基于變繩長(zhǎng)雙擺模型的抓斗門座起重機(jī)吊重?cái)[動(dòng)控制研究

李威濤 郭建生

武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院 武漢 430063

0 引言

目前，對(duì)于門座起重機(jī)吊重?cái)[動(dòng)的研究主要集中在單擺問題上，且研究中往往忽略掉繩長(zhǎng)的變化，Vaughan[1]考慮塔式起重機(jī)的雙擺特性，當(dāng)起重機(jī)起升到一定高度時(shí)，可能會(huì)引入高階的振蕩模式，因此設(shè)計(jì)了一種對(duì)系統(tǒng)固有頻率變化不敏感的輸入整形器，可以有效應(yīng)對(duì)一定繩長(zhǎng)變化范圍內(nèi)的振蕩。張曉華等[2]設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)EI輸入整形器，當(dāng)起重機(jī)做回轉(zhuǎn)與起升復(fù)合運(yùn)動(dòng)時(shí)也能一定程度上控制吊重?cái)[動(dòng)，但控制效果一般。當(dāng)?shù)蹙叽笮〔豢珊雎砸约颁摻z繩長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，傳統(tǒng)的單模態(tài)輸入整形器很難對(duì)吊重?cái)[角進(jìn)行有效的控制。本文以抓斗門座起重機(jī)吊重?cái)[動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮抓斗擺動(dòng)和繩長(zhǎng)變化，研究基于變繩長(zhǎng)雙擺模型吊重?cái)[動(dòng)控制的輸入整形技術(shù)研究。

1 吊重變繩長(zhǎng)雙擺動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，通過在立體空間建立直角坐標(biāo)系O-XYZ，得到了起重機(jī)吊重變繩長(zhǎng)雙擺系統(tǒng)的物理模型。將坐標(biāo)系原點(diǎn)O定為起重機(jī)的吊重懸掛點(diǎn)所處的水平面和回轉(zhuǎn)過程中心線的交點(diǎn)，假定平面XOY為水平面，M點(diǎn)為抓斗質(zhì)心，其質(zhì)量為m，E點(diǎn)為抓斗懸掛點(diǎn)；OE為起重機(jī)作變幅運(yùn)動(dòng)時(shí)懸掛點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，懸掛點(diǎn)在OE方向的位移為s；起重機(jī)作起升運(yùn)動(dòng)時(shí)，抓斗在EF方向上運(yùn)動(dòng)，鋼絲繩EF的長(zhǎng)度為l；鋼絲繩下節(jié)點(diǎn)距離抓斗質(zhì)心距離為r；起重機(jī)作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，Y坐標(biāo)軸與直線OE的夾角大小為α，鋼絲繩EF在平面ZOE上的投影EB與豎直方向直線EA的夾角大小為θ1，鋼絲繩EF與其在平面ZOE上的投影EB的夾角大小為θ2，抓斗中心線FG在平面ZOE上的投影FD與豎直方向直線FC的夾角大小為θ3，抓斗中心線FG與其在平面ZOE上的投影FD夾角大小為θ4。抓斗繞變幅方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，繞回轉(zhuǎn)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2。吊重?cái)[動(dòng)系統(tǒng)物理模型示意圖如圖1所示。

圖1 吊重變繩長(zhǎng)雙擺系統(tǒng)物理模型示意圖

根據(jù)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)出吊重變繩長(zhǎng)雙擺動(dòng)力學(xué)微分方程為

計(jì)算得系統(tǒng)前四階固有頻率為

可知系統(tǒng)固有頻率與繩長(zhǎng)有關(guān)。

式中：ω1為系統(tǒng)第一階固有頻率，ω2為系統(tǒng)第二階固有頻率，ω3為系統(tǒng)第三階固有頻率，ω4為系統(tǒng)第四階固有頻率。

ω1、ω2、ω3、ω4按數(shù)值從小到大排列，其中前 2階固有頻率主要引起鋼絲繩的擺動(dòng)，后2階固有頻率主要引起抓斗的擺動(dòng)。

計(jì)算得系統(tǒng)前4階阻尼比為

可知系統(tǒng)阻尼比與繩長(zhǎng)和起升速度均有關(guān)。

2 基于雙模態(tài)模型的改進(jìn)ZV整形器設(shè)計(jì)

