一類含干摩擦彈性碰撞系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

安貴杰，劉俊杰，閆 哲，張有強(qiáng)

(塔里木大學(xué) 機(jī)械電氣化工程學(xué)院，新疆維吾爾自治區(qū)現(xiàn)代農(nóng)業(yè)工程重點(diǎn)實驗室，新疆維吾爾自治區(qū) 阿拉爾843300）

間隙和干摩擦廣泛存在于無潤滑且有相對滑移的機(jī)械零部件之間，在外激勵的作用下零部件之間出現(xiàn)持續(xù)反復(fù)的摩擦振動與沖擊，產(chǎn)生噪聲和磨損，降低設(shè)備的精度和服役壽命。研究含間隙和摩擦共存的碰撞振動系統(tǒng)動力學(xué)特性，對此類系統(tǒng)的動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計和系統(tǒng)穩(wěn)定性都有著非常重要的意義。

目前國內(nèi)外學(xué)者對含間隙和摩擦碰撞振動系統(tǒng)做了大量的研究，Luo 等[1]以周期激勵下的2 自由度剛性碰撞系統(tǒng)為研究對象，分析了周期運(yùn)動的多樣性及其演化規(guī)律，重點(diǎn)揭示了系統(tǒng)動力學(xué)特性與關(guān)鍵參數(shù)之間的匹配規(guī)律。Ashesh Saha等[2]詳細(xì)研究了兩種摩擦模型對單自由度摩擦振動系統(tǒng)響應(yīng)的影響，分析了當(dāng)兩種摩擦模型通過Hopf 分岔改變時，系統(tǒng)的狀態(tài)是穩(wěn)定的。Chen等[3]對含干摩擦機(jī)械系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為進(jìn)行了詳細(xì)的分析。張有強(qiáng)等[4]研究了含干摩擦剛性碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)摩擦力較小時，系統(tǒng)的運(yùn)動呈現(xiàn)混沌行為，摩擦力較大時，系統(tǒng)從混沌運(yùn)動逐漸趨于穩(wěn)定的周期運(yùn)動，同時，系統(tǒng)運(yùn)動在不同區(qū)域?qū)δΣ亮Φ拿舾谐潭炔煌?。丁旺才等[5]對含干摩擦振動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值仿真，并以Lyapunov指數(shù)為判定依據(jù)，詳細(xì)分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。王曉筍等[6]對含碰撞平面摩擦系統(tǒng)的滑移-粘滯轉(zhuǎn)換，提出一種半解析半數(shù)值新算法，精確地獲取系統(tǒng)粘滯-滑移轉(zhuǎn)換及碰撞的位置和時刻，有效降低累積積分誤差，提高求解精度。張艷龍等[7-8]研究傳送帶表面粗糙度對整個振動系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，引入Dankowicz摩擦模型，通過數(shù)值模擬探討了非光滑振動系統(tǒng)在滑移-粘滯-碰撞接觸-顫振之間轉(zhuǎn)換的動力學(xué)行為。吳丹等[9]通過研究一類對稱間隙的干摩擦彈性碰撞振動系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)在頻域上的兩尺度簇發(fā)振蕩規(guī)律。朱喜峰等[10]對2 自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)進(jìn)行研究，分析了間隙和激振頻率對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，在一定參數(shù)條件下，總結(jié)了系統(tǒng)從周期運(yùn)動到顫碰運(yùn)動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律。呂小紅等[11]以2 自由度含間隙彈性碰撞振動系統(tǒng)為研究對象，通過定義兩類Poincaré 映射識別周期運(yùn)動的類型，著重分析了系統(tǒng)在低頻區(qū)域的分岔特性，揭示系統(tǒng)周期振動模式類型的多樣性和轉(zhuǎn)遷特征。安貴杰等[12]對含間隙和干摩擦因素共存下的三類不同碰撞振動系統(tǒng)進(jìn)行了研究，結(jié)合數(shù)值仿真法，分析了各參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響?；谝陨险撌觯疚囊砸活惡g隙和干摩擦單自由度彈性碰撞振動系統(tǒng)為研究對象，建立系統(tǒng)的力學(xué)模型，定義兩類Poincaré 映射，通過數(shù)值模擬探討系統(tǒng)周期沖擊振動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律，分析激振頻率、摩擦系數(shù)、阻尼系數(shù)及定頻率下阻尼系數(shù)變化對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。

