含非均勻介質(zhì)覆蓋層吸聲特性研究

董天韌，胡昊灝，陳 楊

(江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江212003)

吸聲系數(shù)是表征含空腔覆蓋層聲學特性的基本參數(shù)，直接計算變截面空腔覆蓋層的聲特性較復雜，因此通常采用分層等效近似的方法，將變截面空腔視為多個圓柱腔。

常用的近似方法主要包括解析法和數(shù)值法，各種分析方法的之間也存在明顯的差異。高曉琴[1]，Chang等[2]將空腔層中橡膠單元近似為高粘性液體，分析了平面波在垂直入射和斜入射情況下含空腔覆蓋層的聲學性能，但論文只考慮了法向傳播的縱波而忽略了其它波的影響，也未考慮空腔諧振對聲學特性的影響。白國鋒等[3]利用傳遞矩陣模型，同時考慮了縱波和橫波，更接近于平面波傳播的實際情況。但是這種方法只適用于均勻介質(zhì)，無法計算介質(zhì)中含有空腔的情況。劉志宏等[4]分析了背襯對覆蓋層聲特征的影響，但未研究含空腔覆蓋層的聲特征，也沒有討論參數(shù)變化對吸聲性能的影響。張浩等[5]在分層介質(zhì)傳遞矩陣模型的基礎(chǔ)上，引入界面面積因素，使模型可以計算具有內(nèi)部空腔的覆蓋層吸聲性能，但文中并未對比空腔類型對覆蓋層吸聲性能的影響。馮?；鄣萚6]，趙宏剛等[7]和Ivansson[8]將空腔作為黏彈性介質(zhì)中的散射體，運用分層介質(zhì)多重散射理論分析覆蓋層的聲學特性，但該方法只能局限于少數(shù)幾種簡單幾何形狀空腔的黏彈性層。

數(shù)值法[9-12]主要使用有限元和邊界元等方法，將空腔作為散射體，計算不同類型的聲學覆蓋層的聲特征，數(shù)值計算不受覆蓋層內(nèi)空腔形狀的限制，但是當對結(jié)果精度要求較高時，需要較長的計算時間。

針對以上問題，本文對含變截面周期空腔的聲學覆蓋層聲吸收性能展開研究，空腔分布方式如圖1所示，空腔沿X、Y方向周期分布。利用周期邊界條件取一個單元進行分析，在此基礎(chǔ)上將空腔部分沿厚度方向均勻分成若干層(如圖2所示)，當分層的厚度足夠薄時，各層變截面空腔等效為均勻圓柱空腔。利用彈性波傳播理論，結(jié)合應力連續(xù)邊界條件求得等效波數(shù)，最后采用二維傳遞矩陣法得到聲學覆蓋層的吸聲系數(shù)。

圖1 空腔分布示意圖

圖2 分層近似示意圖

1 分層等效理論

取圖2 中分層近似后多段均勻圓柱腔的第i段分析，如下圖3 所示。設(shè)覆蓋層內(nèi)部圓柱徑為ai、覆蓋層半徑為b。

圖3 第i層覆蓋層示意圖

為了求得圓柱空腔單元中的等效波數(shù)，首先引入彈性波在覆蓋層中傳播的運動方程：

式中：s為位移矢量，λ，μ為Lame 常數(shù)，ρ為橡膠密度，?，?2分別為Hamiltonian 算子和Laplace 算子。位移s可以表示為標量場φ的梯度和矢量場ψ的旋度的和，即：

式中：φ為縱波勢函數(shù)，ψ為橫波勢函數(shù)。矢量勢函數(shù)可以寫成標量勢函數(shù)，故公式(2)可以表示為：

式中：kl為縱波波數(shù)；ks為橫波波數(shù)。

公式(3)的形式解可以表示為：

式中：C1,C2,C3,C4為待定系數(shù)，klx=為軸向波數(shù)，J0,Y0分別為第一類和第二類貝塞爾函數(shù)。

柱坐標下徑向位移sx和軸向位移sz為：

柱坐標下應力和應變的關(guān)系為：

考慮邊界條件，在空腔內(nèi)界面處，由于腔內(nèi)介質(zhì)為空氣，因此認為內(nèi)界面的邊界條件為‘絕對軟’邊界，所以空腔內(nèi)側(cè)的應力邊界條件為：

在空腔的外界面，由于運動是同步的，所以界面處應力為零，軸向的位移為零，則空腔外側(cè)的邊界條件：

聯(lián)立公式(4)、式(5)、式(6)和邊界條件公式(7)、式(8)可得：

上述方程為齊次線性方程組，待定系數(shù)C1,C2,C3,C4有非零解的充要條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，通過對其系數(shù)行列式求解，即可得到聲波在第i層沿軸向傳播的波數(shù)kiz，第i層覆蓋層的等效密度為橡膠密度和空氣密度的體積平均值：

式中：ρi為等效后密度，ρ為基體材料密度；ρa為空氣密度，β=ai/b。

2 聲吸聲系數(shù)

