繪制科赫曲線的程序設(shè)計(jì)

朱 勤 朱巍峰

（蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215104）

1 科赫曲線介紹

在自然界中存在著很多自相似的結(jié)構(gòu)，按照一定的比例放大或者縮小它的幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生變化。對(duì)這些幾何結(jié)構(gòu)的研究成為分形幾何學(xué)?？坪涨€就是一種典型的分形幾何。

先對(duì)科赫曲線做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。給定一條水平線段（圖1左）。將它分成三等份，以中間的線段為底邊，向上畫一個(gè)等邊三角形。最后再把中間的線段移除，我們就得到了一個(gè)一階的科赫曲線（如圖1 右）。

如果在一階科赫曲線上的每一個(gè)線段再做一次上述的操作，我們可以獲得二階的科赫曲線（圖2 左）。以此類推，我們可以得到三階的科赫曲線（圖2 右）。這樣的操作理論上可以進(jìn)行無(wú)窮多次。結(jié)合圖1，可以看出，高階的科赫曲線的水平寬度始終是和圖1 左的直線相同，所以我們也可以認(rèn)為圖1 左是一個(gè)零階的科赫曲線。

圖1 一階科赫曲線

圖2 二階和三階科赫曲線

這種曲線最早是海里格·馮·科赫提出的，所以被命名為科赫曲線。由于他的高階曲線和雪花的形狀很相似，所以也被成為雪花曲線。這種曲線的特點(diǎn)是具有自相似性。很容易可以看出這個(gè)曲線的局部和整體的結(jié)構(gòu)是相同的。

2 繪制工具介紹

在本論文中使用了Python3 語(yǔ)言進(jìn)行編程。這種語(yǔ)言發(fā)展至今已經(jīng)有了一個(gè)龐大的計(jì)算生態(tài)，除了本身的開源優(yōu)勢(shì)以外，十四萬(wàn)以上的第三方庫(kù)更是為它提供了無(wú)數(shù)的可能。

Python3的編程環(huán)境有很多，除了Python3 軟件自帶的集成開發(fā)環(huán)境（IDLE）以外，還有Anaconda 和PyCharm 等軟件。不同的軟件只要安裝了相同的庫(kù)都能實(shí)現(xiàn)相同的功能。筆者的編程環(huán)境使用的是Anaconda。

在python3 中要實(shí)現(xiàn)繪圖功能，需要導(dǎo)入相對(duì)應(yīng)的庫(kù)?？梢赃x擇的功能庫(kù)有很多，比如turtle 庫(kù)、tkinter 庫(kù)、matplotlib 庫(kù)、seaborn 庫(kù)等。本論文中的科赫曲線只是一個(gè)簡(jiǎn)單的二維圖像，使用turtle 庫(kù)就能夠勝任了。

Turtle 是海龜?shù)囊馑?，所以也被稱為“海龜庫(kù)”，我們可以想象有一只小海龜，在畫板上爬行，它的爬行軌跡就是畫板上繪制的圖像。這只海龜就是我們的畫筆，只要通過(guò)一系列的指令去命令這只小海龜運(yùn)動(dòng)，就可以得到我們想要的圖像。常用的“海龜庫(kù)”指令可以控制運(yùn)行方向，移動(dòng)距離，旋轉(zhuǎn)角度，畫筆顏色，畫筆寬度等參數(shù)。使用“海龜庫(kù)”來(lái)繪制科赫曲線是一件非常簡(jiǎn)單而且有趣的事情。

3 程序設(shè)計(jì)

3.1 程序源代碼

看上去有點(diǎn)復(fù)雜的科赫曲線要用程序來(lái)繪制，會(huì)不會(huì)很復(fù)雜呢？下面給出了繪制科赫曲線的源代碼和部分注釋。

3.2 程序分析

3.2.1 turtle 庫(kù)導(dǎo)入

程序中第一行“import turtle as t”的作用是將turtle 庫(kù)導(dǎo)入到程序中，這樣在程序里面才可以使用turtle 庫(kù)中的相關(guān)指令。為了方便寫代碼，將它的庫(kù)名重命名為t。在下面的程序中以“t.”開頭的指令，都是turtle 庫(kù)中封裝好的功能。編代碼時(shí)只根據(jù)需要調(diào)用相關(guān)函數(shù)，設(shè)定相關(guān)參數(shù)就可以了。

3.2.2 科赫曲線繪制函數(shù)

“def DrawKoch(lenght,n):”自定義了一個(gè)功能函數(shù)，用來(lái)繪制科赫曲線，調(diào)用它時(shí)需要設(shè)定兩個(gè)參數(shù)，其中l(wèi)ength 設(shè)置的是繪制曲線的長(zhǎng)度（參考圖1 左，直線的長(zhǎng)度），它的單位是像素，數(shù)值大小決定了整個(gè)圖形的尺寸。另一個(gè)參數(shù)n 設(shè)置的是科赫曲線的階數(shù)，以圖1 和圖2 為例，圖1 左的n 值為0，圖1 右的n值為1。圖2 左的n 值為2，圖2 右的n 值為3。