1 力學(xué)模型及運(yùn)動微分方程

1.1 模型建立

圖1為含間隙和干摩擦單自由度彈性碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型，質(zhì)量為M的質(zhì)塊由剛度系數(shù)為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1的線性阻尼器連接于支承，質(zhì)塊的位移用X表示，右端為一個剛度系數(shù)為K2的彈性約束，該約束與質(zhì)塊的初始間隙為B。質(zhì)塊與皮帶非光滑接觸，系統(tǒng)振動過程中，質(zhì)塊與皮帶存在摩擦力Ff，并受簡諧激振力Psin(ΩT+τ)的作用，其中：P為簡諧激勵力幅值，Ω為激勵頻率，T為時間，τ為初始相位，以系統(tǒng)靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，質(zhì)塊在激振力的作用下做水平方向的運(yùn)動，當(dāng)質(zhì)塊M速度和皮帶運(yùn)行速度相等，并且質(zhì)塊所受的簡諧激振力、彈簧彈性力和阻尼力ΔF小于其所受的摩擦力時，質(zhì)塊和皮帶粘滯在一起，直到質(zhì)塊所受合力ΔF大于其所受摩擦力時粘滯結(jié)束，質(zhì)塊重新回到滑移狀態(tài)。

圖1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

1.2 運(yùn)動微分方程

根據(jù)以上描述，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：

式中：

引入無量綱變換如下：

無量綱后系統(tǒng)微分方程為：

在運(yùn)動過程中，由于間隙和干摩擦因素的存在，其動力學(xué)行為十分復(fù)雜。當(dāng)x≤δ時，此時只考慮干摩擦對系統(tǒng)的影響，隨著激振力不斷變化，當(dāng)x>δ時，質(zhì)塊與右側(cè)彈性約束發(fā)生碰撞接觸，質(zhì)塊的運(yùn)動狀態(tài)在滑移、粘滯及碰撞之間相互轉(zhuǎn)換，根據(jù)質(zhì)塊的受力情況，將系統(tǒng)的運(yùn)動過程分類討論，質(zhì)塊的振動合力為系統(tǒng)激振力、阻尼和彈簧產(chǎn)生的力、右側(cè)碰撞產(chǎn)生的約束力的總體合力，其中不包含所受的摩擦力。

