動(dòng)量、能量守恒之輕質(zhì)彈簧模型最大彈性勢(shì)能求解探討

羅展昌

摘 要：物理現(xiàn)象的背后是規(guī)律，而很多規(guī)律采用了數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描寫。在實(shí)際的物理問(wèn)題研究時(shí)，用數(shù)學(xué)公式表示的物理規(guī)律如果忽略約束條件的討論，很容易出現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算正確卻又與物理分析結(jié)果相矛盾的情況，這點(diǎn)在教學(xué)或解題過(guò)程中要特別注意。

關(guān)鍵詞：動(dòng)量守恒;能量守恒;物理分析法;數(shù)學(xué)分析法;均值不等式;柯西不等式

彈簧模型是利用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律解決問(wèn)題的經(jīng)典模型，其中彈性勢(shì)能極大值求解幾乎是一個(gè)必考問(wèn)題。對(duì)于極值問(wèn)題，通常有兩個(gè)解題思路，一個(gè)是物理分析法，解題思路為對(duì)物理過(guò)程準(zhǔn)確分析，找到極值條件，從而把極值問(wèn)題變?yōu)榉咸囟l件下的一個(gè)解;另一個(gè)方向是數(shù)學(xué)分析法，解題思路為寫出所求物理量的一般表達(dá)式，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)求解出極值并得到極值條件。兩種思路從結(jié)果上來(lái)看是殊途同歸的，但在實(shí)際處理過(guò)程中，數(shù)學(xué)分析法如果沒(méi)有找對(duì)“途”，則不能同歸，下面以輕彈簧模型最大彈性勢(shì)能求解為例進(jìn)行分析。

問(wèn)題模型：

如上圖，光滑水平地面上，A、B兩物體質(zhì)量分別為mA，mB，A物體以速度v0向右運(yùn)動(dòng)，B物體原來(lái)靜止，左端固接有一輕彈簧。求：輕彈簧被壓縮過(guò)程中的最大彈性勢(shì)能。

解題思路分析：

要討論彈性勢(shì)能Ep的最大值，一般可以從物理分析和數(shù)學(xué)分析兩個(gè)角度進(jìn)行分析，物理分析的角度關(guān)鍵是找到極值條件，數(shù)學(xué)分析的角度關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)規(guī)律找到極值，兩種不同的角度得到的結(jié)果應(yīng)該是一致的，是要殊途同歸的。實(shí)際處理過(guò)程，還是要領(lǐng)會(huì)殊途同歸的真正要義，避免出現(xiàn)殊途不能同歸的現(xiàn)象。

解題過(guò)程：

對(duì)A、B和彈簧組成的系統(tǒng)，彈簧壓縮過(guò)程的任意時(shí)刻遵循動(dòng)量守恒定律和能量守恒定理，滿足：

……………… ①

………… ②

一、從物理分析角度解題

在A壓縮彈簧過(guò)程，A在彈力的作用下做初速度為v0的減速運(yùn)動(dòng)，B在彈力的作用下作初速度為0的加速運(yùn)動(dòng)，只要A物體的運(yùn)動(dòng)速度還大于B物體運(yùn)動(dòng)速度，A相對(duì)于B均有追及靠近的效果，彈簧繼續(xù)壓縮，彈性勢(shì)能繼續(xù)增大，當(dāng)A、B兩物體的速度相同時(shí)，A、B間距離最小，彈簧壓縮量最大，此時(shí)彈性勢(shì)能最大，因此可以得到彈性勢(shì)能取最大值時(shí)的條件是：

vA=vB …………………………… ③

聯(lián)立①②③式解得：

……………………④，此即為彈性勢(shì)能最大值。

二、從數(shù)學(xué)分析角度解題，法一：

直接將②式變形可得：由變形式可知，當(dāng)A、B的動(dòng)能之和（）取最小值時(shí)，彈性勢(shì)能有最大值，聯(lián)想到數(shù)學(xué)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”，則，當(dāng)=時(shí)，即時(shí)，（）取得最小值，Ep取得最大值，將代入①式并聯(lián)立②式，可解得此時(shí)彈性勢(shì)能極大值為：

………………⑤

解題結(jié)果對(duì)比分析：

（一）比較④⑤兩式可知，物理分析法的彈性勢(shì)能最大值的條件和結(jié)果與數(shù)學(xué)均值不等式得到的條件和結(jié)果在一般形式下是不同的。其中，物理分析方法是教師教學(xué)的主要方法，也是學(xué)生能理解接受的方法，數(shù)學(xué)分析法利用均值不等值的方法求極值，論證過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題，但結(jié)果卻與物理分析方法得到的結(jié)果不一致。

（二）問(wèn)題原因：僅利用②式，采用均值不等式求解的結(jié)果僅僅是滿足②式條件下極小值，并非是同時(shí)滿足①、②式的極小值，前文已說(shuō)明①、②式是彈簧壓縮過(guò)程系統(tǒng)時(shí)刻應(yīng)滿足的規(guī)律，二者互相制約，同時(shí)成立。

（三）正確解法，法二：

由①式知，A、B系統(tǒng)滿足的動(dòng)量矢量和保持不變，進(jìn)行極值運(yùn)算時(shí)應(yīng)構(gòu)建能保持不變的不等式形態(tài)，考慮到②式中可以變形為聯(lián)想到柯西不等式，等號(hào)成立的條件是ad=bc（a/b=c/d），將進(jìn)一步變形為，令，，，，則上面的變形式中的

等號(hào)成立的條件是，即vA=vB。此時(shí)，彈性勢(shì)能的最大值表達(dá)式為

與物理分析方法求解的結(jié)果一致。上述論證過(guò)程成功的關(guān)鍵是滿足①式條件，即

（四）令④⑤式相等，可解得：mA=mB。說(shuō)明質(zhì)量相等的情況下，均值不等式求解的極值和柯西不等式求解的極值相同，但二者滿足的條件和論證方法有本質(zhì)上的不同。

反思提升：

數(shù)學(xué)公式是物理規(guī)律反映的工具，解決物理問(wèn)題時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)式表達(dá)的物理規(guī)律式要進(jìn)行全面準(zhǔn)確的分析，找對(duì)“途”才能正確體現(xiàn)物理分析法和數(shù)學(xué)分析法的一體兩面性，才能真正做到殊途同歸。

參考文獻(xiàn)

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