非線性系統(tǒng)載荷識別的最小二乘支持向量機(jī)法

周 盼，辛江慧，丁繼才

（1.南京工程學(xué)院 汽車與軌道交通學(xué)院, 南京211167；2.海軍裝備部駐葫蘆島地區(qū)軍事代表室, 遼寧 葫蘆島125004）

載荷識別，即采用結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，結(jié)合結(jié)構(gòu)振動特性求解作用于結(jié)構(gòu)的外部激勵（或載荷）。載荷識別對于結(jié)構(gòu)振動預(yù)測、優(yōu)化設(shè)計(jì)、故障診斷均具有重要意義。近些年來，載荷識別問題的研究比較深入，不少學(xué)者對該問題的研究進(jìn)展進(jìn)行了總結(jié)歸納[1-3]。

逆系統(tǒng)法，作為一種解決逆問題的有效方法，應(yīng)用廣泛。1995年，魏星原等[4]通過建立自回歸滑動平均逆系統(tǒng)，進(jìn)而求解激勵。然而只有當(dāng)線性系統(tǒng)滿足可逆、穩(wěn)定、能控、能觀時(shí)其逆系統(tǒng)才存在。1999年，Steltzner[5]提出采用非因果逆向結(jié)構(gòu)濾波器識別結(jié)構(gòu)所受激勵。受測試噪聲的影響，系統(tǒng)矩陣的奇異性導(dǎo)致載荷識別結(jié)果不穩(wěn)定。為改善該問題，2008年，Allen等[6]提出一種延遲逆向?yàn)V波器算法計(jì)算系統(tǒng)的外部激勵。隨后，周盼等[7-8]提出采用自適應(yīng)濾波器模擬逆系統(tǒng)，并引入延遲環(huán)節(jié)以提高逆系統(tǒng)建模精度，進(jìn)而識別單點(diǎn)、多點(diǎn)激勵的時(shí)間歷程。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，新興的控制算法不斷引入載荷識別中。1998年，Ma等[9]以線性集中質(zhì)量系統(tǒng)為研究對象，采用卡爾曼濾波器和遞歸最小二乘(Recursive least square，RLS)法識別沖擊載荷。然而實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中存在非線性因素這一客觀事實(shí)，使得很多學(xué)者對非線性系統(tǒng)的載荷識別問題日益關(guān)注。2004年，Ma等[10]采用廣義卡爾曼濾波器和RLS 將載荷識別拓展到了非線性系統(tǒng)上。其后，Lin[11]采用同樣方法對單自由度非線性系統(tǒng)進(jìn)行外載荷的數(shù)值仿真研究。宋雪剛等[12]采用容積卡爾曼濾波器對非線性梁系統(tǒng)進(jìn)行載荷識別的理論和實(shí)驗(yàn)研究。然而這些方法均是建立在系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上的，要求清晰地了解系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，限制了其在實(shí)際工程中的應(yīng)用和推廣。

由于支持向量機(jī)（Support vector machine，SVM）方法具有小樣本學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、模型泛化性能好、能處理高維數(shù)據(jù)等優(yōu)點(diǎn)，被引入到載荷識別問題中。郝云霄等[13]建立了基于SVM 的飛機(jī)機(jī)翼載荷模型，驗(yàn)證了SVM 的有效性。2013年，曹善成等[14]提出了一種改進(jìn)的SVM回歸飛行載荷識別模型，利用飛行參數(shù)識別半滾機(jī)動動作下某一部位彎矩。

由于SVM采用二次規(guī)劃方法求解問題，存在訓(xùn)練時(shí)間較長、計(jì)算較復(fù)雜等缺點(diǎn)?；诖?，LS-SVM應(yīng)運(yùn)而生。Hu等[15]和Mao等[16]采用LS-SVM對頻域載荷進(jìn)行重構(gòu)?；谇叭说难芯?，本文擬采用LSSVM識別非線性系統(tǒng)的時(shí)域載荷。

1 最小二乘支持向量機(jī)

1999年，Suykens 提出LS-SVM，采用最小二乘線性系統(tǒng)作為損失函數(shù)，代替SVM采用的二次規(guī)劃算法，運(yùn)算簡單，收斂快，精度高[17]。

下面介紹LS-SVM 的辨識原理[18]。L組訓(xùn)練樣本集(xl,yl)，l=1,2,…,L，輸入xl∈?n輸出yl∈?。非線性函數(shù)估計(jì)為：