在得到各層等效參數(shù)以后，由各層相鄰兩側(cè)聲壓和質(zhì)點振速連續(xù)建立一個傳遞關(guān)系，并用矩陣表示，利用傳遞矩陣計算含圓錐空腔覆蓋層的聲特征，其表達式為：

式中：

式中：di為第i層厚度，ki為第i層波數(shù)，Zi為第i層阻抗，p0,v0為覆蓋層前界面聲壓和振動速度，pi+1,vi+1為覆蓋層背面界面的聲壓和振動速度。

本文中聲學覆蓋層兩端均為無限大水域時，其透射Tr、反射Re和吸聲系數(shù)A分別為：

式中：Zw為水的阻抗，T11,T12,T21,T22為式(14)中傳遞矩陣T的元素。

3 方法驗證

為了驗證分層近似法求解聲吸收的正確性，采用聲學有限元軟件建立含錐形空腔的聲學覆蓋層周期單元（如圖4 所示），分析過程考慮鋼背稱對聲吸收的影響，并利用PML(完美匹配層)模擬無限大水域。覆蓋層單元尺寸L=30 mm，H=50 mm，H1=H3=5 mm，圓錐空腔尺寸：底面直徑10 mm，高H2=40 mm。覆蓋層材料參數(shù)為：泊松比σ=0.49，楊氏模量E=7.1×107Pa，損耗因子η=0.2，密度ρ=1100 kg/m3。

圖4 周期單元聲吸收有限元模型

平面波從左側(cè)水域垂直入射，入射頻率為0.1 kHz～9 kHz，步長0.1 kHz，解析和數(shù)值計算結(jié)果如下圖5所示。

圖5 近似解析和數(shù)值對比

由圖5近似解析和數(shù)值計算的吸聲系數(shù)對比圖可知，頻率在8 kHz 之后，兩種計算結(jié)果出現(xiàn)偏差。出現(xiàn)偏差的原因可能是：

①本文使用分層近似法計算變截面空腔的吸聲系數(shù)，計算過程中分層數(shù)量不合理，導致高頻時出現(xiàn)偏差；

②解析方法中選取的周期覆蓋層單元為圓柱形，但是本文有限元軟件所建立的模型為長方體，兩種不同邊界形狀覆蓋層單元，在計算結(jié)果上存在一定的區(qū)別。從整體上來說，兩種方法計算的吸聲系數(shù)曲線吻合較好，說明本文采取的解析程序是有效的。

4 參數(shù)分析

本節(jié)以圖4模型為例分析不同參數(shù)下覆蓋層的吸聲性能，為了分析含周期圓錐空腔的聲學覆蓋層吸聲機理，下面對相關(guān)參數(shù)展開分析，主要包括彈性背襯，圓錐腔尺寸和空腔形狀等參數(shù)對吸聲系數(shù)的影響。

4.1 背襯對吸聲系數(shù)的影響

彈性背襯結(jié)構(gòu)由于特性阻抗與覆蓋層差異較大，會對入射波在介質(zhì)中的傳播產(chǎn)生較大的影響，進而影響吸聲性能，如圖6所示。

圖6 背襯對吸聲系數(shù)的影響

從圖6 可以看出有、無背襯對覆蓋層的聲吸收有重要影響，有彈性背襯的覆蓋層吸聲系數(shù)在大部分頻率范圍要高于無背襯的情況。文獻[13-14]分析了背襯對圓柱空腔覆蓋層吸聲性能的影響，論文指出：背襯與覆蓋層材料聲阻抗失配，入射聲波經(jīng)過覆蓋層后，被背襯與覆蓋層的耦合面反射回覆蓋層中，形成二次吸收，從而提高吸聲性能。

為了更清晰地給出背襯的影響，下面分別分析有、無背襯時，f=4 kHz 和f=9 kHz 處覆蓋層位移云圖。如圖7所示。

圖7 f=4 kHZ位移圖

圖7 覆蓋層位移云圖的圖例范圍為(5～40)×10-9mm，由圖可知，在該頻點下，有背襯的位移幅值大于無背襯。并且覆蓋層基體從底部到頂部，位移幅值逐漸增大，說明覆蓋層整體被拉伸或者壓縮，因此低頻時覆蓋層的吸聲是由基體的共振引起的。

圖8 覆蓋層位移云圖的圖例范圍為(5～40)×10-9mm，由圖可知，在該頻點下覆蓋層內(nèi)部空腔的位移幅值遠大于基體的位移，說明高頻時覆蓋層的吸聲依賴于空腔的共振。

圖8 f=9 kHz位移圖

由以上分析可知，背襯不僅會提高含圓錐空腔覆蓋層的吸聲性能，還會影響覆蓋層基體及空腔的共振頻率，從而改變覆蓋層吸聲峰值頻率。

4.2 圓錐腔尺寸對吸聲系數(shù)的影響

圓錐腔體尺寸的改變，會影響腔體的共振頻率。圖9給出了不同底面半徑的圓錐腔對吸聲系數(shù)的影響，由圖可知，腔體半徑改變會使吸聲峰值頻率產(chǎn)生偏移，這為在感興趣頻率范圍設(shè)計覆蓋層聲吸收提供了參考。

