基于Mindlin 理論新型杯形復(fù)合超聲變幅桿的設(shè)計(jì)與研究

朱佳，袁金霖，高雨婷，張寧寧

(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，陜西渭南，714099）

0 引言

超聲輔助加工已被廣泛應(yīng)用于高性能合金、復(fù)合材料、硬脆材料等難加工材料的高效精密加工[1]。超聲振動(dòng)系統(tǒng)的核心組成部分是超聲變幅桿，因此對(duì)超聲變幅桿的設(shè)計(jì)和研究至關(guān)重要。在變幅桿設(shè)計(jì)時(shí)當(dāng)加工工具質(zhì)量較大，應(yīng)對(duì)超聲變幅桿和工具桿進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)[2]。杯型工具的尺寸和質(zhì)量較大，其固有振動(dòng)頻率、振動(dòng)模態(tài)等很難滿足超聲加工要求，需把杯型工具看作是超聲振動(dòng)系統(tǒng)的非諧振動(dòng)單元進(jìn)行整體設(shè)計(jì)[3-7]。文獻(xiàn)[8]對(duì)超聲珩磨聲學(xué)系統(tǒng)中圓盤(pán)的進(jìn)行研究分析。文獻(xiàn)[9]研究了用于超聲焊接的超聲變幅桿和類杯型工具的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[10-12]對(duì)超聲變幅桿與薄圓盤(pán)基底的杯型工具進(jìn)行設(shè)計(jì)研究。以上文獻(xiàn)所設(shè)計(jì)的都是單一變幅桿與薄圓盤(pán)、杯型工具組成的振動(dòng)系統(tǒng)。特別在高頻大功率聲輻射條件下，薄盤(pán)的機(jī)械強(qiáng)度不能滿足要求，而Mindlin厚板理論不僅兼容薄板理論且計(jì)算精度更高。本文基于Mindlin 中厚板彎曲振動(dòng)理論和耦合振動(dòng)理論，設(shè)計(jì)了一種由三段復(fù)合變幅桿、中厚圓盤(pán)、大尺寸圓筒組成的新型杯形工具復(fù)合變幅桿。對(duì)所設(shè)計(jì)的變幅桿進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和有限元分析，研究了各幾何參量對(duì)杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率的影響，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行測(cè)試，研究結(jié)果可為超聲輔助加工技術(shù)特別是硬脆材料曲面高精度加工提供了一種新型超聲變幅桿。

1 新型杯形工具復(fù)合變幅桿的理論設(shè)計(jì)

新型杯形工具復(fù)合變幅桿是由三段復(fù)合變幅桿、中厚圓板、大尺寸圓筒三部分組成，其數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)如圖1 所示。主要分為三部分：第一部分為三段圓錐形復(fù)合變幅桿，第一段半徑為 R1，長(zhǎng)度為l1，第二段圓錐形桿長(zhǎng)度為l2，第三段半徑為R2；第二部分為厚圓板，半徑為b，厚度為e；第三部分為大尺寸圓管，內(nèi)半徑為a，長(zhǎng)度為h。

1.1 厚圓盤(pán)的Mindlin 彎曲振動(dòng)理論設(shè)計(jì)

在實(shí)際應(yīng)用中常常用到厚徑比大于0.2 小于0.5的中厚板，Mindlin 厚板理論更為精確。簡(jiǎn)支邊界條件下彎曲振動(dòng)厚圓盤(pán)的彎矩和橫向剪切力都為 0，可得共振頻率方程為[13]：

式中H=Eh3/12(1?ν2),k2=π/12.ρ,ω,H分別為圓環(huán)板的密度、角頻率、彎曲剛度常數(shù)，G 為剪切模量，,R S 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和橫向剪切變形的影響，ν 為泊松比。

1.2 大尺寸圓筒耦合理論設(shè)計(jì)

當(dāng)大尺寸圓筒縱向振動(dòng)時(shí)，由于泊松效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生徑向振動(dòng)，是一個(gè)復(fù)雜的三維縱徑耦合振動(dòng)，解析解很難得到。為簡(jiǎn)化分析，引入等效彈性常數(shù)和等效機(jī)械耦合系數(shù)將其振動(dòng)等效成縱向和徑向振動(dòng)。在忽略剪切力和應(yīng)變的基礎(chǔ)上根據(jù)圓筒的邊界條件可得其縱徑耦合振動(dòng)頻率方程［14］：

