基于反步法的板球系統(tǒng)自抗擾控制器設(shè)計

韓光信，孟圣鈞，萬云波

(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022；2.吉林石化公司 電石廠，吉林 吉林 132022)

板球裝置作為球桿系統(tǒng)的二維擴展，是一類高階、不確定性非線性系統(tǒng),對其研究涉及動力學(xué)建模、伺服系統(tǒng)設(shè)計、軌跡跟蹤等眾多領(lǐng)域[1].小球運動過程中，板和球之間的非線性摩擦力、模型誤差、執(zhí)行機構(gòu)的滯后現(xiàn)象等因素都會降低軌跡跟蹤精度，導(dǎo)致控制效果不佳.國內(nèi)外學(xué)者研究了模糊控制[2]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4]、預(yù)測控制[5]等相關(guān)算法以獲得期望的控制性能.吉林大學(xué)的段慧達博士針對板球系統(tǒng)可能出現(xiàn)的量測噪聲污染問題，研究了帶濾波功能的自抗擾設(shè)計方案，并提出了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自抗擾控制器參數(shù)優(yōu)化方法，最后利用級聯(lián)自抗擾控制器較好地實現(xiàn)了軌跡跟蹤控制[6].北京理工大學(xué)董振曄針對系統(tǒng)采集小球位置存在量測噪聲這一問題，設(shè)計了含一階慣性環(huán)節(jié)的擴張狀態(tài)觀測器，同時用自抗擾控制器實現(xiàn)了小球在不同速度下的定點控制和軌跡跟蹤控制[7].

本文綜合考慮板球系統(tǒng)的摩擦、擾動等不確定因素以及系統(tǒng)耦合項對小球軌跡跟蹤精度的影響，利用擴張狀態(tài)觀測器對其進行估計和“補償”，完成自抗擾控制方案的設(shè)計.由于板球系統(tǒng)實驗平臺X、Y軸的輸入信號存在量測噪聲干擾，故采用全程快速微分器濾除干擾，同時提取輸入信號并求導(dǎo)，實現(xiàn)無需速度測量的控制，且全程快速微分器與跟蹤微分器TD相比，受參數(shù)影響小、計算更為簡潔.接著設(shè)計高階擴張狀態(tài)觀測器ESO觀測小球的位移、速度、角度、角速度狀態(tài)變量，將觀測出的系統(tǒng)狀態(tài)變量與反步法相結(jié)合，設(shè)計出高階自抗擾控制器.其中，ESO參數(shù)的選擇至關(guān)重要，低階次ESO的參數(shù)一般采用與步長冪函數(shù)的倒數(shù)成正比的規(guī)律選取.而本文設(shè)計的高階次ESO的參數(shù)，采用步長與菲波娜奇數(shù)列的規(guī)律選取.仿真結(jié)果表明，與級聯(lián)自抗擾控制器相比，改進的高階自抗擾控制器設(shè)計結(jié)構(gòu)簡單、計算方便，有效地降低了板球系統(tǒng)的不確定擾動影響，軌跡跟蹤效果更為理想.

1 板球系統(tǒng)建模

板球系統(tǒng)實驗平臺如圖1所示.

圖1 板球系統(tǒng)實驗平臺

主要由兩個步進電機及相關(guān)驅(qū)動系統(tǒng)、平板、小球、視覺系統(tǒng)等組成.板球系統(tǒng)具有4個自由變量，即小球的位置(x,y)和平板X、Y軸的轉(zhuǎn)動角度.通過歐拉-拉格朗日方程推導(dǎo)后，板球系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為[8]：

(1)

y=[x1,x5]T.

其中，x1、x2、x3、x4和x5、x6、x7、x8分別為板球系統(tǒng)X、Y軸的小球位移、速度和平板轉(zhuǎn)動角度、角速度.u0x和u0y為系統(tǒng)的控制輸入(物理意義為角加速度).k=m/(m+Jb/r2)，m為小球的質(zhì)量，r為小球半徑，Jb為小球轉(zhuǎn)動慣量，Jb=2mr2/5.y為板球系統(tǒng)的輸出，即小球X,Y軸方向的位移.當(dāng)小球在平板上運動時(無跳動現(xiàn)象)，平板的轉(zhuǎn)動角度足夠小(一般不超過±5°)可以忽略耦合項x4x5x8和x1x4x8.板球系統(tǒng)線性化、解耦后，可得X、Y軸線性子系統(tǒng)：

(2)

y1=x1,y2=x5.

