復(fù)合型遞推關(guān)系研究數(shù)列通項公式的解題策略

陳青

摘 要：數(shù)列不僅是高考和競賽的考察重點，也是高中數(shù)學(xué)的難點之一。細(xì)探最近幾年數(shù)列的高考真題，考察的側(cè)重點由單一知識型轉(zhuǎn)向復(fù)合綜合型，所以掌握復(fù)合型遞推關(guān)系求通項公式是解決數(shù)列這道大題的關(guān)鍵。本文給出了解決復(fù)合型遞推關(guān)系求通項公式的兩類解題方法：“待定系數(shù)法”和“構(gòu)造法”，以指數(shù)型遞推數(shù)列求通項公式為例，供同學(xué)們參考。

關(guān)鍵詞：待定系數(shù)法;構(gòu)造法;通項公式;解題策略

一、通項公式的地位

對于數(shù)列這道難題而言，解決的關(guān)鍵之處就是求出通項公式。因為只有在通項公式已知的基礎(chǔ)上，才可以解決數(shù)列中的很多綜合性問題，例如：數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，可以考察單調(diào)性、最值、不等式等;也可以求和，研究其前n項和的一些性質(zhì)，所以求出通項公式是解決數(shù)列題至關(guān)重要的一步。

二、復(fù)合型遞推關(guān)系的兩類解題策略：“待定系數(shù)法”和“構(gòu)造法”

在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)掌握了很多求數(shù)列通項的方法，比如：公式法、疊加法、疊乘法、倒數(shù)法等，這些方法非常適用于求解常見的簡單題型，但是很多時候無法求解復(fù)雜的復(fù)合型遞推關(guān)系。本文給出兩種解決復(fù)合型遞推關(guān)系研究數(shù)列通項公式的方法：“待定系數(shù)法”和“構(gòu)造法”。

（一）待定系數(shù)法

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，通項公式就相當(dāng)于函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法是求函數(shù)的解析式一類特別重要的方法，而這種方法同樣也特別適用于數(shù)列求通項公式。當(dāng)遞推關(guān)系的前后兩項滿足an+1=pan+f（n）型時，我們就可以利用待定系數(shù)法解決，處理方式是假設(shè)an+1+g（n+1）=p*（an+g（n））構(gòu)造新的等比數(shù)列，其中g(shù)（n）的形式與f（n）相同，利用與題干中的遞推關(guān)系系數(shù)對應(yīng)相等求出g（n）中的系數(shù)，進(jìn)而求出原數(shù)列的通項公式。

（二）構(gòu)造法

其實求解特殊的數(shù)列類型：等差和等比數(shù)列的通項公式時，公式法是最直接的方法，但是往往我們遇到的遞推關(guān)系并不能直接判斷是否為這兩種特殊的數(shù)列類型，但是我們可以利用“構(gòu)造法”構(gòu)造出新的等差數(shù)列或者等比數(shù)列。比如：數(shù)列前后兩項系數(shù)相同即形如an+1=an+f（n）型，可構(gòu)造“等差型數(shù)列”，同時再利用常見的“疊加法”“錯位相減法”即可。再比如：an+1=f（n）*an型，則可構(gòu)造：“等比型數(shù)列”結(jié)合“疊乘法”解決。

這兩種方法對于解決復(fù)合型遞推關(guān)系求通項公式非常有效，并且對于有些題型，這兩種方法同時適用。而有的題型可以通過構(gòu)造法的兩種方式解決，既可以構(gòu)造“等差型數(shù)列”，也可以構(gòu)造“等比型數(shù)列”解決，下面用兩種方法來解決具體例題。

三、典例精析

例1已知數(shù)列{an}中，，求an。

分析：因數(shù)列前后兩項系數(shù)相同，可構(gòu)造“等差型數(shù)列”利用“疊加法”與“錯位相減法”。

解由，利用“疊加法”得：

①

②

①和②錯位相減得：

③

上式除了前后兩項是一個等差乘以等比數(shù)列求和，利用錯位相減法易求，即，所以。

例2已知數(shù)列，a1=1，求an。

分析：該類型不僅可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造新的“等比型數(shù)列”直接求通項公式;也可以除以后一項系數(shù)的指數(shù)構(gòu)造“等差型數(shù)列”利用“疊加法”搭配“錯位相減法”解決。

解：方法1（待定系數(shù)法）令

整理后與原遞推關(guān)系比較可得，則數(shù)列是以39為首項，3為公比的等比數(shù)列，可得。

方法2（構(gòu)等差用疊加）遞推數(shù)列同除3n+1得：，滿足類型1中的“疊加法”可得：該等式右端的求和方法和例1的求法一樣，用兩次錯位相減法即可求出（此處略），可得，當(dāng)n=1時也滿足上式。

例3已知數(shù)列{an}滿足an+1=2n·an，a1=1，求an。

分析：通過構(gòu)造新的“等比型數(shù)列”利用“疊乘法”解決;或者兩邊取對數(shù)構(gòu)造新的“等差型數(shù)列”利用“疊加法”解決。

解：方法1（構(gòu)等比用疊乘）由題得，利用“疊乘法”可得：，即。

方法2（構(gòu)等差用疊加）由an+1=2n·an兩邊取對數(shù)得：，該形式滿足例1的形式，利用“疊加法”可得：，所以。

2019年版《中國高考評價體系》在“四層”的關(guān)鍵能力中提出思維認(rèn)知能力，要求通過素質(zhì)教育的培養(yǎng)，思維認(rèn)知能力強的學(xué)生能夠多角度觀察、思考同一個問題;能夠靈活地、創(chuàng)造性地運用不同方法解決問題。而通過這兩種方法的學(xué)習(xí)，不僅可以解決數(shù)列求通項公式的難點，亦可鍛煉學(xué)生的思維認(rèn)知能力。

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