(a)，0，質(zhì)塊的振動合力滿足：

此時質(zhì)塊處于滑移狀態(tài)，其運(yùn)動微分方程為：

(b).=v，質(zhì)塊的振動合力滿足：

質(zhì)塊和皮帶粘滯在一起，此時質(zhì)塊處于粘滯狀態(tài)，系統(tǒng)運(yùn)動微分方程為：

直至下式滿足系統(tǒng)恢復(fù)方程（5）時：

2 數(shù)值仿真

2.1 激振頻率對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響

取系統(tǒng)無量綱參數(shù)：ζ=0.1，v=0.1，μ=0.1，δ=0.1，以激振頻率ω為控制參數(shù)來分析系統(tǒng)動態(tài)特性。圖2為質(zhì)塊M在不同激振頻率條件下系統(tǒng)的全局周期分岔圖和全局碰撞分岔圖，圖3 為質(zhì)塊M在不同激振頻率條件下系統(tǒng)的周期分岔圖和碰撞分岔圖的局部放大圖，綜合圖2 和圖3 可以看出，系統(tǒng)經(jīng)歷了單周期運(yùn)動、二周期運(yùn)動、多周期運(yùn)動和混沌運(yùn)動，并與約束面發(fā)生了多次碰撞。當(dāng)ω∈[ 0.05,0.19 ]時，系統(tǒng)為周期一顫碰運(yùn)動，ω=0.18 時其相圖、Poincaré 截面圖、速度時間歷程圖和位移時間歷程圖如圖4（a）所示，其Poincaré 截面圖為一個點(diǎn)，表示單周期運(yùn)動，從圖2（b）系統(tǒng)碰撞分岔圖和圖4（a）相圖可以看出，此時質(zhì)塊多次與右側(cè)彈性約束發(fā)生碰撞，每一次碰撞能量都會減小，對應(yīng)在時間歷程圖上就會出現(xiàn)一段振蕩，并且質(zhì)塊有一段速度為0.1，此時代表質(zhì)塊與皮帶發(fā)生粘滯；隨著激振頻率的繼續(xù)增大，當(dāng)ω穿越0.19時，系統(tǒng)主要以非粘滯顫碰運(yùn)動為主，圖4（b）為ω=0.48 時的相圖、Poincaré 截面圖和時間歷程圖，系統(tǒng)為運(yùn)動，從相圖和時間歷程圖均可看出其與右側(cè)彈性約束發(fā)生了4 次碰撞，且沒有發(fā)生粘滯；隨著激振頻率的遞增，當(dāng)激振頻率ω穿越0.85時，系統(tǒng)由運(yùn)動轉(zhuǎn)遷為運(yùn)動，圖4（c）為ω=2.289 時的系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)圖，Poincaré 截面圖為一個點(diǎn)，時間歷程圖為等高的波形循環(huán)，表示系統(tǒng)為單周期運(yùn)動，且可以看出此時質(zhì)塊與約束面發(fā)生了一次碰撞；當(dāng)ω=2.4 時，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔進(jìn)入周期二運(yùn)動，如圖4（d）所示，其Poincaré 截面圖為2 個點(diǎn)，時間歷程圖為2 個波形循環(huán)且穿越了兩次約束面，為運(yùn)動；隨后系統(tǒng)又進(jìn)入周期四運(yùn)動，圖4（e）所示，質(zhì)塊與約束面發(fā)生了4次碰撞，為運(yùn)動；系統(tǒng)逐漸轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動，如圖4（f）所示，當(dāng)ω=2.525時，其Poincaré截面圖為雜亂的點(diǎn)；此后系統(tǒng)從混沌運(yùn)動逐漸演化為運(yùn)動，隨激振頻率的進(jìn)一步增加，當(dāng)ω>3.77時，質(zhì)塊與彈性約束無碰撞接觸，圖4（g）為ω=3.78時的相圖、Poincaré 截面、速度時間歷程圖和位移時間歷程圖，由圖可知，Poincaré截面圖為1個點(diǎn)，表示系統(tǒng)為單周期運(yùn)動，且質(zhì)塊的位移小于間隙，質(zhì)塊與右側(cè)彈性約束無碰撞發(fā)生，時間歷程圖為等高的波形循環(huán)，沒有發(fā)生粘滯運(yùn)動，此時系統(tǒng)為運(yùn)動，系統(tǒng)運(yùn)行較為平穩(wěn)。

圖2 系統(tǒng)隨激振頻率變化的全局周期分岔圖和全局碰撞分岔圖

圖3 系統(tǒng)周期分岔圖和碰撞分岔圖的局部放大圖

圖4 系統(tǒng)在不同激振頻率下的相圖、Poincaré截面、速度時間歷程圖和位移時間歷程圖

圖4 系統(tǒng)在不同激振頻率下的相圖、Poincaré截面、速度時間歷程圖和位移時間歷程圖

2.2 摩擦系數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響

在保證其他基準(zhǔn)參數(shù)不變的條件下，通過改變摩擦系數(shù)μ大小，研究摩擦系數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。圖5為系統(tǒng)在不同摩擦系數(shù)下的質(zhì)塊與彈性約束的沖擊速度x˙隨激振頻率ω變化的周期分岔圖與碰撞分岔圖。激振頻率較低時，隨摩擦系數(shù)的遞增，低頻段粘滯振動型的激振頻率存在范圍變寬，質(zhì)塊的沖擊速度逐漸減小，非粘滯滑移運(yùn)動區(qū)間減小，粘滯滑移運(yùn)動區(qū)間增加；在中頻區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)主要呈現(xiàn)周期運(yùn)動，隨著摩擦系數(shù)的增大，系統(tǒng)在ω=2.35 附近，由概周期運(yùn)動逐漸轉(zhuǎn)遷為周期運(yùn)動，質(zhì)塊與約束面的碰撞次數(shù)大幅度降低；在高頻階段，隨著摩擦系數(shù)的增大，系統(tǒng)的混沌運(yùn)動區(qū)域變寬，質(zhì)塊與約束面的沖擊次數(shù)急劇增加，由周期運(yùn)動轉(zhuǎn)為混沌運(yùn)動。

