時(shí)間分?jǐn)?shù)階亞式期權(quán)的θ差分方法

謝萬姍,孫玉東(.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院, 貴陽 55005; .貴州民族大學(xué) 商學(xué)院, 貴陽 55005)

亞式期權(quán)是最早出現(xiàn)在日本東京的金融證券,由美國銀行家信托公司推出的衍生證券,其回報(bào)取決于一段時(shí)期標(biāo)的資產(chǎn)平均價(jià)格.這些期權(quán)被有興趣的交易者用來對沖一種商品的平均價(jià)格而不是到期日的價(jià)格,亞式期權(quán)的價(jià)格不太容易受價(jià)格操縱的影響,因此這種期權(quán)在交易稀少的商品上對參與交易的商品尤其有用.然而,定價(jià)和對沖亞式期權(quán)非常困難,尤其是對于依賴算術(shù)平均的期權(quán).有關(guān)期權(quán)定價(jià)的數(shù)值差分方法,文獻(xiàn)[1]研究了一種混合有限差分方法對固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià),通過積分變換將空間變量為二維偏微分方程降維到一維的偏微分方程,該方法主要采用Crank-Nicolson方法離散時(shí)間變量,采用混合有限差分方法離散空間變量.文獻(xiàn)[2]提出了一種穩(wěn)定的亞式看漲期權(quán)的數(shù)值定價(jià)方法,該方法在空間變量上進(jìn)行移動(dòng)網(wǎng)格的中心差分方法離散化,在時(shí)間變量上采用Rannacher方法離散化.文獻(xiàn)[3]研究了亞式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值解,由于不平等的限制導(dǎo)致變分不平等的亞式期權(quán),結(jié)合高階拉格朗日-伽遼金方法求解偏微分方程,并且利用迭代方法進(jìn)行數(shù)值求解.文獻(xiàn)[4]提出了一種交替方向隱式差分格式的亞式期權(quán)定價(jià),對于二維偏微分方程算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)提出了一種快速、穩(wěn)定的數(shù)值方法,并且采用交替方向和中心差分格式相結(jié)合的方法推導(dǎo)了數(shù)值計(jì)算方法,數(shù)值格式在最大范數(shù)下是穩(wěn)定的.文獻(xiàn)[5]研究了敲出型雙障礙期權(quán)定價(jià)的高精度隱式差分格式,采用不等式放大技術(shù)和遞推法分析了差分格式的穩(wěn)定性和收斂性.文獻(xiàn)[6]給出了一種時(shí)空分?jǐn)?shù)階歐式期權(quán)定價(jià)模型,用快速雙共軛梯度穩(wěn)定方法來求解數(shù)值格式.文獻(xiàn)[7]采用顯式有限差分方法研究了亞式期權(quán)的邊值問題,一般情況下邊值公式中各種退化和近似的數(shù)值方法是存在振蕩的,并找出合適的方法避免振蕩.文獻(xiàn)[8-9]由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的演化呈現(xiàn)復(fù)利的動(dòng)態(tài)特征,而亞式期權(quán)引入的路徑因子是股價(jià)的算數(shù)均值,這導(dǎo)致亞式期權(quán)定價(jià)困難,為此許多學(xué)者人為地將算數(shù)均值修改為幾何平均值給出了亞式期權(quán)的價(jià)格.目前有關(guān)算術(shù)平均期權(quán)的研究多見于數(shù)值方法.文獻(xiàn)[10]建立了兩種顯式差分格式和一種隱式差分格式解決了多維 Landau-Lifshitz 方程的初邊值問題,采用Tayolr 級數(shù)展開法分析了各種差分格式的截?cái)嗾`差,運(yùn)用Matlab軟件數(shù)值模擬了差分格式對該類問題的可行性.文獻(xiàn)[11]對于空間-時(shí)間分?jǐn)?shù)階的對流擴(kuò)散方程求數(shù)值解法,運(yùn)用隱式差分方法研究了算術(shù)平均期權(quán)定價(jià)問題.文獻(xiàn)[12]針對于分?jǐn)?shù)階時(shí)變Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià),提出了隱式差分方法求解亞式期權(quán)問題,采用不等式放大技術(shù)證明了差分格式的穩(wěn)定性、唯一性及其收斂性,再利用差分格式在R軟件上模擬了算術(shù)平均亞式期權(quán)的數(shù)值定價(jià).文獻(xiàn)[13]在分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散Heston模型下研究了亞式期權(quán)定價(jià),通過Monte-Carlo模擬研究了算術(shù)平均亞式期權(quán)的價(jià)格,并且利用Gronwall不等式,給出Heston金融資產(chǎn)模型的有界性和連續(xù)性.文獻(xiàn)[14]提出了時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型的差分方法,對有限差分方法的顯式差分方法與隱式差分方法進(jìn)行加權(quán)平均得到差分方法解決歐式期權(quán)問題.對于時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下的數(shù)值差分方法研究相對較少,只有文獻(xiàn)[12]運(yùn)用隱式差分方法離散化得到了時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)的一種數(shù)值解法,本文考慮時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)問題,將顯式差分方法與隱式差分方法進(jìn)行融合得到一種普遍性差分方法,這種融合是通過加權(quán)平均的思想,然后結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明差分格式解的唯一性、穩(wěn)定性以及收斂性,進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值模擬,說明差分方法求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型是可行的.