式中kr和kz分別為等效徑向和等效縱向波數(shù)，n 為等效機(jī)械耦合系數(shù)，a、b 分別為圓筒內(nèi)徑和外徑，J0(kra),J1(kra),Y0(kra),Y Y1(kra)都是貝塞爾函數(shù)。圓筒縱徑耦合振動(dòng)的材料參數(shù)、幾何參數(shù)、諧振頻率之間的相互關(guān)系由式(2)和式(4)決定。

1.3 圓錐復(fù)合變幅桿理論設(shè)計(jì)

前后兩段等長(zhǎng)的圓錐復(fù)合變幅桿振動(dòng)性能較好。通過(guò)傳輸矩陣法便可求得圓錐復(fù)合變幅桿頻率方程為[15]：

式中：l1=l3為三段復(fù)合變幅桿大小段的長(zhǎng)度；l2為過(guò)渡段長(zhǎng)度;圓錐段截面變化系數(shù)

2 新型杯形復(fù)合超聲變幅桿有限元分析

2.1 厚圓盤(pán)尺寸確定

設(shè)定厚圓盤(pán)厚度e=16mm,f=30kHz，（1））式得在該頻率下產(chǎn)生二階彎曲振動(dòng)的半徑R=42mm。對(duì)所求的厚圓盤(pán)進(jìn)行有限元仿真，可得其諧振頻率為27.876 kHz，如圖2(a)。減小厚圓盤(pán)半徑以增大頻率，使其與所設(shè)計(jì)頻率趨于一致，修正后可得薄圓盤(pán)半徑R=40mm，諧振頻率為29.77kHz，結(jié)果如圖2(b)所示。

圖2 厚圓盤(pán)諧振頻率位移分布圖

2.2 杯形工具尺寸確定

設(shè)定壁高h(yuǎn)=24mm，根據(jù)式(2 和式(3)，可求得圓筒的耦合振動(dòng)頻率為 26.812kHz，與設(shè)計(jì)頻率相差較大。調(diào)整圓盤(pán)半徑使其與設(shè)計(jì)頻率一致，經(jīng)有限元分析可知當(dāng)R=38.5mm 時(shí)大尺寸圓筒與厚圓盤(pán)耦合的杯形頭其諧振頻率為29.463 kHz，如圖3 所示。

2.3 圓錐復(fù)合變幅桿的尺寸確定

由于所設(shè)計(jì)系統(tǒng)工作頻率為30kHz，取D1=54mm;為提高杯形工具頭的振動(dòng)效果，需增大變幅桿輸出與杯形工具頭的接觸面積取D2=27mm。設(shè)定l1=30mm，l3=30mm，將以上參數(shù)帶入式(4)用MATLAB 計(jì)算可得l2=40mm。有限元仿真可得變幅桿縱向諧振頻率為29.724kHz，如圖4 所示。變幅桿的仿真頻率與理論計(jì)算基本一致，不再進(jìn)一步修正。

2.4 新型杯形工具復(fù)合變幅桿的尺寸確定

對(duì)杯形頭與三段復(fù)合變幅桿組成的復(fù)合變幅桿進(jìn)行有限元分析，其中材料均用45#鋼，模態(tài)分析結(jié)果如圖5。

圖5 杯形工具復(fù)合變幅桿系統(tǒng)諧振位移分布圖

由圖5 可知，杯形頭與三段變幅桿組成的復(fù)合變幅桿諧振頻率為30.346kHz，與設(shè)計(jì)頻率30kHz 相差346Hz，需進(jìn)一步修正。調(diào)整杯形頭的底厚使其頻率于設(shè)計(jì)頻率一致，修正后杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率為30.044kHz，滿足設(shè)計(jì)要求。通過(guò)有限元軟件的后處理功能進(jìn)行路徑定義、映射，提取相對(duì)位移，結(jié)果如圖6 和圖7 所示，可得縱向振動(dòng)是徑向振動(dòng)約3 倍表明杯型頭以縱向振動(dòng)為主的縱徑耦合振動(dòng)形式。通過(guò)以上分析新型杯形工具復(fù)合變幅桿各部分尺寸的最終參數(shù)，如表1 所示。