其中權(quán)向量w∈?n偏置值b∈?，非線性映射φ(·)把樣本從原空間映射到高維特征空間。函數(shù)估計(jì)問題可描述為下列形式：

其中：γ為懲罰因子（正則化參數(shù)），el為不敏感損失函數(shù)的松弛因子。采用拉格朗日法求解該優(yōu)化問題：

式中：αl為拉格朗日乘子。根據(jù)Karush-Kuhn-Tucher(KKT)最優(yōu)化條件，可得：

將式（4）表示為矩陣形式，可得：

式中：α=[α1,α2,…,αL]T，y=[y1,y2,…,yL]T，IL為單位陣。1L=[ 1,1,…,1]T。

Ωij=K(xi,xj)=φ(xi)Tφ(xj)是滿足Mercer 條件的核函數(shù)。目前常用核函數(shù)的有線性、多項(xiàng)式和高斯核函數(shù)。高斯核函數(shù)（或徑向基核函數(shù)）是具有全局收斂特性的線性學(xué)習(xí)算法前饋網(wǎng)絡(luò)，其學(xué)習(xí)速度快，應(yīng)用廣泛。在此選用高斯核函數(shù)，表示形式如下：

其中：σ為核寬度。

通過L組訓(xùn)練樣本集(xl,yl)計(jì)算出輸入向量系數(shù)α1,α2,…,αL和閾值b。此時(shí)，最小二乘支持向量機(jī)回歸估計(jì)為：

2 非線性連續(xù)系統(tǒng)的逆模型辨識

SISO 非線性連續(xù)系統(tǒng)的振動微分方程可表示為如下簡易形式：

對上述SISO非線性連續(xù)系統(tǒng)，若在某開集D內(nèi)有?f/?u≠0，且在D內(nèi)處處連續(xù)，則該系統(tǒng)可逆[19]。當(dāng)上述非線性系統(tǒng)存在逆系統(tǒng)時(shí)，逆系統(tǒng)可表示為：

逆模型辨識的訓(xùn)練樣本的輸入數(shù)據(jù)為x(l)=輸出數(shù)據(jù)為相應(yīng)的激勵u(l)。根據(jù)式（10）可知，采用該時(shí)刻及下一時(shí)刻的速度、位移擬合該時(shí)刻的激勵。通過LS-SVM 的學(xué)習(xí)，由式（5）計(jì)算出輸入向量系數(shù)α1,α2,…,αL和閾值b，從而將輸入空間的數(shù)據(jù)利用非線性映射函數(shù)φ(·)投影到特征空間進(jìn)行線性擬合。

3 基于LS-SVM算法的載荷識別

基于LS-SVM 的載荷識別流程如圖1 所示。首先獲得非線性系統(tǒng)在白噪聲激勵下的振動響應(yīng)，以其作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)對非線性系統(tǒng)進(jìn)行逆模型辨識。以訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的振動響應(yīng)作為非線性系統(tǒng)的輸入數(shù)據(jù)，白噪聲激勵作為輸出數(shù)據(jù)，通過選取合適的LSSVM算法參數(shù)，利用LS-SVM算法即可獲得非線性系統(tǒng)的逆模型。然后以非線性系統(tǒng)實(shí)際工作狀態(tài)下的響應(yīng)為逆模型輸入，則逆模型輸出即為待識別的激勵。該方法不需要獲得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，即不再依賴于系統(tǒng)的具體數(shù)學(xué)模型和系統(tǒng)參數(shù)，少量的輸入輸出樣本數(shù)據(jù)即可完成逆模型辨識過程，為載荷識別作好準(zhǔn)備工作。

圖1 基于LS-SVM算法的載荷識別流程圖

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 非線性系統(tǒng)的逆模型辨識

本文參考文獻(xiàn)[20]中采用的非線性系統(tǒng)，在此以Duffing 非線性振子為研究對象，Duffing 振動方程為：

其中：m=1kg,c=0.4 N·s/m,k1=1.1N/m,k2=1N/m。初始位移和速度分別為=0 ms-1。

逆系統(tǒng)辨識過程應(yīng)選取足夠豐富的激勵信號，以期充分反映出逆系統(tǒng)的動態(tài)特性。在此選用均值為0，方差為1 的隨機(jī)激勵信號及相應(yīng)的速度、位移響應(yīng)作為逆模型辨識的訓(xùn)練樣本。采樣時(shí)間分辨率為0.1 s，采樣時(shí)間為20 s。隨機(jī)激勵的時(shí)間歷程如圖2 示。采用經(jīng)典Runge-Kutta 法計(jì)算非線性系統(tǒng)在隨機(jī)激勵下的速度、位移響應(yīng)，如圖3所示。

圖2 隨機(jī)激勵的時(shí)間歷程

圖3 隨機(jī)激勵作用下系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)

以上述速度響應(yīng)和位移響應(yīng)作為訓(xùn)練樣本的輸入數(shù)據(jù)，隨機(jī)激勵作為輸出數(shù)據(jù)，對非線性系統(tǒng)進(jìn)行逆模型辨識。LS-SVM的參數(shù)選取為：懲罰因子γ=1.5×1010，徑向基核寬度σ=10。

