數(shù)學(xué)求導(dǎo)在高中物理解題中的運(yùn)用

虞健明

摘 要：數(shù)學(xué)與物理是兩門聯(lián)系非常緊密的自然學(xué)科，縱觀物理學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)物理學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展發(fā)揮著重要的作用。無(wú)論是在物理學(xué)習(xí)過程中，還是運(yùn)用物理知識(shí)解決問題的過程，都會(huì)用到數(shù)學(xué)知識(shí)，越是高深的物理理論研究，越離不開數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：高中物理;數(shù)學(xué)求導(dǎo);物理解題

物理與數(shù)學(xué)作為兩門基礎(chǔ)自然學(xué)科，在科學(xué)研究和實(shí)踐應(yīng)用中有著緊密的聯(lián)系?？v觀物理學(xué)發(fā)展史可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)是物理學(xué)研究的基礎(chǔ)，是精準(zhǔn)表述物理學(xué)的一種科學(xué)語(yǔ)言，它使抽象繁復(fù)的物理學(xué)理論能夠簡(jiǎn)明直觀地表達(dá)出來(lái)，有力地推動(dòng)了物理學(xué)的創(chuàng)新與發(fā)展。即使在物理學(xué)高度發(fā)達(dá)的今天，數(shù)學(xué)依然是物理研究不可或缺的重要工具。無(wú)論在物理學(xué)習(xí)時(shí)，還是在物理問題解決中，總會(huì)有數(shù)學(xué)知識(shí)相伴，越是高深的物理問題，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的依賴程度越高。像數(shù)學(xué)中的幾何、導(dǎo)數(shù)、代數(shù)、函數(shù)、解析幾何等知識(shí)，都是有效解決高中物理問題的數(shù)學(xué)工具。如果能夠在物理學(xué)習(xí)中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)工具的重要作用，那么，物理解題過程就會(huì)變得簡(jiǎn)單而高效。其中，高中數(shù)學(xué)學(xué)科中的導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)提高物理解題效率的重要工具。求導(dǎo)即求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱求導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是求極值和函數(shù)的單調(diào)性的重要方法。將導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用到高中物理解題中，可以起到事半功倍的效果。

一、運(yùn)用數(shù)學(xué)求導(dǎo)破解物理極值問題

例1：如下圖，在平面xoy內(nèi)，y軸與虛線間的區(qū)域中，除了圓形區(qū)域外，都有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁場(chǎng)方向是垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。平面中的虛線與x軸相交于Q點(diǎn)（3L，0）并與y軸平行。平面中的P點(diǎn)是圓形區(qū)域的圓心，其坐標(biāo)是（2L，0），圓的半徑為L(zhǎng)。當(dāng)一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子從y軸上的某點(diǎn)以垂直y軸的角度進(jìn)入磁場(chǎng)（忽略粒子重力），那么（ ）

A.若該粒子未經(jīng)圓形區(qū)域到達(dá)Q點(diǎn)，則粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度是。

B.若粒子第一次經(jīng)P點(diǎn)通過x軸，那么，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度是。

C.若粒子第一次經(jīng)P點(diǎn)通過x軸，那么，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度是。

[分析與解]：設(shè)粒子穿越磁場(chǎng)時(shí)的圓心角是θ（下圖），根據(jù)圖中各圖形間的幾何關(guān)系可知

rsinθ+Lcosθ=2L，得

據(jù)得，故正確的答案是B。

觀察此題解答過程可以發(fā)現(xiàn)，主要運(yùn)用了數(shù)學(xué)中三角公式變換的知識(shí)，但這部分內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中并不是重點(diǎn)，學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的掌握并不熟練和牢固，所以，理解起來(lái)有點(diǎn)困難。

為此，我們可以啟發(fā)學(xué)生，變換解題思路：將前的三角函數(shù)設(shè)為再根據(jù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求極值，這樣，就降低了解題難度，提高了解題效率，詳細(xì)解答如下：

，令則，即θ=600，得rmin=L。據(jù)得。

例2：在一根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)線一端系一質(zhì)量為m的小球，線的另一端系于O點(diǎn)，把球拉到水平后靜止釋放，問，小球到什么位置具有最大的豎直速度？