2.1 雙模態(tài)輸入整形器設(shè)計(jì)方法

考慮抓斗尺寸較大，繞質(zhì)心擺動(dòng)不能忽略，存在二階振動(dòng)模態(tài)。當(dāng)需要同時(shí)抑制鋼絲繩和抓斗的擺動(dòng)時(shí)，單模態(tài)輸入整形器已經(jīng)無(wú)法起到良好的控制效果，此時(shí)需要設(shè)計(jì)雙模態(tài)輸入整形器對(duì)鋼絲繩及抓斗擺動(dòng)同時(shí)進(jìn)行控制。包艷等[3]提出了雙模態(tài)輸入整形器的2種設(shè)計(jì)方法：聯(lián)立方程法和卷積法。卷積法設(shè)計(jì)相對(duì)簡(jiǎn)單且可以更好地抑制高模態(tài)振動(dòng)，故本文采用卷積法設(shè)計(jì)雙模態(tài)輸入整形器。卷積法的基本原理是首先針對(duì)每個(gè)振動(dòng)模態(tài)設(shè)計(jì)相應(yīng)的單模態(tài)輸入整形器，最后將2個(gè)單模態(tài)輸入整形器進(jìn)行卷積運(yùn)算得到雙模態(tài)輸入整形器。針對(duì)本文所示的抓斗門座起重機(jī)，就需要分別設(shè)計(jì)抑制鋼絲繩擺動(dòng)及抓斗擺動(dòng)的單模態(tài)輸入整形器，為提高起重機(jī)的運(yùn)行效率，本文使用單模態(tài)ZV輸入整形器為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)雙模態(tài)ZV輸入整形器。

2.2 回轉(zhuǎn)與起升工況輸入整形器設(shè)計(jì)

抓斗門座起重機(jī)回轉(zhuǎn)與起升復(fù)合運(yùn)動(dòng)時(shí)，主要引起鋼絲繩擺角θ2以及抓斗擺角θ4的擺動(dòng)，由于離心作用，同時(shí)也會(huì)引起鋼絲繩擺角θ1和抓斗擺角θ3的擺動(dòng)，此次設(shè)計(jì)考慮使用輸入整形方法控制θ2及θ4的擺動(dòng)，即系統(tǒng)第一階和第三階的振動(dòng)。第一階模態(tài)的ZV輸入整形器頻域形式表達(dá)式為

第三階模態(tài)的ZV輸入整形器頻域形式表達(dá)式為

將第一階模態(tài)的ZV輸入整形器與第三階的ZV輸入整形器進(jìn)行卷積運(yùn)算得到雙模態(tài)ZV輸入整形器頻域表達(dá)式為

2.3 改進(jìn)的雙模態(tài)ZV輸入整形器控制算法

傳統(tǒng)的雙模態(tài)ZV輸入整形器可以很好地抑制抓斗門座起重機(jī)定繩長(zhǎng)工況下鋼絲繩和抓斗的殘余擺角，但本文的抓斗門座起重機(jī)復(fù)合工況中存在起升運(yùn)動(dòng)，造成繩長(zhǎng)l和起升速度i均隨時(shí)間發(fā)生變化，造成吊重變繩長(zhǎng)雙擺系統(tǒng)的固有頻率ωn和阻尼比ξ也會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生變化。此時(shí)傳統(tǒng)的雙模態(tài)ZV輸入整形器已經(jīng)無(wú)法有效地控制鋼絲繩及抓斗的擺動(dòng)，文獻(xiàn)[4]提出一種等步長(zhǎng)搜索算法得到吊重變繩長(zhǎng)系統(tǒng)的等效固有頻率ωnd和等效阻尼比，但這種算法時(shí)間復(fù)雜度很高。這里提出了一種快速搜索等效繩長(zhǎng)l及等效起升速度的改進(jìn)等步長(zhǎng)算法，從而快速得到等效固有頻率ωnd和等效阻尼比，從而設(shè)計(jì)了基于雙模態(tài)模型的改進(jìn)ZV輸入整形器。

在門座起重機(jī)實(shí)際的工作過程中，假設(shè)鋼絲繩最長(zhǎng)為lmax，最短為lmin，起升速度最大為，最小為0，可采用兩次等步長(zhǎng)的搜索方法求出鋼絲繩的等效繩長(zhǎng)l0，采用一次等步長(zhǎng)法分別求出等效起升速度，以進(jìn)行改進(jìn)雙模態(tài)ZV輸入整形器的設(shè)計(jì)，具體過程為

