磁求解算法之一。但是傳統(tǒng)的FDTD算法會(huì)受到穩(wěn)定條件CFL的限制，在求解精細(xì)結(jié)構(gòu)時(shí)會(huì)需要大量的時(shí)間，所以近年來(lái)研究者們不斷在原本算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)、完善，得到新的FDTD算法來(lái)克服傳統(tǒng)算法所存在的問題?，F(xiàn)在常用的改進(jìn)的FDTD算法有交替方向隱式時(shí)域有限差分（ADI-FDTD）算法、CN近似耦合時(shí)域有限差分算法等等。

三、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于頻域算法而言，其只能處理單頻或窄帶問題，適用性較差。時(shí)域算法雖然可以彌補(bǔ)頻域算法的缺陷，但其會(huì)受到穩(wěn)定條件限制或存在計(jì)算精度不高的問題。所以當(dāng)對(duì)目標(biāo)電磁場(chǎng)問題進(jìn)行求解運(yùn)算時(shí)，要結(jié)合頻域和時(shí)域各種算法的優(yōu)缺點(diǎn)選擇合適的算法實(shí)現(xiàn)快速精確計(jì)算求解。

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