1 亞式期權(quán)

本節(jié)主要描述固定報(bào)價(jià)的算術(shù)平均亞式看漲期權(quán)從二維空間變量的偏微分方程降維為一維空間變量的偏微分方程及其邊值問題.

假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格S(t)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)[1]:

dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dB(t),

其中：r是無風(fēng)險(xiǎn)利率,σ是波動(dòng)率,B(t)是在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).令I(lǐng)(t)表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)行總和:

故標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)行總和I(t)的平均值為A(t)=I(t)/t.由文獻(xiàn)[1-2]可知,連續(xù)算術(shù)平均亞式看漲期權(quán)價(jià)格C(t,S,I)滿足以下二維空間變量偏微分方程(PDE)和邊值條件:

C(T,S,I)=max(I/T-E,0)

(1)

其中：T為到期日,E為執(zhí)行價(jià)格.這個(gè)二維偏微分方程是一個(gè)退化拋物型問題.在計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)中,對流項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)中心差分方法會(huì)產(chǎn)生虛假振蕩.

由于式(1)是一個(gè)導(dǎo)致更大計(jì)算成本的二維偏微分方程,需要將式(1)變?yōu)橐痪S偏微分方程,則變量變換[1]:

(2)

通過變量變換式(2)將式(1)轉(zhuǎn)換為一維空間變量的偏微分方程:

V(T,x)=max(-x,0).

(3)

當(dāng)I≥ET時(shí),可得亞式期權(quán)的邊值條件如下:

exp{-r(T-t)},

(4)

式(4)由式(2)中的變量替換,很容易變換得:

xexp{-r(T-t)},

(5)

當(dāng)x>0時(shí),在式(5)中補(bǔ)充x=0可計(jì)算得邊界條件:

(6)

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)一文不值是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S=0,即該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的亞式期權(quán)也作廢,當(dāng)I

由于在數(shù)值方法的應(yīng)用中需要將無窮域(0,+∞)轉(zhuǎn)化為(0,X),在x=X時(shí)邊值條件為V(t,X)=0.因此,可得一維空間變量初邊值條件的偏微分方程:

(7)

由C(t,S,I)=SV(t,x)可得V(t,x)是亞式期權(quán)價(jià)格的解.

本節(jié)主要描述算術(shù)平均亞式期權(quán)的邊值問題,通過變量替換將亞式期權(quán)的二維空間變量偏微分方程降維為一維空間變量偏微分方程,并寫出了亞式期權(quán)一維空間變量偏微分方程及其邊值條件.

2 θ差分格式的構(gòu)造

本節(jié)主要結(jié)合文獻(xiàn)[12]的差分方法,構(gòu)造了一種時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下亞式期權(quán)的θ差分格式.

為了得到差分格式,結(jié)合式(7),將空間變量x進(jìn)行截?cái)嗫傻脮r(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下亞式期權(quán)的偏微分方程[12]:

(8)

其中：0<α<1,時(shí)間微分采用右Riemann-Liouville微分[6]:

為了使上述時(shí)間微分滿足差分方法,令t=T-τ,有:

(9)

模型式(8)通過變換U(τ,x)=V(T-τ,x)得[12]:

其中時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分滿足[6]:

(11)

注意U(τ,x)關(guān)于τ滿足U(τ,x)∈C(1),從而令s=τ-η,對任意的0<α<1,則有:

(12)

接下來對式(10)的時(shí)間變量和空間變量進(jìn)行等距網(wǎng)格劃分,令:

τk=jΔt,j=0,1,2,…,N,xi=ih,i=0,1,2,…,M,

其中：Δt=T/N和h=X/M分別表示時(shí)間步長與空間步長,先對時(shí)間變量進(jìn)行離散化,為了提高差分精度選擇中心差分格式:

(13)

(14)

O(h2),

(15)

O(h2),

(17)

在點(diǎn)(τj,xi)的主方程式:

(18)

為了構(gòu)造式(10)的θ差分格式,先將式(14)、(15)帶入式(18)得式(10)古典顯式格式:

O(Δt2-α+h2).