2 自抗擾控制器設(shè)計

自抗擾控制器由跟蹤微分器(TD)、非線性反饋控制器(NLSEF)、擴張狀態(tài)觀測器(ESO)3部分組成.因板球系統(tǒng)X、Y軸對稱分布，故控制器的推導(dǎo)以X軸為例，Y軸控制器的推導(dǎo)參考X軸即可.本文的跟蹤微分器采用全程快速微分器實現(xiàn)信號的提取和求導(dǎo)[9].

2.1 全程快速微分器

韓京清教授設(shè)計的非線性跟蹤微分器，能夠快速、精準地安排過渡過程并提取其微分信號，同樣適用于多種控制系統(tǒng).但在信號的跟蹤過程中具有抖振現(xiàn)象，影響系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度.全程快速微分器采用非線性和線性組合的連續(xù)函數(shù)形式，能夠?qū)ο到y(tǒng)輸入信號準確的求導(dǎo)，防止出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，同時對輸入信號的測量誤差和輸入噪聲具有魯棒性.

(3)

y3=z2(t).

(4)

y3=z2(t).

2.2 擴張狀態(tài)觀測器

板球模型中的不確定擾動和摩擦力對系統(tǒng)的響應(yīng)造成較大的干擾，為獲得更加準確的跟蹤軌跡，設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器時將這部分擾動作為總擾動進行估計補償.根據(jù)板球系統(tǒng)模型式(2),設(shè)計完整的四階板球系統(tǒng)中X軸子系統(tǒng)對應(yīng)的擴張狀態(tài)觀測器.

定義軌跡跟蹤誤差：

e1=x1-y0x,

(5)

(6)

(7)

選擇合適的β01、β02、β03、β04、β05估計板球系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1、x2、x3、x4和被擴張狀態(tài)的實時作用量w(t).為避免小球運動過程中出現(xiàn)高頻顫振現(xiàn)象，將擴張狀態(tài)觀測器中函數(shù)|e1|αsign(e1)改造成原點附近具有線性段的連續(xù)的冪次函數(shù)[10].

(8)

函數(shù)fal(·)具有小誤差、大增益，大誤差、小增益的非線性特點.由于δ通常取值為小于1的數(shù)，β0i通常取值為大于1的數(shù)，而β0i的選取決定了ESO對擾動的觀測精度，進而影響軌跡跟蹤精度.低階ESO中的β0i參數(shù)值的選取一般采用β0i與1/hi(h=δ)成正比的規(guī)律[7,10].本文ESO式(11)β0i參數(shù)值的選取采用文獻[10]中式(4.8.3)菲波娜奇數(shù)列與h(h=δ)的關(guān)系進行選擇.

(9)

2.3 非線性反饋控制器

在板球系統(tǒng)的控制器設(shè)計中實現(xiàn)“模型和未知外擾補償”是非常重要的.本文的非線性反饋控制器采用反步法，以Lyapunov函數(shù)的收斂性為目標，將完整的板球系統(tǒng)逐步分成若干個子系統(tǒng).通過對后面的每一個子系統(tǒng)逐步引入虛擬函數(shù)，使前面的若干子系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性，最終完成整個板球系統(tǒng)控制規(guī)律的求解，實現(xiàn)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)，達到理想的控制效果.

結(jié)合式(2)、(5)定義系統(tǒng)偏差[1]：

(10)

其中，α1、α2、α3為虛擬函數(shù).選取Lyapunov函數(shù)V1：

(11)

結(jié)合式(10)，對式(11)求導(dǎo)后可得：

(12)

設(shè)α1=-c1e1(c1>0的常數(shù))，結(jié)合式(10)可求得：

(13)

(14)

選取Lyapunov函數(shù)V2：

(15)

(16)

(17)

(18)

選取Lyapunov函數(shù)V3：

(19)

結(jié)合式(18),對式(19)求導(dǎo)后可得：

(20)

(21)

(22)

選取Lyapunov函數(shù)V4：

(23)

結(jié)合式(10)、(13)、(17)、(21)、(22)和α3，對式(23)求導(dǎo)后可得：

(24)

(25)

其中c4>0的常數(shù).