圖9 圓錐腔半徑對吸聲系數(shù)的影響

下面將分析圓錐空腔半徑影響吸聲峰值頻率發(fā)生偏移的原因。上文分析可知,第一（低頻）吸聲峰值依賴于基體的振動，由圖10 基體位移幅值圖可知，當圓錐空腔半徑增大后，基體之間厚度變薄，更易產(chǎn)生變行，從而使共振頻率向低頻移動，故隨空腔半徑的增加第一吸聲峰頻率減小。

圖10 覆蓋層1 kHz位移圖

圖10 和圖11 覆蓋層位移云圖的圖例范圍為(1～6)×10-8mm，由圖11 可知，圓錐空腔位移幅值隨半徑的增大而增加，這是因為使空腔發(fā)生共振的聲波波長與空腔半徑成正比，當空腔半徑增大時，共振頻率聲波波長增大，所以空腔產(chǎn)生共振的頻率降低，而第二(高頻)吸聲峰由空腔的振動引起，故隨著空腔體積的增加吸聲峰頻率降低。

圖11 覆蓋層6 kHz位移圖

4.3 空腔形狀對吸聲系數(shù)的影響

將圓錐空腔換成圖12圓臺形空腔，圓臺底部半徑5 mm，頂部半徑3 mm，高40 mm。

圖12 圓臺形空腔

從圖13可知，圓臺空腔的吸聲峰值頻率小于圓錐空腔，是因為平面波沿空腔表面?zhèn)鞑ミ^程中縱波會轉(zhuǎn)變?yōu)榧羟胁ǎ斂涨惑w積增加后，提高了縱波轉(zhuǎn)變?yōu)榧羟胁ǖ谋壤瑥亩龃罅寺暡ǖ哪芰繐p耗，提高了覆蓋層吸聲性能，因此隨著空腔體積的增大吸聲峰值頻率向低頻偏移。

圖13 吸聲系數(shù)對比

4.4 楊氏模量對吸聲系數(shù)的影響

圖14給出楊氏模量對覆蓋層聲吸聲的影響，當覆蓋層的楊氏模量增大后，吸聲曲線峰值向右移動，說明當楊氏模量增大后，引起空腔和基體共振的頻率也隨之增大。

圖14 不同楊氏模的吸聲系數(shù)

4.5 入射角度對吸聲系數(shù)的影響

本節(jié)分析平面波入射角度對覆蓋層吸聲性能的影響，下圖15為聲波入射示意圖。

圖15 平面波入射示意圖

圖17 是在吸聲系數(shù)曲線0.7 kHz 處，平面波垂直和75°入射時覆蓋層位移云圖，云圖圖例范圍為(1～7)×10-8mm，對比圖17(a)、圖17(b)兩圖可知，斜入射時覆蓋層出現(xiàn)更大的橫向變形，這是因為橡膠的橫波損耗因子遠大于縱波損耗因子，因此平面波斜入射產(chǎn)生的能量損耗遠大于垂直入射。這也是圖16 低頻時吸聲系數(shù)隨著入射角度增加而增大的原因。

圖16 不同入射角度下吸聲系數(shù)

圖17 覆蓋層位移圖

以平面波60°入射時的吸聲曲線為例，分析0.7 kHz和9.2 kHz處吸聲峰值的物理機理。

圖18為覆蓋層吸聲峰值處位移圖，云圖的圖例范圍(1～30)×10-8mm，由圖可知，第一吸聲峰(0.7 kHz)時覆蓋層基體位移較大，說明覆蓋層被整體地拉伸或壓縮，此時的吸聲峰值是由基體的振動引起的。第二吸聲峰(9.3 kHz)時圓錐空腔振動幅度較大，而覆蓋層整體位移幅值很小，說明高頻時的吸聲峰值主要依賴于覆蓋層內(nèi)部空腔的共振。

圖18 吸聲峰值位移圖

5 結(jié)語

本文針對含周期圓錐空腔聲學覆蓋層聲吸收問題，利用等效分層介質(zhì)理論，重點分析了覆蓋層內(nèi)空腔尺寸、空腔形狀、基體材料參數(shù)、背襯和平面波入射角度等對覆蓋層吸聲性能的影響，得出以下幾點結(jié)論：

(1)用數(shù)值法求解含空腔覆蓋層的吸聲特性，可以和解析解計算結(jié)果相吻合，證明了本文方法的可靠性；

(2)背襯是影響覆蓋層吸聲性能的重要因素，有背襯時吸聲性能在大部分頻率范圍要好于無背襯的情況；

(3)覆蓋層材料參數(shù)，空腔直徑，空腔形狀等對聲吸收有重要影響，計算結(jié)果表明：空腔直徑越大，基體楊氏模量越小，吸聲峰值頻率越向低頻移動?？梢酝ㄟ^設(shè)置以上參數(shù)，提高覆蓋層在低頻段的吸聲系數(shù)；

(4)平面波斜入射時，低頻時吸聲系數(shù)峰值隨入射角度的增加而增加，聲吸收物理機理與垂直入射類似。