(19)

再將式(16)、(17)帶入式(18)得式(10)古典隱式格式:

O(Δt2-α+h2).

(20)

通過對式(19)、(20)進(jìn)行加權(quán)平均,構(gòu)造如下的θ差分格式:

O(Δt2-α+h2).

(21)

其中：0<θ<1,當(dāng)θ=1/2時(shí),式(21)為時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型的C-N格式.

時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(τj,xi)上的離散格式[12](0<α<1):

U(τj-1-k,xi)]((k+1)1-α-k1-α)=

dmj-1U(τ0,xi)+O(Δt2-α).

(22)

將式(21)和式(22)進(jìn)行結(jié)合并分類,且忽略誤差,計(jì)算可得:

θ)(U(τj-1,xi+1)-U(τj-1,xi-1))+

θ(U(τj,xi+1)-U(τj,xi-1))]+

U(τj-1,xi-1))+θ(U(τj,xi+1)-2U(τj,xi)+

U(τj,xi-1))].

(23)

其中:

將上式變成最簡形式:

(24)

再將上式改寫成矩陣形式:

為了便于編程模擬,將上式寫成最簡形矩陣:

(25)

其中矩陣的參數(shù)表示:

本節(jié)主要討論算術(shù)平均亞式期權(quán)問題,在時(shí)間變量上采用右Riemann-Liouville微分離散化,在空間變量上運(yùn)用中心差分方法進(jìn)行離散化,并得出時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下亞式期權(quán)的古典顯式差分格式和古典隱式差分格式,通過加權(quán)平均的思想,將亞式期權(quán)的古典顯式差分格式和古典隱式差分格式進(jìn)行加權(quán)平均得到θ差分格式,為了便于編程,將它寫成最簡形矩陣.

3 θ差分格式的理論分析

本節(jié)主要分析θ差分格式的唯一性、穩(wěn)定性及其收斂性,并表明該差分方法對亞式期權(quán)是可行的.

3.1 θ差分格式的唯一性和穩(wěn)定性

當(dāng)aj<0,bj>0,cj<0且滿足bj-|aj+cj|>0時(shí),則矩陣G1是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,當(dāng)|G1|≠0時(shí),G1是可逆矩陣,則系數(shù)矩陣G1為非奇異矩陣.

根據(jù)以上結(jié)論得出如下定理:

定理3.1時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下亞式期權(quán)的θ差分格式(24)存在唯一性.

證明采用數(shù)學(xué)歸納法完成證明,

當(dāng)j=1時(shí),差分格式(24)可計(jì)算得:

當(dāng)j>1時(shí),差分格式(24)有:

當(dāng)j=s時(shí),再次對差分格式(24)用絕對值不等式可計(jì)算出:

3.2 θ差分格式的收斂性

本小節(jié)將分析θ差分格式的收斂性.

當(dāng)j>1時(shí),差分格式(24)有:

當(dāng)j≤s時(shí),均有:

因?yàn)?/p>

所以存在常數(shù)c>0,得:

從而命題結(jié)論成立.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)主要受到文獻(xiàn)[14]數(shù)值算例的啟發(fā),運(yùn)用R軟件對θ差分格式進(jìn)行模擬,既驗(yàn)證差分格式的可行性,又對亞式期權(quán)進(jìn)行價(jià)值分析,在數(shù)值模擬過程中,采用本文的θ差分格式來計(jì)算亞式期權(quán)的價(jià)格,通過改變到期日T來分析它們對期權(quán)價(jià)值的影響.

設(shè)定時(shí)間變量為10份,空間變量為10份,股票當(dāng)前的價(jià)格S為10美元,無風(fēng)險(xiǎn)利率r為0.05,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率σ為0.3,其執(zhí)行價(jià)格K為8美元,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)行總和I為1美元,根據(jù)這些參數(shù),由到期日T分別為1個(gè)月、3個(gè)月、6個(gè)月、9個(gè)月、12個(gè)月來繪制出股票價(jià)格與亞式期權(quán)價(jià)格的變化曲線圖,及計(jì)算出亞式看漲期權(quán)價(jià)格,及其繪圖所運(yùn)算用的時(shí)間.