化簡后可得：

(26)

綜上可知，完整的四階板球系統(tǒng)X軸自抗擾控制器由式(4)、(7)、(26)組成.

3 仿真結(jié)果分析

x1/m圖2 高階自抗擾控制軌跡跟蹤

在零初始條件下，板球系統(tǒng)X、Y軸輸入信號處加入幅值為0.01的隨機信號作為噪聲干擾.m=0.1 kg，r=0.01 m，g=9.8 m/s2，k=5/7，c1=4，c2=3，c3=2,c4=1，b=-7.007.式(4)中R=20，a0=b0=0.1，v(t)=y0x.式(7)中δ=0.375，β01=2.67，β02=2.373，β03=0.594 8，β04=0.043 32，β05=0.005 582.板球系統(tǒng)Y軸自抗擾控制器設(shè)計參照X軸即可.當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定運行時，外界擾動wx和wy選擇step=0.5的階躍輸入.小球從原點(0,0)出發(fā)，做R0=0.1 m圓形軌跡跟蹤運動.輸入信號如下：

(27)

仿真實驗在Matlab2014環(huán)境中進行，自抗擾控制器各部分模型采用S函數(shù)進行封裝，分別設(shè)計級聯(lián)自抗擾控制器和高階自抗擾控制器，在Simulink中分別搭建系統(tǒng)仿真模型.圖2～6給出了高階自抗擾控制的仿真結(jié)果.作為對比，圖7～10給出了級聯(lián)自抗擾控制的仿真結(jié)果.對比圖4和圖9可知，高階自抗擾控制5 s內(nèi)能夠迅速跟蹤預(yù)設(shè)軌跡，而級聯(lián)自抗擾控制20 s后才趨于穩(wěn)定；另外高階自抗擾控制X、Y軸誤差的絕對值分別是5.45和4.925 mm,而級聯(lián)自抗擾控制X、Y軸誤差的絕對值分別是6.5、13.25 mm，控制精度顯著提高.對比圖5和圖10，高階擴張狀態(tài)觀測X、Y軸擾動幾乎為零，達到了理想的干擾抑制效果，而級聯(lián)自抗擾控制的干擾抑制效果欠佳.高階自抗擾控制和級聯(lián)自抗擾控制中的全程快速微分器X、Y軸輸出圖仿真結(jié)果相同，均能有效地濾除輸入信號干擾，故只給出高階自抗擾控制中的全程快速微分器X、Y軸輸出曲線，如圖6所示.

t/s圖3 高階自抗擾控制器X、Y軸輸出

t/s圖4 高階自抗擾控制X、Y軸誤差

圖5 高階擴張狀態(tài)觀測X、Y軸擾動

圖6 高階全程快速微分器X、Y軸輸出

x1/m圖7 級聯(lián)自抗擾控制軌跡跟蹤t/s圖8 級聯(lián)自抗擾控制器X、Y軸輸出

t/s圖9 級聯(lián)自抗擾控制X、Y軸誤差

圖10 級聯(lián)擴張狀態(tài)觀測器X、Y軸總擾動

4 結(jié) 論

以多變量、強耦合的板球系統(tǒng)作為研究對象，針對系統(tǒng)受到的內(nèi)、外部不確定干擾而影響軌跡跟蹤精度這一問題，在設(shè)計自抗擾控制方案中，采用全程快速微分器濾除系統(tǒng)輸入信號的噪聲干擾，利用ESO實現(xiàn)對板球系統(tǒng)內(nèi)部干擾的估計和“補償”，并將觀測的狀態(tài)變量與非線性反饋控制器的設(shè)計相結(jié)合，設(shè)計出高階次的自抗擾控制器.實驗結(jié)果表明，高階次的自抗擾控制器克服自身和外部的干擾能力強，能夠快速實現(xiàn)高精準的軌跡跟蹤控制.