1) 將繩長(zhǎng)[lmin，lmax]等間距取11個(gè)繩長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)，設(shè)長(zhǎng)度分別為l1、l2、…、l11，將起升速度等間距取5個(gè)起升速度節(jié)點(diǎn)，設(shè)起升速度分別為

2) 取繩長(zhǎng)為l1，取起升速度為由式(5)、式(6)得到系統(tǒng)的固有頻率ωn和阻尼比ξ，根據(jù)式(9)進(jìn)行回轉(zhuǎn)與起升工況雙模態(tài)ZV輸入整形器參數(shù)的設(shè)計(jì)；

3) 由式 (1)～ (4)分別對(duì) θ1、θ2、θ3、θ4求解，可以得到鋼絲繩殘余擺角θ1與θ2，抓斗殘余擺角θ3與θ4數(shù)量和的最大值，設(shè)為 θmax1、 θmax2、…、θmax5；

4) 取繩長(zhǎng)分別為l2、l3、…、l11，重復(fù)進(jìn)行步驟(2)和 (3)，分別得到 θmax6、θmax7、…、θmax55，比較 θmax1、θmax2、…、θmax55的大小，取出其中最小值，得到與之對(duì)應(yīng)的繩長(zhǎng)l0和等效起升速度；

5) 找到步驟(4)中l(wèi)0，減1得到lmin，下標(biāo)加1得到lmax（若l0為10則lmin取10，若l0為20則lmax取20），再依次進(jìn)行步驟2)、步驟3)、步驟4)，在進(jìn)行步驟2)時(shí)起升速度取第一次迭代計(jì)算得到的等效起升速度，即可得到最終的等效繩長(zhǎng)l0，根據(jù)l0、可以求出等效頻率ωnd和等效阻尼比。

搜索鋼絲繩的等效繩長(zhǎng)的過程中用到了迭代算法，通過2次等步長(zhǎng)法提高了搜索效率，可以快速地得到等效繩長(zhǎng)。由于起升速度本身變化范圍不大，考慮到降低算法的時(shí)間復(fù)雜度，搜索等效起升速度只采用了1次等步長(zhǎng)法。

3 吊重?cái)[動(dòng)控制數(shù)值研究

為了求得控制吊重?cái)[角的最優(yōu)參數(shù)，本章同時(shí)搜索了相同工況下的基于單模態(tài)模型的等效繩長(zhǎng)ld0和等效起升速度，單模態(tài)模型指的是將抓斗考慮為質(zhì)點(diǎn)建立動(dòng)力學(xué)模型，并求出系統(tǒng)的第一階固有頻率（控制鋼絲繩擺動(dòng)）和阻尼比，由此設(shè)計(jì)單模態(tài)ZV輸入整形器，通過單模態(tài)輸入整形器來控制前文所述建立的吊重變繩長(zhǎng)雙擺模型的鋼絲繩及抓斗擺動(dòng)，通過與前文所述類似的搜索算法求得變繩長(zhǎng)工況下的等效繩長(zhǎng)ld0和等效起升速度，由于算法原理類似，不再贅述。

選取型號(hào)為MQ2533某四連桿抓斗門座起重機(jī)的實(shí)際參數(shù)為基礎(chǔ)，選取起重機(jī)擺動(dòng)仿真參數(shù)，門座起重機(jī)的鋼絲繩擺角θ1和θ2以及抓斗擺角θ3和θ4與起重機(jī)的運(yùn)動(dòng)相互耦合，回轉(zhuǎn)和起升運(yùn)動(dòng)都可以對(duì)擺角大小產(chǎn)生較大影響，為了讓門座起重機(jī)的吊重?cái)[動(dòng)控制更具有工程應(yīng)用價(jià)值，參考MQ2533門座起重機(jī)實(shí)際工作情況，取鋼絲繩的初始長(zhǎng)度為20 m，鋼絲繩長(zhǎng)度變化為20 ～10 m，即起升高度為10 m；門座起重機(jī)的初始回轉(zhuǎn)角度定為0°，回轉(zhuǎn)范圍為0°～90°。