這個(gè)函數(shù)是本程序的核心。短短的7行代碼，就能夠?qū)崿F(xiàn)繪制科赫曲線。修改參數(shù)length 就可以改變曲線的大小，修改參數(shù)n 就可以改變繪制曲線的階數(shù)。我們先假設(shè)length 為300 像素。然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析。

函數(shù)中的第一層是一個(gè)if 和else的分支結(jié)構(gòu)。判斷條件是參數(shù)n。當(dāng)n 為0 時(shí)，執(zhí)行“t.fd(lenght)”其中“t.fd”的功能是讓“海龜”向前移動(dòng)，參數(shù)length 是移動(dòng)的距離，之前我們已經(jīng)假設(shè)為300 像素。很顯然，當(dāng)n 為0 時(shí)繪制出來(lái)的是一個(gè)零階曲線，如圖1 左所示是一條300 像素長(zhǎng)的直線。

當(dāng)我們要畫一階科赫曲線時(shí)，將參數(shù)n 設(shè)為1。那么第一層if 和else 分支結(jié)構(gòu)的條件不成立，進(jìn)入else 分支。這個(gè)分支中是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。用一個(gè)angle 變量去遍歷四個(gè)角度值。具體來(lái)說(shuō)就是這個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)要執(zhí)行四次，第1 次，angle 為0，第2 次angle 為60，第3 次angle 為-120，第4 次angle 為60。循環(huán)結(jié)構(gòu)的循環(huán)體中有兩條指令，其中“t.left(angle)”是讓“海龜”向左手方向轉(zhuǎn)過(guò)一定角度，角度值由參數(shù)angle 決定。所以每次循環(huán)“海龜”會(huì)先向左轉(zhuǎn)一個(gè)角度，然后再執(zhí)行“DrawKoch(lenght/3,n-1)”指令。這里是這個(gè)函數(shù)中最重要的地方，它調(diào)用了繪制科赫曲線本身。但是長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的1/3，由于一開始length 設(shè)置為300，所以在這里就變成了100 像素，而且階數(shù)降1，變?yōu)?，相當(dāng)于調(diào)用了函數(shù)“DrawKoch(100,0)”。分析一下可以看到n 為0，所以第一層if 和else的分支結(jié)構(gòu)中判斷條件成立，執(zhí)行“t.fd(100)”。所以此時(shí)調(diào)用“DrawKoch(lenght/3,n-1)”的結(jié)果相當(dāng)于執(zhí)行“t.fd(100)”。

最后我們?cè)倩氐秸麄€(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，可以看出，第1 次循環(huán)，“海龜”左轉(zhuǎn)0 度，然后前進(jìn)100 像素。第2 次循環(huán)，“海龜”左轉(zhuǎn)60度，然后前進(jìn)100 像素。第3 次循環(huán)，“海龜”左轉(zhuǎn)-120 度（即右轉(zhuǎn)120 度），然后前進(jìn)100 像素。第4 次循環(huán)，“海龜”左轉(zhuǎn)60 度，然后前進(jìn)100 像素。這里需要說(shuō)明一點(diǎn)，“海龜”的初始方向是水平向右的。所以四次循環(huán)的整個(gè)移動(dòng)軌跡就是圖1 右的一階科赫曲線。

如果要繪制二階、三階或者更高階的科赫曲線。只要改變main 函數(shù)的參數(shù)n 就可以了。這個(gè)n 就是科赫曲線的階數(shù)。由于在這個(gè)函數(shù)中用到了遞歸算法，即函數(shù)調(diào)用了自身，而每一次調(diào)用階數(shù)都會(huì)減1，當(dāng)階數(shù)n 變?yōu)? 以后結(jié)束遞歸。比如在本程序中將主函數(shù)參數(shù)設(shè)置為main(300,3)，那么繪制出來(lái)的就是3 階科赫曲線，和圖2 右一致。如果要繪制圖2 左這樣的二階科赫曲線，可以把主函數(shù)寫成main(300,2)。

3.2.3 主函數(shù)main

主函數(shù)main 是整個(gè)程序的起點(diǎn)，在這里需要對(duì)主要的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。

其中“def main (lenght,n)”定義了一個(gè)主函數(shù)main。和“DrawKoch(lenght,n)”函數(shù)一樣，它也要設(shè)置長(zhǎng)度和階數(shù)兩個(gè)參數(shù)。這個(gè)函數(shù)的主要功能是對(duì)“海龜”進(jìn)行一些設(shè)置。

先用“t.setup(600，600)”指令創(chuàng)建一個(gè)600*600 像素的畫板。然后用“t.speed(0)”指令將“海龜”的爬行速度設(shè)為最大值，如果希望能夠看到圖像的繪制過(guò)程就需要對(duì)“t.speed(0)”中的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置了。用“t.pensize(2)”指令將“海龜”的寬度設(shè)為2 像素，如果希望曲線的更加粗，可以將寬度設(shè)置更大的值，但是需要注意曲線長(zhǎng)度和寬度之間的比例。通過(guò)這三條指令為畫圖做好準(zhǔn)備工作。