設(shè)α=2/3時(shí),在不同的到期日下,根據(jù)改變參數(shù)θ(θ=1/3、1/2、2/3、1)繪出股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格的變化趨勢如圖1,取不同參數(shù)值計(jì)算亞式看漲期權(quán)的價(jià)格,計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 α=2/3情形下亞式期權(quán)的價(jià)格

當(dāng)α=2/3時(shí),由表1可知,在相同的到期日T下,當(dāng)參數(shù)θ增加時(shí)亞式期權(quán)的價(jià)值也在遞增,在同參數(shù)θ下,到期日T增加其亞式期權(quán)的價(jià)值也在逐漸遞增,而θ差分格式比顯式差分格式(θ=0)和隱式差分格式(θ=1)運(yùn)算用的時(shí)間要少,由圖1,很明顯期權(quán)價(jià)格的變化趨勢是不斷隨著參數(shù)θ與到期日T的增加而逐漸在遞增的,所以不管是從計(jì)算期權(quán)價(jià)值方面還是從運(yùn)算所用的時(shí)間方面來看,θ差分格式均有效.

圖1 不同T和θ下亞式期權(quán)的價(jià)格Figure 1 The Asian option price with different T and θ

設(shè)θ=1/2時(shí),在不同的到期日T下,根據(jù)不同的參數(shù)α(α=1/3、1/2、2/3、1)繪制出股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格的變化趨勢圖(如圖2),在相同的參數(shù)α下,取不同的到期日T來計(jì)算亞式看漲期權(quán)的價(jià)格,計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表2 θ=1/2情形下亞式期權(quán)的價(jià)格

當(dāng)θ=1/2時(shí),由表2可知,當(dāng)參數(shù)α=1/3時(shí),到期日增加其亞式期權(quán)的價(jià)值也在逐漸遞減,當(dāng)參數(shù)α=1/2時(shí),到期日T增加其亞式期權(quán)的價(jià)值先逐漸遞減再逐漸遞增,而當(dāng)參數(shù)α=2/3時(shí),到期日T增加其亞式期權(quán)的價(jià)值也在逐漸遞增,而時(shí)間分?jǐn)?shù)階比整數(shù)階運(yùn)算的時(shí)間要少.由圖2可知,期權(quán)價(jià)格的變化趨勢是不斷隨著參數(shù)α和到期日T的增加而逐漸遞增的,當(dāng)參數(shù)α=1/3與α=1/2時(shí),股票價(jià)格處于2附近,對于不同的到期日其期權(quán)價(jià)格有一個(gè)交叉點(diǎn),在這點(diǎn)之后,當(dāng)?shù)狡谌誘=1的期權(quán)價(jià)格要比其他不同到期日的期權(quán)價(jià)格要高,在這點(diǎn)之前卻相反,當(dāng)參數(shù)α=2/3與α=1時(shí),不同的到期日的期權(quán)價(jià)值是在隨著股票價(jià)值在逐漸增加的.

圖2 不同T和α下的亞式期權(quán)價(jià)格Figure 2 The Asian option price with different T and α

本節(jié)針對于所研究的θ差分格式,選取不同的時(shí)間分?jǐn)?shù)階α和θ參數(shù)以及到期日T,觀察亞式期權(quán)價(jià)值隨著股票價(jià)值的變化趨勢,由圖1、2可看出,時(shí)間分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階的亞式期權(quán)價(jià)值變化趨勢相似,由此可得,θ差分方法解決此類問題是可行的.由表1可以表明,θ差分格式的計(jì)算速度要比隱式差分格式(θ=1)快,由表2可得出,時(shí)間分?jǐn)?shù)階比整數(shù)階的計(jì)算速度快,很容易可知時(shí)間分?jǐn)?shù)階要比整數(shù)階更有效,數(shù)值模擬的結(jié)果與理論分析相符.

5 結(jié) 語

本文運(yùn)用θ差分方法研究了時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下亞式期權(quán)定價(jià)問題,采用顯式差分格式和隱式差分格式通過加權(quán)平均的思想得出了θ差分格式,并利用數(shù)學(xué)歸納法證明了差分格式的唯一性、穩(wěn)定性以及收斂性等問題,在R軟件中分析的數(shù)值模擬結(jié)果和理論分析相符,說明差θ分方法求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型是可行的.在相同的Black-Scholes模型下,本文研究的方法對其他時(shí)間分?jǐn)?shù)階類型期權(quán)依然可進(jìn)行研究,例如:時(shí)間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)定價(jià)以及時(shí)間分?jǐn)?shù)階支付紅利期權(quán)定價(jià)等模型,可進(jìn)一步研究快速數(shù)值方法,比如:并行差分方法以及顯-隱和隱-顯差分方法,使其能夠在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮作用.