以定繩長(zhǎng)l1、l2、…、l11和定起升速度分別組合進(jìn)行雙模態(tài)ZV輸入整形器的設(shè)計(jì)，通過四階龍格庫(kù)塔對(duì)方法鋼絲繩及抓斗擺角進(jìn)行數(shù)值求解，第一次搜索時(shí)最大殘余擺角和與計(jì)算繩長(zhǎng)與起升速度的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 最大殘余擺角和值與計(jì)算繩長(zhǎng)、起升速度曲線

圖3 第二次搜索最大殘余擺角和值與計(jì)算繩長(zhǎng)的關(guān)系曲線

由圖3可以明顯看出，當(dāng)以繩長(zhǎng)l=10.1 m為進(jìn)行雙模態(tài)ZV輸入整形器設(shè)計(jì)時(shí)，得到的最大殘余擺角和最小，此時(shí)最大殘余擺角和為3.047°，可得抓斗門座起重機(jī)回轉(zhuǎn)與起升復(fù)合運(yùn)動(dòng)工況下等效繩長(zhǎng)l0為10.1 m，等效起升速度為0.622 5 m/s。

基于單模態(tài)模型的等效繩長(zhǎng)ld0為13.2 m，等效起升速度為0.415 m/s。

采用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)吊重變繩長(zhǎng)雙擺系統(tǒng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，可以得到未經(jīng)過整形、經(jīng)過基于單模態(tài)模型的改進(jìn)ZV輸入整形的、經(jīng)過基于雙模態(tài)模型的改進(jìn)ZV輸入整形后的擺角θ1、θ2、θ3、θ4曲線對(duì)比圖，如圖4所示。

圖4 鋼絲繩及抓斗擺角曲線對(duì)比圖

輸入整形前后抓斗門座起重機(jī)回轉(zhuǎn)與起升運(yùn)動(dòng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)吊重的最大殘余擺角如表1所示。

表1 回轉(zhuǎn)與起升復(fù)合運(yùn)動(dòng)吊重最大殘余擺角值 (°)

4 結(jié)論

1) 對(duì)門座起重機(jī)的工作機(jī)構(gòu)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化處理，并做出了部分假設(shè)，在此基礎(chǔ)上考慮繩長(zhǎng)變化、抓斗擺動(dòng)建立了門座起重機(jī)吊重變繩長(zhǎng)雙擺動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)拉格朗日分析力學(xué)的方法推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)微分方程。

2) 介紹了雙模態(tài)ZV輸入整形器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了抓斗門座起重機(jī)回轉(zhuǎn)與起升復(fù)合運(yùn)動(dòng)工況下雙模態(tài)ZV輸入整形器；為了對(duì)變繩長(zhǎng)模型的門座起重機(jī)進(jìn)行吊重雙擺擺動(dòng)控制，基于雙模態(tài)ZV輸入整形原理提出了一種基于雙模態(tài)模型的改進(jìn)ZV輸入整形器控制算法，其基本原理是采用兩次等步長(zhǎng)的搜索方法快速求出吊重?cái)[動(dòng)系統(tǒng)的等效繩長(zhǎng)，一次等步長(zhǎng)方法求出等效起升速度，從而得到等效固有頻率和等效阻尼比。

3) 根據(jù)門座起重機(jī)實(shí)際運(yùn)動(dòng)工況確定了起重機(jī)回轉(zhuǎn)和起升運(yùn)動(dòng)時(shí)的仿真參數(shù)；在Matlab中編寫了相應(yīng)的數(shù)值仿真程序，對(duì)門座起重機(jī)回轉(zhuǎn)與起升復(fù)合運(yùn)動(dòng)工況進(jìn)行了吊重?cái)[動(dòng)控制數(shù)值仿真分析，綜合比較未整形、基于單模態(tài)模型的改進(jìn)ZV輸入整形和基于雙模態(tài)模型的改進(jìn)ZV的3種模型的鋼絲繩及抓斗擺角。仿真結(jié)果表明，基于雙模態(tài)模型的改進(jìn)ZV輸入整形技術(shù)能有效地減少鋼絲繩及抓斗殘余擺角，而且控制相對(duì)基于單模態(tài)模型的改進(jìn)ZV輸入整形技術(shù)有較大提高。