“t.pu()”是“t.penup()”的縮寫形式，代表將畫筆抬起，可以想象成“海龜”飛了起來(lái)，此時(shí)的“海龜”的移動(dòng)不會(huì)再畫板上留下痕跡。然后使用“t.goto(-150,0)”指令讓“海龜”移動(dòng)到畫板中X 坐標(biāo)為-150 像素處。需要說(shuō)明的是畫板的中心點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸正方向水平向右，Y 軸正方向是垂直向上。所以說(shuō)“t.goto(-150,0)”應(yīng)該在畫板中心的左側(cè)150 像素處。這個(gè)起點(diǎn)的位置需要根據(jù)科赫曲線的尺寸以及每次遍歷時(shí)移動(dòng)的距離來(lái)合理的調(diào)整，由于本程序中將length 長(zhǎng)度設(shè)置為300，所以將起點(diǎn)設(shè)置為-150 是比較合理的。如果將length 設(shè)置為400，那么顯然將起點(diǎn)設(shè)置為“t.goto(-200,0)”更為合適。最后再用“t.pd()”也就是“t.pendown()”，它的作用是落筆，讓“海龜”回到畫板上，然后再移動(dòng)“海龜”就能留下爬行的軌跡了。這樣我們就做好了畫圖的準(zhǔn)備。

接下來(lái)調(diào)用了繪制科赫曲線的函數(shù)“DrawKoch(lenght,n)”，進(jìn)行圖形的繪制。繪制完畢以后使用“t.hideturtle()”將“海龜”隱藏。最后使用“t.done()”指令保持畫板，如果不加入“t.done()”指令，在隱藏了“海龜”以后，畫板會(huì)自動(dòng)關(guān)閉，繪制好的圖畫一閃即逝，不利于觀察繪制結(jié)果。

3.2.4 函數(shù)調(diào)用

在整個(gè)程序中用到了兩次def 開頭的指令。分別定義了繪制科赫曲線的函數(shù)以及主函數(shù)。需要說(shuō)明的是函數(shù)在定義以后如果沒(méi)有被調(diào)用是不起作用的。所以在程序的最后調(diào)用主函數(shù)main，同時(shí)設(shè)定長(zhǎng)度為300 像素，階數(shù)為3。運(yùn)行程序以后就能夠得到一個(gè)三階的科赫曲線。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)科赫曲線的繪制程序。這個(gè)程序可以在python3的環(huán)境中直接使用，只要簡(jiǎn)單的修改最后一行主函數(shù)的參數(shù)值，理論上可以實(shí)現(xiàn)任意大小，任意階數(shù)的科赫曲線繪制。

在程序中稍加改動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)更多的效果。比如使用“t.screensize()”指令就可以對(duì)畫板參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，比如做如下設(shè)置t.screensize(800,600,“black”)，其中的“800,600”參數(shù)就是畫板的尺寸，“black”是將畫板背景色設(shè)為黑色。也可以使用“t.pencolor()”指令來(lái)設(shè)置畫筆的顏色。例如使用“t.pencolor(”white“)“將畫筆顏色設(shè)為白色。在本文中的程序中這兩個(gè)參數(shù)都沒(méi)有設(shè)置，則會(huì)使用默認(rèn)值，畫板默認(rèn)為白色，畫筆默認(rèn)為黑色。因此畫出來(lái)的是白底黑線的圖案。

如果我們?cè)趍ain 函數(shù)中“DrawKoch(lenght,n)“指令下方添加“t.right(120)“，這個(gè)指令是向右旋轉(zhuǎn)指令，參數(shù)120 是角度值120度。這樣在畫完一個(gè)科赫曲線以后，會(huì)向右旋轉(zhuǎn)120 度。然后再次調(diào)用“DrawKoch(lenght,n)”，畫第二個(gè)科赫曲線。畫完后再向右轉(zhuǎn)120，然后畫第三個(gè)科赫曲線。這樣就得到黑色夜空下的一片白色雪花。如果在繪圖過(guò)程中改變畫筆的顏色，就可以得到一片彩色的雪花了。

本文中使用的主要編程思路是使用遞歸的算法，讓函數(shù)自己調(diào)用自己，從而用簡(jiǎn)短的程序?qū)崿F(xiàn)了復(fù)雜的繪圖過(guò)程。只要通過(guò)修改函數(shù)中的參數(shù)就可以實(shí)現(xiàn)不同尺寸，不同階數(shù)的曲線繪制。常見的分形幾何圖除了科赫曲線以外，還有謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、列維曲線、龍形曲線、分形樹、海岸線等。這些分形圖的繪制也可以用本文提供的程序結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，只要把繪制程序中的算法部分替換掉就可以了。