逆模型辨識結(jié)果如圖4所示。仿真結(jié)果顯示估計(jì)激勵與真實(shí)激勵吻合很好，說明非線性系統(tǒng)的逆模型辨識準(zhǔn)確。值得一提的是圖中20 s時(shí)的激勵未進(jìn)行識別，給定值為0，這是由于在逆模型辨識過程中采用的是該時(shí)刻及下一時(shí)刻的速度和響應(yīng)識別該時(shí)刻的激勵造成的。

圖4 逆模型輸出與隨機(jī)激勵對比

4.2 穩(wěn)態(tài)激勵識別結(jié)果

非線性系統(tǒng)的逆模型辨識完成后，獲得輸入向量系數(shù)和閾值。在此基礎(chǔ)上，對非線性系統(tǒng)分別施加穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)激勵，利用Runge-Kutta法獲得相應(yīng)激勵下的速度和位移響應(yīng)，以此作為逆模型的輸入數(shù)據(jù)，則逆模型的輸出即為外部激勵的估計(jì)值。

首先，考察對非線性系統(tǒng)施加如下穩(wěn)態(tài)正弦激勵：

時(shí)間分辨率為0.1 s。在此正弦激勵作用下，非線性系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)如圖5 所示。正弦激勵識別結(jié)果見圖6，仿真結(jié)果顯示識別的正弦激勵與實(shí)際激勵吻合得很好。

圖5 正弦激勵作用下系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)

圖6 識別激勵與實(shí)際激勵的對比圖

對非線性系統(tǒng)施加如下雙頻正弦激勵：

采用Runge-Kutta 法計(jì)算得到的非線性系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)如圖7 所示?；诜蔷€性系統(tǒng)的逆模型獲得激勵的估計(jì)值，如圖8所示，結(jié)果表明識別激勵與真實(shí)激勵吻合得很好。

圖7 雙頻正弦激勵作用下系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)

圖8 識別激勵與實(shí)際激勵的對比圖

通過對正弦激勵、雙頻正弦激勵的識別計(jì)算，結(jié)果表明基于LS-SVM逆模型的識別方法能夠比較精確地反演出非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)激勵。

4.3 非穩(wěn)態(tài)激勵識別結(jié)果

下面對非線性系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)激勵進(jìn)行識別研究。對非線性系統(tǒng)施加半正弦沖擊激勵，表達(dá)式如下示：

該沖擊激勵下非線性系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)見圖9，識別的激勵結(jié)果如圖10 所示。仿真結(jié)果顯示沖擊激勵識別結(jié)果精度也較高，與實(shí)際沖擊激勵幾乎吻合。

圖9 半正弦沖擊激勵作用下系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)

圖10 識別激勵與實(shí)際激勵的對比示意圖

最后，對作用于非線性系統(tǒng)的隨機(jī)激勵進(jìn)行仿真計(jì)算。隨機(jī)激勵下系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)如圖11所示，隨機(jī)激勵的識別結(jié)果如圖12 所示。同樣，隨機(jī)激勵的識別結(jié)果也令人滿意。這說明基于LSSVM算法的逆系統(tǒng)方法，不僅能準(zhǔn)確識別時(shí)域穩(wěn)態(tài)激勵，對非穩(wěn)態(tài)激勵也是適用的。

圖11 隨機(jī)激勵作用下系統(tǒng)的速度、位移響應(yīng)

圖12 識別激勵與實(shí)際激勵的對比示意圖

需要注意的是，在上述列舉的4 種不同形式的時(shí)域激勵識別過程中，20 s 時(shí)刻的激勵均未予以識別，而是設(shè)定為0，這是由于非線性系統(tǒng)的逆模型辨識造成的。原因之前已經(jīng)敘述，不再贅述。

5 結(jié)語

本文將LS-SVM回歸算法引入到非線性系統(tǒng)的時(shí)域載荷識別問題中，獲得了較滿意的識別結(jié)果。采用LS-SVM 算法進(jìn)行非線性系統(tǒng)的逆模型辨識，在此逆模型基礎(chǔ)上，采用工作速度響應(yīng)和位移響應(yīng)識別時(shí)域工作載荷。將載荷識別的這個(gè)復(fù)雜的逆問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題和正問題進(jìn)行處理。仿真結(jié)果表明：該方法選取適當(dāng)?shù)腖S-SVM參數(shù)，就能夠保證逆模型的學(xué)習(xí)能力和泛化能力；采用LS-SVM 方法能有效地反演非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)、非穩(wěn)態(tài)載荷。此外，該方法不需要系統(tǒng)模型的先驗(yàn)知識，只要知道少量的輸入輸出樣本即速度、位移響應(yīng)和激勵即可建立非線性系統(tǒng)的逆模型，能夠推廣到實(shí)際工程應(yīng)用中。

本文提出的基于LS-SVM算法的時(shí)域載荷識別方法為載荷識別技術(shù)提供了一條新的思路和途徑，具有一定的使用價(jià)值。本文中只對非線性系統(tǒng)的單激勵情況進(jìn)行了研究，對采用LS-SVM 算法識別多激勵源的情況，理論上是可行的，需要深入研究。