表1 新型杯形工具復(fù)合變幅桿各部分具體尺寸參數(shù)

2.5 諧響應(yīng)分析

為了進(jìn)一步研究新型杯形工具復(fù)合變幅桿的動(dòng)力學(xué)特性，在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行諧響應(yīng)分析，求解計(jì)算得到新型杯型工具的位移-頻率響應(yīng)曲線如圖8 所示，由圖8 可知杯型工具右端面的位移振幅為 8.711um，則新型復(fù)合變幅桿的振幅放大系數(shù)Mp≈1.45，這表明經(jīng)過(guò)杯形頭振幅進(jìn)一步放大。

圖8 新型杯形工具復(fù)合變幅桿位移—頻率響應(yīng)曲線圖

3 新型杯形復(fù)合超聲變幅桿頻率特性研究

用有限元仿真從變幅桿各段長(zhǎng)度以及杯形頭壁高、底厚、內(nèi)徑來(lái)研究各幾何形狀參數(shù)對(duì)杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率的影響規(guī)律。

3.1 杯形頭壁高 h、杯厚e 及內(nèi)徑 a 對(duì)杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率的影響

由表2 可知，在杯底厚、內(nèi)徑不變的情況下，隨著杯壁高由 24 mm 增大到30 mm的增加，杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率的仿真值逐漸降低，但誤差較小均在5%以內(nèi)。其他條件不變時(shí)，諧振頻率隨著內(nèi)徑的增大而降低；諧振頻率隨著底厚的增加而增加。

表2 新型杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率隨杯高、杯厚和內(nèi)徑變化

3.2 三段復(fù)合變幅桿各段長(zhǎng)度對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)頻率的影響

由表3 可知，在底厚、壁高以及半徑不變的條件下，杯形工具復(fù)合變幅桿的諧振頻率隨著變幅桿各段的增大而降低，對(duì)比可看出變幅桿各段長(zhǎng)度對(duì)系統(tǒng)諧振頻率的影響為：l3>l2>l1.

表3 新型杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率隨變幅桿各段長(zhǎng)度變化

4 實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證以上結(jié)論，按所設(shè)計(jì)的尺寸加工新型杯形工具復(fù)合變幅桿并進(jìn)行阻抗特性分析。由圖9 可知，實(shí)測(cè)諧振頻率在29.828kHz 附近與ANSYS 模態(tài)分析結(jié)果基本吻合，且導(dǎo)納圓圓度較好，電導(dǎo)曲線正常，表明以上所設(shè)計(jì)的變幅桿結(jié)構(gòu)合理、振動(dòng)效果良好。

5 結(jié)論

（1）基于Mindlin 厚板彎曲振動(dòng)理論、耦合振動(dòng)理論和變幅桿縱振設(shè)計(jì)理論，結(jié)合有限元分析法，設(shè)計(jì)了工作頻率為30 kHz的新型超聲杯形工具復(fù)合變幅桿。（2）利用有限元軟件仿真分析了新型超聲杯形工具復(fù)合變幅桿各幾何參數(shù)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)諧振頻率的影響，結(jié)果表明當(dāng)杯形頭的壁高、內(nèi)徑減小時(shí)，變幅桿的仿真頻率隨之增加;當(dāng)減小其底厚時(shí)，變幅桿仿真頻率隨之降低；隨著變幅桿各段的增大而降低且各段影響程度不同l3>l2>l1.，其結(jié)果可作為新型變幅桿頻率調(diào)節(jié)的理論參考和依據(jù)。（3）有限元仿真結(jié)果可知杯形頭表現(xiàn)為以縱向振動(dòng)為主的縱徑耦合振動(dòng)形式。對(duì)所設(shè)計(jì)的新型超聲杯形工具復(fù)合變幅桿進(jìn)行阻抗分析試驗(yàn)，結(jié)果表明振動(dòng)系統(tǒng)諧振頻率與仿真結(jié)果誤差較小，說(shuō)明所設(shè)計(jì)的變幅桿結(jié)構(gòu)合理，可應(yīng)用統(tǒng)一超聲輔助加工技術(shù)特別是硬脆材料曲面高精度加工。