[分析與解]：設(shè)輕線轉(zhuǎn)過θ角時(shí)，小球的速度為v，它的豎直分速度為v2=vcosθ，由機(jī)械能守恒定律可知：

，，

對(duì)上述關(guān)于的函數(shù)，

對(duì)θ求導(dǎo)，，

令y'=0，得θ=90°（舍去），。

答：當(dāng)時(shí)小球的豎直速度最大。

二、運(yùn)用數(shù)學(xué)求導(dǎo)破解電磁難題

從數(shù)學(xué)的角度審視高中物理中根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律（），求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)這個(gè)過程，本質(zhì)上就是通過閉合回路的磁通量對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)過程，建立物理與數(shù)學(xué)間的解題思維聯(lián)系，對(duì)迅速求解物理問題有重要的意義。

例3：在上圖中，一水平木板上固定著兩根平行的金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌每米的電阻是，用一根導(dǎo)線（電阻不計(jì)）分別連接兩根導(dǎo)軌上的P、Q端點(diǎn)，兩導(dǎo)軌相距I=0.2m。有隨著時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于木板平面，已知磁感強(qiáng)度B與時(shí)間t的關(guān)系是B=kt（比例系數(shù)k=0.20T/s），有一金屬桿（電阻可忽略）以與導(dǎo)軌垂直的角度在導(dǎo)軌上滑動(dòng)（摩擦力忽略），在金屬桿以固定的加速度由靜止開始滑向?qū)к壛硪欢说倪^程中，試求在t=6.0s時(shí)，金屬桿受到的安培力。

按照常規(guī)物理解法是先求出回路中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)，并判斷出電動(dòng)勢(shì)的方向，最后求出回路中的總電動(dòng)勢(shì)。此過程比較復(fù)雜，如果用數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解，解題過程可得以簡(jiǎn)化，提高解題效率。

[分析與解]：設(shè)金屬桿運(yùn)動(dòng)加速度為a，在t時(shí)，金屬桿移動(dòng)的距離為：。金屬桿的運(yùn)動(dòng)速度為：v=at金屬桿與導(dǎo)軌間形成的回路面積為：。此時(shí)，回路中的磁通量為：，

回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：?；芈返目傠娮铻镽=2Lr0。

回路中的感應(yīng)電流為：。金屬桿受到安培力為：F=Bli。

解得。代入數(shù)據(jù)求得：F=1.4×10-3N。

可見，利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)知識(shí)解題更簡(jiǎn)潔，不但提高了解題速度，還可以加深學(xué)生對(duì)電磁感應(yīng)現(xiàn)象本質(zhì)的理解。透過物理現(xiàn)象看到背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)散了學(xué)生的思維，拓展了學(xué)生的認(rèn)知。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)求導(dǎo)求解物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律

在物理中，我們可以利用s-t圖像中圖線斜率來(lái)求物體速度，圖線上各個(gè)點(diǎn)的斜率就是此時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)速度，由此，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間變化間構(gòu)成的函數(shù)進(jìn)行一次求導(dǎo)，就是物體運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間變化間的函數(shù)。將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解，更直觀明了。

例4：如上圖，將一平面鏡M和一巨型的光屏垂直地面直立固定放置，二者間相距為d，一束氦氖激光經(jīng)光屏上的一個(gè)小孔s垂直光屏射入，射在平面鏡的中點(diǎn)O上，現(xiàn)將平面鏡以O(shè)為軸心進(jìn)行逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，角度是ω，求：平面鏡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)間時(shí)，激光束反射在光屏上的光點(diǎn)移動(dòng)的速度是多少？

傳統(tǒng)方法：利用運(yùn)動(dòng)的分解。

[分析與解]：在t時(shí)刻光點(diǎn)P的移動(dòng)速度可以看成是如圖所示兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

在t時(shí)間內(nèi)反射光束轉(zhuǎn)過的角度為2ωt

則垂直光線方向的速度：

光點(diǎn)的移動(dòng)速度

求導(dǎo)的方法：

[分析與解]：

根據(jù)題意可知經(jīng)過t時(shí)間的旋轉(zhuǎn)后，反射光束轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為2ωt。

激光束反射在光屏上的光點(diǎn)P產(chǎn)生的位移為：S=dtan2ωt。

由此可得光點(diǎn)的移動(dòng)速度為：

總之，將導(dǎo)數(shù)知識(shí)運(yùn)用到高中物理解題中，架起了物理與數(shù)學(xué)間聯(lián)系的橋梁，這種跨學(xué)科教學(xué)方式，既可簡(jiǎn)化物理解題過程，揭示物理現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，又拓寬了學(xué)生的思維認(rèn)知，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的提高，發(fā)展了學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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