圖5 不同摩擦系數(shù)μ下的系統(tǒng)周期分岔圖和碰撞分岔圖

2.3 阻尼系數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

在保證其他基準(zhǔn)參數(shù)不變的條件下，通過改變阻尼系數(shù)的大小，研究阻尼系數(shù)ζ變化對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。 圖6 為阻尼系數(shù)分別取0.05、0.15、0.2、0.4 時，系統(tǒng)響應(yīng)隨激振頻率ω變化的分岔圖。由圖6 可知，阻尼系數(shù)ζ較小時，質(zhì)塊與彈性約束的沖擊速度較大，質(zhì)塊與約束面的碰撞次數(shù)較多；隨阻尼系數(shù)ζ的增加，在中頻階段，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動逐漸轉(zhuǎn)遷為周期運(yùn)動，并且其與約束面的沖擊速度大幅度降低，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行；在高頻階段，隨著阻尼系數(shù)的進(jìn)一步增加，其周期運(yùn)動保持不變，質(zhì)塊沖擊速度有所降低，當(dāng)超越臨界值ω=3.77 時，系統(tǒng)仍為運(yùn)動，此時阻尼系數(shù)對其影響不是很大。分析可知，選取較大的阻尼系數(shù)在一定程度上有利于系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖6 不同阻尼系數(shù)ζ下周期分岔圖和碰撞分岔圖

2.4 定頻率下阻尼系數(shù)變化對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

為進(jìn)一步分析阻尼系數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，圖7表示為頻率ω=2.48時，系統(tǒng)響應(yīng)隨阻尼系數(shù)變化的周期分岔圖和碰撞分岔圖，研究表明，阻尼系數(shù)較小時，系統(tǒng)以混沌運(yùn)動為主，且質(zhì)塊與約束面碰撞劇烈，系統(tǒng)狀態(tài)極不穩(wěn)定；當(dāng)阻尼系數(shù)ζ>0.196 時，系統(tǒng)從陣發(fā)性混沌運(yùn)動逐漸進(jìn)入周期運(yùn)動，最后轉(zhuǎn)遷為運(yùn)動，系統(tǒng)狀態(tài)較為穩(wěn)定。

圖7 ω=2.48時系統(tǒng)響應(yīng)隨阻尼系數(shù)變化的周期分岔圖和碰撞分岔圖

3 結(jié)語

本文建立了一類含間隙和干摩擦單自由度彈性碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型，定義兩類Poincaré映射，研究了激振頻率、摩擦系數(shù)及阻尼系數(shù)對系統(tǒng)周期沖擊振動穩(wěn)定性和分岔特性的影響得出以下結(jié)論：

（1）研究了不同激振頻率對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)動力學(xué)特性比較復(fù)雜，存在著運(yùn)動運(yùn)動運(yùn)動運(yùn)動運(yùn)動和混沌運(yùn)動等。

（2）保證其他基準(zhǔn)參數(shù)不變的條件下，隨著摩擦系數(shù)的增加，低頻區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)非粘滯滑移區(qū)域減小，粘滯滑移區(qū)域增加，質(zhì)塊的沖擊速度逐漸減?。荒Σ料禂?shù)的增加使得混沌存在域發(fā)生右移和周期運(yùn)動狀態(tài)基本保持不變，而周期運(yùn)動最終被混沌運(yùn)動替代。

（3）阻尼系數(shù)增大，系統(tǒng)的混沌運(yùn)動逐漸消失，同時質(zhì)塊與約束面的沖擊速度和碰撞次數(shù)大幅度降低，在較大的阻尼系數(shù)下系統(tǒng)以周期運(yùn)動為主，系統(tǒng)穩(wěn)定性在一定程度上增加。